Пошукова робота на тему:
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.
П
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин Обчислення площі плоскої фігури Обчислення площі в декартових координатах Площа криволінійного сектора в полярних координатах ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. Площа плоскої фігури
1.1. Обчислення площі в декартових координатах
В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю
Нехай у прямокутній системі координат фігура
Виділимо у фігурі смужку шириною
Звідси
Рис.10.1 Рис.10.2 Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі
Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію
Зробивши заміну в цьому інтегралі
1.2. Площа криволінійного сектора
Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі коо
рдинат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури
якщо: ,
У фігурі
Приклад 1.
Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою
Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо
Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури
Отже,
Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо
Оскільки
Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді Рис.10.3 Рис.10.4
де
Пропонується переконатися в цьому самостійно. Приклад 2.
Р о з в ’ я з о к.Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що
через початок координат при
|