П
лан
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Характеристичне рівняння
Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами
1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами
Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.
1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку
з постійними коефіцієнтами
Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду
(12.38)
де
і
- сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок
рівняння (12.38) у вигляді експоненти
де
- поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить
, а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).
Справді, запишемо
та
:
Підставляючи ці похідні, а також функцію
в рівняння (12.62), одержимо
Оскільки
маємо
(12.39)
Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:
1)
і
- дійсні, причому не рівні між собою числа
;
2)
і
- комплексні числа (
);
3)
і
- дійсні рівні числа
Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.
1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:
Відповідні частинні розв’язки
та
лінійно незалежні, бо
Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд
(12.40)
де
і
- довільні сталі.
2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай
. Частинні розв’язки
і
є комплексними функціями дійсного аргументу:
або
Неважко переконатися, що функція
та
, які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку
, також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція
є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то
та
також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:
а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.
Зауважимо, що розв’язки
та
лінійно незалежні:
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд
(12.41)
де
і
- довільні сталі.
3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні:
При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1):
Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді
де
- невідома функція. Знайдемо
і
:
Підставимо
та
у рівняння (12.38):
(12.42)
Оскільки
- корінь характеристичного рівняння,
а дискримінант дорівнює нулю (корінь
кратний), то
або
Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на
набуває вигляду
. Його загальний розв’язок
отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд
Зокрема, якщо вибрати
, розв’язок
буде лінійно незалежним відносно
:
Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд
(12.43)
Приклад 1.
Розв’язати рівняння:
а)
б)
в)
У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд
або
Звідси маємо
(випадок1).
Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція
.
У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння
Його корені – комплексно спряжені числа:
(випадок 2). При цьому
Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде
У прикладі в) корені
і
характеристичного рівняння
збігаються:
Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд
Приклад 2.
Матеріальна точка маси
рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра
силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.
Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила
, з якою притягується точка, подається у вигляді
, де
- коефіцієнт пропорційності,
- відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (
- час)
.
Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді
(12.44)
Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння
причому
Корені
та
- комплексно спряжені числа
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд
(12.45)
Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам
.
Поклавши
у рівність (12.45), отримаємо
Про диференціюємо обидві частини (12.45):
При
звідси
Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде