ГОУ ВПО “Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики”
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
Кафедра информационных систем и технологий
Моделирование физических процессов
Екатеринбург 2009
Оглавление
Введение
Математическая модель
Описание теории применяемой к задаче
Блок – схемы
Листинг программы
Фотография графика
Решение задачи в MathCAD
Вывод
Литература
Введение
Благодаря данной курсовой работе, я получу основные навыки: в моделирование физических процессов, грамотного распределения информации и грамотного использования возможностей языка программирования Pascal.
Курсовая работа является первой объёмной самостоятельной работой для меня в роли программиста. Эта работа завершает подготовку по дисциплине “Программирование на языках высокого уровня” и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам. После выполнения данной курсовой работы, я рассчитываю научиться строить графики функций, работать в MathCAD, и понимать геометрический смысл методов: Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта.
Математическая модель, постановка задачи
1. Обсчитать первую точку методами Рунге – Кутта и Эйлера модифицированного.
2. Построить график к первой точке.
3. Составить блок - схемы.
4. Написать программу.
5. Построить график в MathCAD.
6. Сделать выводы
Описание теории применяемой к задаче
Метод Рунге – Кутта. Теория:
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
= f(x, y)
, с начальным условием y(
) =
.
Выберем шаг h
и введём обозначения:
=
+ i*h,
= y(
), где
i = 0, 1, 2, …
- узлы сетки,
– значение интегральной функции в узлах.
Аналогично Модифицированного метода Эйлера решаем дифференциальное уравнение. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге – Кутта 4 порядка, последовательные значения искомой функции y определяются по формуле: =
+ ∆y, где
∆
=
(
+ 2
+ 2
+
), I = 0, 1, 2, …
А числа ,
,
,
на каждом шаге вычисляются по формулам:
h* f(
,
)
,
)
,
)
h* f(
,
+
)
Обсчёт первой точки методом Рунге - Кутта:
Заданно уравнение движения материальной точки:
= x*sin(t)
, с условием
t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2
. Необходимо построить физическую и математическую модель движения.
tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.6829
/(a) = 1.0346
t(b) = 1.6829 + 0.125 = 1.8079
x(b) = 2+0.125*1.8079 = 2.2259
tg(b) = 2.2259*sin(1) = 1.8730
/(b) = 1.0803
t(c) = 1.6829 + 0.025 = 1.7079
x(c) = 2 + 0.025*(1.7079) = 2.0426
tg(c) = 2.0426*sin(1) = 1.7187
/(c) = 1.0438
t(d) = 1.6829 + 0.0375 = 1.7204
x(d) = 2 + 0.0375*1.7204 = 2.0645
tg(d) = 2.0645*sin(1) = 1.7372
/(d) = 1.0484
Метод Эйлера модифицированный
Теория:
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
= f(x, y)
, с начальным условием y(
) =
.
Выберем шаг h
и введём обозначения:
=
+ i*h,
= y(
), где
i = 0, 1, 2, …
- узлы сетки,
– значение интегральной функции в узлах.
1)
Обозначим точки: A(,), C(+h/2, +h/2*f(,)) и B(,).
2)
Через точку A проведем прямою под углом a, где
Обсчёт точки модифицированным методом Эйлера
Заданно уравнение движения материальной точки:
= x*sin(t)
, с условием
t 0 =1, t к =1.4, h = 0.05, x 0 =2
. Необходимо построить физическую и математическую модель движения.
A(1; 2)
tg(a) = x*sin(t) = 2*sin(1)= 1.682
/(a) = 1.034
= + * f(, )
= 2 + 0.025*(1.6829) = 2.042
C(0.025; 2.042)
tg(c) = x*sin(t) = 2*sin(1.025) = 1.709
/(c) = 1.041
= +h*f(+ ; +*f(;))
= 2 + 0.05*(1.041) = 2.05205
Листинг программы:
Uses crt,graph,graph0;
const
h=0.05;
var
gd,gm,n,i,j:integer;
a,b,k1,k2,k3,k4,d,g,c:real;
Xf:array[1..50] of integer;
Yf:array[1..50] of integer;
begin
clrscr;
a:=0;
b:=1.4;
n:=abs(round((a-b)/h));
readln;
writeln(' x= y= ');
writeln;
c:=2;
d:=0;
for j:=1 to n do
begin
k1:=h*c*sin(d);
k2:=h*(c+0.5*k1)*sin(d+0.5*h);
k3:=h*(c+0.5*k2)*sin(d+0.5*h);
k4:=h*(c+k3)*sin(d+h);
g:=k1+2*k2+2*k3+k4;
Xf[j]:=round(100*d);
Yf[j]:=round(100*c);
if (j=1) or (j=2) or (j=3) or (j=4)
or (j =5) or (j=6) or (j=7) or (j=8) or (j=9) then
begin
write(' ');
write(j);write('. '); write(d);write(' ');writeln(c);
delay(3000);
end
else
begin
write(j);write('. '); write(d);write(' ');writeln(c);
delay(2000)
end;
d:=d+h;
c:=c+g/6;
end;
readln;
gd:=detect;
init('c:tp70bgi');
setbkcolor(15);
setcolor(3);
line(0,240,640,240);
line(320,0,320,480);
for i:=1 to n do
begin
if i+1<=n then
begin
setlinestyle(0,0,3);
setcolor(7);
line(320+Xf[i],Yf[i]-160,320+Xf[i+1],Yf[i+1]-160);
putpixel(460,240,15);
putpixel(320,40,15);
putpixel(Xf[i]+320,Yf[i]-160,0);
end;
end;
readln;
closeGraph;
end.
Таблица измерений в Pascal, Mathcad:
| t | X1 | X2 | Xm |
| 2 | 2,077 | ||
| 2,1 | 2,16 | ||
| 2,2 | 2,247 | ||
| 2,3 | 2,341 | ||
| 2,4 | 2,44 | ||
| 2,5 | 2,545 | ||
| 2,6 | 2,656 | ||
| 2,7 | 2,773 | ||
| 2,8 | 2,896 |
X1 – метод Эйлера модифицированный, X2 – метод Рунге – Кутта, Xm – решение в Mathcad
Решение в Mathcad.
Вывод
В результате проделанной работы, я научился решать дифференциальные уравнения и строить к ним график, еще я научился решать такие уравнения в среде Turbo Pascal. Узнал, как решать различные уравнения в MathCAD. Еще я понял, как можно строить различный функции по точкам, с помощью циклов. Так же я понял, как нужно правильно масштабировать графики, в зависимости от заданной функции. Вследствие того, что данная курсовая, была для меня первой серьезной и объемной работой, я научился оформлять серьезные работы.
Список литературы
1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З., Численные методы анализа: Физматгиз, 1963.
2. Немюгин С.А. turbo Pascal. Практикум – СПБ.: Питер, 2009.
3. Немюгин С.А. turbo Pascal. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. – СПБ.: Питер, 2005.
4. М.М. Боженова, Л.А.Москвина.
5. Практическое программирование. Приемы создания программ на языке Паскаль.
6. Основные процедуры и функции модуля graph: http://rsc-team.ru/cgi-bin/index.pl?rzd=2&group=lection&ind=21