Н а Т Е М У:
“Обернені тригонометричні функції.
Тригонометричні рівняння і нерівності”
ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
ПЛАН
1. Обернені тригонометричні функції
2. Тригонометричні рівняння
3. Тригонометричні нерівності.
Введення обернених тригонометричних функцій
Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIIIкласу і використовувались під час вивчення функцій .
У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f
, введено поняття функції g
,
оберненої до функції f
, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.
У IXкласі було введено означення числової функції як відображення підмножини D
множини R
на деяку підмножину Е
множини R
. Для позначення області визначення і множини значень функції f
були введені символи D
(
f
)
і
E
(f
). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.
Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у
= sinx
.
З курсу алгебри VIIIкласу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у
= х2
свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функція у =
sinx
має безліч проміжків зростання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].
Отже, функція у
= sinх,
якщо x
, оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом
і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е
(arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.
Графік функції у
= arcsinx
учні також можуть побудувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість графіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsinстоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то проміжку , причому arcsin0 = 0, arcsin1 = , arcsin(-1) = -.
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)
= -
arcsinx
.
За означенням арксинуса маємо:
,
Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо
Визначимо синуси виразів arcsin(-х) і -arcsinх,
спираючись на означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х))= -х,
sin (-arcsin х) =-
sin (arcsin x)
= -
x
.
Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsinx
.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=
arcsinx
відносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsinза таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
0,9063 sin 65°00';
65° 00' 1,1345 рад;
arcsin 0,9063 1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за таблицями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:
0,68 sin 420
420
0,73;
arcsin 0,683 0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберненої функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову
arccos(-х)
= - arccosх.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos1,5?
2 ) Чи правильні рівності: arcsinх =
, arccosх = -;
arccosх
= ?
3) Знайдіть область визначення функції у =
arcsin(2х-
3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у
= 3arctg1,7?
5) Обчисліть sin; .
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометричних функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:
arccos (-х)
= -
arccos x,
arcctg (-х)
=
— arcctgx;
розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.
У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним
пропонували називати:
1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригонометричної функції (в такому разі рівняння виду sinх+х=
0 не належить до тригонометричних; його пропонували називати трансцендентним) .
2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.
З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав, що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є принциповими. Важливо одне - немає загального методу розв'язування тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'язків, або мають їх безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.
Розв'язування тригонометричних нерівностей
Розв'язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про властивості тригонометричних функцій, набувають навичок теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв'язування найпростіших нерівностей виду
Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, природно розв'язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]), з'ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв'язування нерівності з однією змінною.
Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей графічний спосіб поряд з перевагами має деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки тригонометричних функцій. Тому корисно показати учням, як такі нерівності розв'язуються за допомогою одиничного кола.
Література.
Алгебра і початки аналізу 10-11 клас
Методика викладання алгебри та початків аналізу