Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Северо-Западный государственный заочный
технический университет
Институт управления производственными и
инновационными программами
Кафедра информатики
Контрольная работа по дисциплине
«Математика. Часть 2.»
Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL.”
Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
Анализ и прогнозирование в EXCEL.
Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.
Задача 3. Комплексные числа.
Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна
ИУПиИП
Курс: II
Специальность: 80502.65
Шифр: 578030493
Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна
Подпись преподавателя:
Санкт-Петербург
2007
Тема .
Численные методы и расчеты в EXCEL.
Задача 1.
Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
Анализ и прогнозирование в EXCEL.
I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона
.
II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках
x1
; x2
; x3
; x4
:
1)
при помощи полинома Ньютона
для реализации ее в EXCEL
;
2)
при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений
(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ)
.
Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами
:
| x
|
0.15
|
0.20
|
0.25
|
0.30
|
0.35
|
0.40
|
0.45
|
0.50
|
0.55
|
0.60
|
| y
|
0.860
|
0.819
|
0.779
|
0.741
|
0.705
|
0.670
|
0.638
|
0.606
|
0.577
|
0.549
|
| Значения
|
x1
= 0.149 |
x2
= 0.240 |
x3
= 0.430 |
x4
= 0.560 |
||||||
Основные понятия.
Цель работы:
научиться пользоваться программой EXCEL
для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL
.
Задача интерполяции
сводится к требованию точного совпадения в узловых
точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов)
.
По определению интерполяция — это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.
Само слово интерполяция
происходит от латинского “interpolation”
, что в переводе значит “изменение, переделка”
.
Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x0
, xn
)
. Происходит от “экстра…”
и латинского “polio”
, что значит “приглаживаю, изменяю”
.
Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или
функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными).
Слово происходит от латинского“approximo”
, что значит “приближаюсь”
.
Графически задача интерполяции
заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию
, которая бы проходила через все узлы интерполяции.
Чаще всего в качестве интерполирующей функции
F (x)
используются многочлены
Pn
(x).
Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn
(x),
обеспечивающий требуемую интерполяцию
е
.
Наиболее успешно для интерполяции
используется полином Ньютона
, для записи которого в случае интерполяции
функции с равноотстоящими
узлами
используются конечные разности
.
Термин “полином”
имеет то же значение, что и слово “многочлен”
и происходит от “поли…” —
часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys”
– многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen”
, т.е. имя
.
Конечной разностью
первого порядка
называется разность:
Дyi
= yi + 1
- yi
, i
= 0,1, .... , n
– 1
Аналогично определяются конечные разности
второго
и более высоких
порядков.
Интерполяционный полином Ньютона.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов
записывается в виде:
Pn
(x) = y0
+ (x-x0
) · Дy0
/1!h + (x-x0
)(x-x1
) · ДІy0
/2!hІ+....+ (
x
-
x
0
)(
x
-
x
1
)…..(
x
-
xn
-1
) ·
Д
n
y
0
/
n
!
hn
Решение.
Выполнение задания I.
Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона
для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные
разности
указаны в “Приложение 2”
.
Из таблицы видно, что значения x
являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h
= 0,05
.
Степень полинома
определяется числом (порядком) конечных
разностей
( в данном случае их девять ).
Pn
(x
) = P9
(x)= y0
+ (x-x0
) Дy0
/ 1!h + (x-x0
) (x-x1
) ДІy0
/2!h2
+..
..+ (x-x0
)
(x-x1
) (x-x2
) (x-x3
) (x-x4
) (x-x5
) (x-x6
) (x-x7
) (x-x8
) (x-x9
)
Д
9
y0
/ 9!
h9
=
0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·
0,05 2
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,05 3
+(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) / 4! · 0,05 4
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,05 5
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6
+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!
· 0,05 8
+
(
x
- 0,15) (
x
- 0,20) (
x
- 0,25) (
x
- 0,30) (
x
- 0,35) (
x
- 0,40) (
x
- 0,45) (
x
- 0,50) (
x
- 0,55) · (-0,119) / 9!
· 0,05 9
.
Выполнение задания II.
1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.
Шаг первый:
Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL
:
а
)
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).
б
)
Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.
в
)
Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.
Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.
Шаг второй:
Ввод формул:
а
)
Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка
:
а.1)
в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 =
y1
– y0
,
которая примет вид: =C6–C5
;
a.2)
копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6
получаем формулу =C7-C6
(т.е.Дy1
=y2
- y1
= 0,779 – 0,819 = -0,040
),в ячейке D7
получаем формулу =C8-C7
(т.е. Дy2
= y3
– y2
= 0,741 – 0,779= -0,038
) и т.д. до ячейки D13, где
получаем формулу
=C14-C13
(т.е. Дy8
= y9
– y8
= 0,549 – 0,577= -0,028
)
б)
Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка
:
б.1)
в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула
=D6-D5
(т.е. ДІy0
= Дy1
- Дy0
= -0,040 - ( -0,041) = 0,001
). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.
В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1
(т.е. ДІy7
= Дy8
- Дy7
= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001
).
в)
Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого
порядка
:
для вычисления всех конечных разностей
необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все
остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.
Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.
Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”
.
Шаг третий:
Ввод формул:
а)
Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:
а.1)
для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0
/1!h)
в ячейку M5 введем формулу
=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2
. В ячейке N2 находится текущее значение x
. При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции
, адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).
а.2)
для вычисления второго промежуточного коэффициента
(x-x0
) (x- x1
)/2!h
І
= (x-x0
)/1·h · (x-x1
)/ 2·h = a · b,
гдеa
коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0
)/1h,
b
коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x1
) / 2h,
вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2
.
а.3)
после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов
копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:
=M6*($N$2 – B7) / (A7 + 1) / $F$2 ,
в ячейке M8 мыувидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1) / $F$2
и
т.д.
Шаг четвертый:
Ввод формул:
а)
Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:
а.1)
для вычисления первого полинома Ньютона
, который равен (x-x0
) · Дy0
/ 1!h = (x-x0
) / 1h ·Дy0
,
содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка
. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5
. Знак $
перед номером строки необходим, т.к. в полиноме
Ньютона
находятся только конечные разности
с индексом ноль, т.е. все конечные
разности
берутся только из строки с номером 5;
а.2)
для ввода остальных членов полинома Ньютона
копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5
, в N7 формулу =M7*F$5
, в N8 формулу =M8*G$5
и т.д. до ячейки N13.
Шаг пятый
:
Ввод формул:
а)
Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:
а.1)
объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий
"Сумма коэффициентов полинома”;
а.2)
в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13)
. Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y0
.
При x
=
0,149
в ячейке N16 получается число 0,001.
Шаг шестой:
Ввод формул:
а)
Ввод формул для вычисления значения полинома:
а.1)
объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома"
;
а.2)
в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5
. В ячейке N18 появится число 0,861
, которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x =
0,149
Шаг седьмой:
Вычисление сумм коэффициентов полинома
и значений полинома
при x =
0,240
; x =
0,430
; x =
0,560.
а)
в ячейку N2 вводим 0,240
. Результат:
в ячейке N16 — (-0,073);
в ячейке N18 — (0.787);
б)
в ячейку N2 вводим 0,430
. Результат:
в ячейке N16 — (-0,209);
в ячейке N18 — (0,651);
в)
в ячейку N2 вводим 0.560
. Результат:
в ячейке N16 — (-0,287);
в ячейке N18 — (0,573).
Шаг восьмой:
Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.
Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 1”.
Режим значений — “Приложение 2.
2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой.
Табличный процессор EXCEL
предоставляет возможность аппроксимации
с использованием “функций аппроксимации кривой”
Пусть в узлах x0
, x1
, …, x n
известны значения f(x0
), f(x1
), … ,f(x n
).
Необходимо осуществить экстраполяцию
(прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1
), f(x n+2
), … .
В категории Статистические функции EXCEL
для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ
и ПРЕДСКАЗАНИЕ
, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов
x (x0
, x1
, … , x n
)
и y (y0
,y1
, … , y n
)
методом наименьших квадратов.
Функция ТЕНДЕНЦИЯ
имеет структуру:
ТЕНДЕНЦИЯ (y
массив, x
массив,
x
список)
y
массив , x
массив
— даны из условия.
x
список
-- это те значения x
, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).
Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ
имеет структуру:
ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x
; y
массив; x
массив)
После аппроксимации
эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y
(для одного из заданных значений аргументов.
Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.
Шаг первый:
Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.
Шаг второй:
Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.
Шаг третий:
Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций
.
Шаг четвертый:
а)
В первом окне выберем категорию Статистические
, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,
затем щелкнем по OK.
б)
В окне “Известные значения
y”
введем адрес блока ячеек C3:L3.
в)
В окне “Известные значения
x”
введем адрес блока ячеек C2:L2.
г)
В окне “Новые значения
x”
укажем адрес блока ячеек C5:F5.
Шаг пятый:
Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.
В режиме формул:в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)
в ячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)
в ячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)
в ячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)
В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8610
в ячейке D6 — 0,7951
в ячейке E6 — 0,6576
в ячейке F6 — 0,5635
Таблицы прилагаются.
Режим формул — “Приложение 3”
.
Режим значений “Приложение 4”.
Работа с функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.
Шаг первый:
Создадим электронную таблицу в EXCEL
, используя исходные данные.
Шаг второй:
Для размещения результата активизируем ячейку С6.
Шаг третий:
а)
При помощи Мастера функций
вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,
категория Статистические.
б)
В окне “x”
укажем адрес ячейки C6.
в)
В окне “Известные значения
y”
укажем адрес блока ячеек C3:L3.
г)
В окне “Известные значения
x”
укажем адрес блока ячеек C2:L2.
Шаг четвертый:
Для подтверждения этой функции щелкнем по OK
. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.
В результате мы увидим:
В режиме формул:
в ячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)
В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506
в ячейке D6 — 0,7877
в ячейке E6 — 0,6564
в ячейке F6 — 0,5665
Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 5”.
Режим значений — “Приложение 6”.
Итоговая сравнительная таблица.
Для сравнения значений функции в точках:
x 1
= 0,149;
x 2
= 0,240;
x 3
= 0,430;
x 4
= 0,560;
полученных при помощи трех разных способов:
1
полинома Ньютона,
2
функции ТЕНДЕНЦИЯ,
3
функции ПРЕДСКАЗАНИЕ;
создадим сравнительную таблицу,
| x
|
Значение полинома
Ньютона
|
Прогнозирование значения функции при помощи функций:
|
||||||
| ТЕНДЕНЦИЯ
|
ПРЕДСКАЗАНИЕ
|
|||||||
| 0,149
|
0,861 | 0,86
* |
0,861 | 0,86
* |
0,8506 | 0,85
* |
||
| 0,240
|
0,787 | 0,79
* |
0,795 | 0,80
* |
0,7877 | <0,79
* |
||
| 0,430
|
0,651 | 0,65
* |
0,658 | 0,66
* |
0,6564 | 0,66
* |
||
| 0,560
|
0,573 | 0,57
* |
0,564 | 0,56
* |
0,5665 | 0,57
* |
||
*
Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.
Вывод:
значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.
Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.
Решить заданную систему уравнений:
1)
методом обратной матрицы;
2)
методом простых итераций.
0,1 x1
+ 4,6 x2
+ 7,8 x3
= 9,8
2,8 x1
+ 6,1 x2
+ 2,8 x3
= 6,7
4,5 x1
+ 5,7 x2
+ 1,2 x3
= 5,8
Цель работы:
научиться решать в EXCEL
системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.
Основные понятия.
Уравнение
— это
математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).
Матрица
— это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik
(чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.
Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.
Минором некоторого элемента аij
определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента аij
определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.
Итерация
— это повторное применение каких-либо математических операций.
Происходит от латинского “iteratio”
,что в переводе значит “повторение”.
Решение.
1).
Математический расчетрешения системы уравнений
методом
обратной матрицы.
Дана система трех линейных уравнений
с тремя неизвестными
.
а).
Рассмотрим матрицы:
— матрица системы
(составлена из коэффициентов при неизвестных
):
0,1 4,6 7,8
А = 2,8 6,1 2,8
4,5 5,7 1,2
— матрица неизвестных:
x1
X =x2
x3
— матрица свободных членов:
9,8
B = 6,7
5,8
б).
Найдем детерминант
(определитель) матрицы
А.
Поопределению: det
A = a11
· A11
+ a12
· A12
+ a13 ·
A13
,
где a11
, a12
, a13
—
элементы первой строки матрицы
A
,
A11
, A12
, A13
— их алгебраические дополнения
.
- если detA = 0,
то обратной матрицы не существует
;
- если detA ≠ 0,
то обратная матрица существует
.
Для того, чтобы найти детерминант
необходимо сосчитать алгебраические дополнения.
По определению: Aik
= (-1)i+k
· Mik
,
где i
- номер строки матрицы,
k
- номер столбца матрицы,
M
- минор.
- если сумма i+k
четная, то Aik
= 1 · Mik
A11
=
6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64
A12
=
2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24
A13
=
2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49
Теперь мы можем сосчитать детерминант.
detA
= 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982
detA ≠ 0 =>
обратная матрица
существует и можно продолжать вычисления.
в).
Найдем обратную матрицу А-1
.
Поопределению:
A11
A21
A31
A-1
= A12
A22
A32
· 1/ detA ,
A13
A23
A33
где А11
, …, А33
- алгебраические дополнения матрицы А
.
Для нахождения обратной матрицы А-1
, сначала сосчитаем все алгебраические
дополнения матрицы А
:
A21
= 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = +
38,94
5,7 1,2
A22
= 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98
4,5 1,2
A23
= 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13
4,5 5,7
A31
= 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7
6,1 2,8
A32
= 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56
2,8 2,8
A33
= 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24
2,8 6,1
Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А-1
, подставив в формулу полученные данные:
1/detA
= 1 / - 47,982 = - 0,0208411
- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1
= - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516
- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089
Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу
, необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:
A-1
· A = E,
где E
- единичная матрица
, то обратная матрица
найдена верно.
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A-1
· A
= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
2,8 6,1 2,8
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Произведем промежуточные вычисления:
С11
= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C12
= 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0
C13
= 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0
C21
= (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0
C22
= (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C23
= (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0
C31
= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0
C32
= 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0
С33
= 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
1
0 0
A-1
· A
= 0 1
0 = E
0 0 1
Обратную матрицу
нашли верно.
г).
Найдем матрицу X
(матрицу неизвестных).
По определению: X = A-1
· B
,
где B — исходная матрица B
(матрица свободных членов).
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
X
= - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 ·
6,7 = 0,391105
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
Матрицу X
нашли, соответственно корни уравнений
:
x1
= 0,521737
x2
= 0,391105
x3
= 1,019069
д).
Проверка. Подставим в исходную
систему уравнений
полученные значения:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8
Система уравнений
методом обратной матрицы
решена верно.
1.1).
Составление программы для решения системы уравнений
методом обратной матрицы
в EXCEL.
Шаг первый:
Для решения системы уравнений в EXCEL
необходимо подготовить таблицу с исходными
данными:
а).
Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).
Шаг второй:
Необходимо обратить матрицу А
.
Применяемая для обращения матрицы функция
МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.
а).
Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица
.
б).
При помощи Мастера функций
вызовем функцию МОБР, категория Математические.
в).
В окне “Массив”
укажем адрес массива исходной матрицы
A6:C8.
г).
Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В ячейках A11:C13 появится:
— в режиме формул — =МОБР(А6:C8)
;
— в режиме значений — массив обратной
матрицы
.
Шаг третий:
Для умножения обратной матрицы
на столбец свободных членов
:
а).
Выделим ячейки E11:E13.
б).
При помощи Мастера функций
выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические
.
в).
В окно “Массив 1”
введем адрес массива обратной матрицы
A11:C13.
г).
В окно “Массив 2”
введем адрес массива матрицы свободных членов
E6:E8.
д).
Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В ячейках E11:E13 появится:
— в режиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8)
;
— в режиме значений — компоненты векторов решения x1
, x2
, x3
.
Таблицы прилагаются. Режим формул — “Приложение 7”.
Режим значений — “Приложение 8”.
1.2).
Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.
Для наглядности создадим сравнительную таблицу:
| Математический расчет методом обратной матрицы
|
Обращение матрицы в EXCEL
|
|
| x1
|
0,521737
|
0,521737318
|
| x2
|
0,391105
|
0,391104998
|
| x3
|
1,019069
|
1,019069651
|
1.3).
Вывод.
Сначала предложенную нам систему уравнений
мы решили методом обратной
матрицы
. Затем в EXCEL
составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений
путем обращения матрицы
.
Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.
Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.
Таким образом, мы выявили, что в EXCEL
результаты получаются более точные
.
2)
Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.
Для того, чтобы решить систему
трех линейных уравнений методом простых итераций,
необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы
x1
, x2
, x3
были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса
.
Заданная нам система имеет вид:
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
a)
Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения
. Получится система вида:
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
б)
Для решения системы уравнений методом простых итераций
необходимо представить полученную систему уравнений
в итерационной форме
, записав каждое из трех уравнений
в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.
4,5x1
+ 5,7x2
+ 1,2x3
= 5,8
x1
= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8x1
+ 6,1x2
+ 2,8x3
= 6,7
x2
= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1x1
+ 4,6x2
+ 7,8x3
= 9,8
x3
= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7
В итерационной форме
получили систему:
x1
= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
x2
= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
x3
= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 9,7
в)
Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.
При использовании итерационного метода
решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости
метода для данной системы. Первое условие
у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1
, x2
, x3
в полученной системе являются максимальными по модулю).
г)
Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).
Теперь необходимо проверить условие “НОРМА”
(обозначается ║C
║), т.е. необходимо оценить сходимость
метода для данной системы
, которая зависит только от матрицы коэффициентов
[ C ].
Процесс сходится
только в том случае,если норма матрицы
[ С ]
меньше единицы
, т.е.
║C║=√Σaaj
2
<1
В итерационной форме
имеем систему:
x1
= - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 5,8 / 4,5
x2
= - 2,8x1
/ 6,1 - 2,8x3
/ 6,1 + 6,7 / 6,1
x3
= - 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 + 9,8 / 7,8
или
x1
= 0 - 5,7x2
/ 4,5 - 1,2x3
/ 4,5 + 1,288889
x2
= 2,8x1
/ 7,8 - 0 - 2,8x3
/ 6,1 + 1,0983607
x3
= 0,1x1
/ 7,8 - 4,6x2
/ 7,8 - 0 + 1,2564103
Проверка выполнения второго условия
“НОРМА”
:
0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5
[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1
- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0
║C║ = √ У aij
2
< 1
║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2
+ (-1,2 / 4,5)2
+ (-2,8 / 6,1 )2
+ (-2,8 / 6,1)2
+ (-0,1 / 7,8)2
+ (-4,6 / 7,8)2
║C║= √ (-1,2666667)2
+(-0,2666667)2
+(-0,4590164)2
+(-0,4590164)2
+(-0,0128205)2
+(-0,5897436)2
║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)
║C║ =√ 2,4449144
║C║ = 1,5636222 > 1
Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.
Вывод:
так каквторое условие сходимости итерационного процесса не
выполнено
, то решение данной системы уравнений не может быть
получено методом простых итераций.
Задача 3.
Комплексные числа.
Даны два комплексных числа
, записанные в показательной форме
.
z1
= 3e -(р/4) i
z2
= е (р/4) i
1). Записать эти числа в тригонометрической форме
;
2). Найти сумму
z1
+ z2
и произведение
z1
· z2
, переведя их в алгебраическую форму
записи;
3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты
.
Основные понятия.
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy , где
“x” и “y” — действительные числа,
“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2
= -1.
Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.
Решение.
1).
Тригонометрическая форма записи.
Положение точки z
на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x
, y
, но и полярными координатами r
, ц.
Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
z = r cos
ц
+ i r sin
ц
= r ( cos
ц
+ i sin
ц
),
где cos
ц
+ sin
ц
= ei
ц
=>
ц
=
р
/4
При этом r
называют модулем, а ц
- аргументом комплексного числа.
1.1)
z1
= 3 · (cos
р
/4 i sin
р
/4) = 3√2/2 i 3√2/2
1.2)
z2
= r · ei
ц
= r (cos
р
/4 + i sin
р
/4) = √2/2 + i √2/2
2).
Алгебраическая форма записи:
2.1)
Сумма.
Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то
z1
+ z2
= (x1
+ iy1
) + (x2
+ iy2
) = (x1
+ x2
) + i (y1
+ y2
)
z1
+ z2
= (3√2/2 + √2/2) + i (3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 i 2√2/2= = 2√2 - i√2
2.2)
Произведение.
Если z1
= x1
+ iy1
,
а z2
= x2
+ iy2
, то
z1
· z2
= (x1
+ iy1
) · (x2
+ iy2
) = (x1
x2
y1
y2
) + i (x1
y2
+ x2
y1
)
z1
·z2
=(3√2/2 ·√2/2 + 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2 - √2/2 · 3√2/2 )=
= 3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3
3).Изображение на комплексной плоскости операнд и результатов.
Для упрощения преобразуем значения x
и y
из простых дробей в десятичные.
x1
= 3√2/2 = 2,1 y1
= - 3√2/2 = -2,1
x2
= √2/2 = 0,7 y2
= √2/2 = 0,7
x3
= 2√2 = 2,8 y3
= -√2 = -1,4
x4
= 3 y4
= 0
y
0,7
Z2
0,7
2,1
2,8
0
Z4
3
x
- 1,4
Z3
- 2,1
Z1
Операнды
— Z1
иZ2
Результаты
— Z1
+Z2
= Z3
Z1
·Z2
= Z4