Пермский государственный технический университет
Строительный факультет
Кафедра строительной механики и вычислительной техники
Курсовая работа
по дисциплине
ИНФОРМАТИКА
Тема:
Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов
Работу выполнил:
Работу принял:
г. Пермь, 2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
1.2 Уточнение корня
1.2.1 Метод Ньютона
2 Численное интегрирование
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Введение
Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.
Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде
где функция определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А < х
< В.
Всякое значение х*
, обращающее уравнение в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. .
С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=
f
(х)
или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X
, т.е. значений х
i
, для которых выполняется условие (для i
=1, 2,......).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).
Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.
Итерационные
(приближенные
) методы – это методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.
Первый этап
- отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:
· исследовать количество, характер и расположение корней;
· найти их приближенные значения (нулевые итерации).
Второй этап
- уточнение приближенного корня до заданной степени точности
1.
Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x)
отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корни можно разными способами: построением таблицы значений функции y
=
f
(
x
)
; графическим методом; исходя из физического смысла задач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции
| Х |
у=е^х+lnx-10*x |
|
| 1,000000 |
-7,281718 |
|
| 1,200000 |
-8,497562 |
|
| 1,400000 |
-9,608328 |
|
| 1,600000 |
-10,576964 |
|
| 1,800000 |
-11,362566 |
|
| 2,000000 |
-11,917797 |
|
| 2,200000 |
-12,186529 |
|
| 2,400000 |
-12,101355 |
|
| 2,600000 |
-11,580751 |
|
| 2,800000 |
-10,525734 |
|
| 3,000000 |
-8,815851 |
|
| 3,200000 |
-6,304319 |
|
| 3,400000 |
-2,812125 |
|
| 3,600000 |
1,879168 |
|
| 3,800000 |
8,036186 |
|
| 4,000000 |
15,984444 |
|
| 4,200000 |
26,121416 |
|
| 4,400000 |
38,932473 |
|
| 4,600000 |
55,010372 |
|
| 4,800000 |
75,079033 |
|
| 5,000000 |
100,022597 |
|
Теорема 1.
Если непрерывная на отрезке [a
;
b
] функция f(x)
принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0
, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f
(
x
)=0
. Корень заведомо будет единственным, если производная f/
(x)
существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a
;
b
), т.е. если f/
(x)
>0 (или f/
(x<0)
) при а<х<
b
.
Искомый корень уравнения находится в интервале (3;4).
1.2 Уточнение корня
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения корня х0
. В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения f(x)=0
:
х1
, х2
, …, хп
Если эта последовательность имеет предел
,
то говорят, что итерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х
[3;4].
На практике нужно ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п
. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.
Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции у=
f
(х)
в окрестности корня.
Существует несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированный метод Ньютона.
Рассмотрим более подробно метод хорд.
1.2.1 Метод Ньютона
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у=
f
(
x
)
касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.
Пусть функция у=ех
+
ln
х-10х
на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.
Положим для определенности для и f
(5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х0
=5, для которого выполняется условие f
(
x
)*
f
”(
x
)
>0.
Проведем касательную к кривой у=
f
(
x
)
в точке В0
[х0
;
f
(
x
0
)
]. В качестве первого приближения корня х1
возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ
. Через точку В1
[х1
;
f
(
x
1
)
] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ
даст нам второе приближение корня х2
и т.д.
Уравнение касательной в точке В1
[х1
;
f
(
x
1
)
] (п=0,1,2…
) к нашей кривой записывается
Пологая у=0
, х=хп+1
, получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность
.
Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ
| Метод Ньютона
|
||||||
| Выбор нулевого приближения: Х0=
|
5,0000
|
|||||
| f(x)=е^х+lnх-10*х |
||||||
| f(X0)*f''(X0)>0
|
|
|||||
| f'(x)=е^x+1/x-10
|
||||||
| n
|
Xn
|
f(Xn)
|
f'(Xn)
|
If(Xn)I
|
||
| 0 |
5,00000 |
100,02260 |
138,61316 |
100,02260 |
||
| 1 |
4,27840 |
30,79482 |
62,35902 |
30,79482 |
||
| 2 |
3,78457 |
7,50210 |
34,28113 |
7,50210 |
||
| 3 |
3,56573 |
0,97941 |
25,64582 |
0,97941 |
||
| 4 |
3,52754 |
0,02541 |
24,32372 |
0,02541
r /> |
||
| 5 |
3,52650 |
0,00002 |
24,28827 |
0,00002 |
||
| 6 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
||
| 7 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
||
| 8 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
||
Вывод: к заданной точности наиболее близка 5-я итерация.
, .
Проверим решение данного уравнения методом надстройки:
| Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0 |
||||
| Х0 |
Xn |
F(Xn) |
||
| 3,5265 |
3,5265 |
0,00005 |
||
2 Численное интегрирование
При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.
Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования
.
Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [а;
b
] разбиваем на п
равных отрезков и получаем п+1
равноудаленных точек: х0
=а, хп
=
b
, х
i
+1
=
xi
+
h
,
i
=(0,1,2…, п-1)
, где h
шаг разбивки. При этом обозначим у
i
=
f
(х
i
)
.
Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h
и высотой , где , i
=0,1,2,…,п+1
.
Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».
В нашем случае рассмотрим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда
.
Произведём разбивку для n=5 и n=10:
| a=
|
3,0000 |
Численное интегрирование
|
|||
| b=
|
3,5265 |
n= |
5 |
J
|
|
| h=
|
0,1053 |
||||
| Номер |
Значение |
f(x)
|
Метод |
||
| узла |
узла |
ср.прямоуг |
|||
| 1 |
3,0000 |
-8,8159 |
0,0000 |
||
| 2 |
3,1053 |
-7,6040 |
-0,9228 |
||
| 3 |
3,2106 |
-6,1456 |
-1,7179 |
||
| 4 |
3,3159 |
-4,4131 |
-2,3595 |
||
| 5 |
3,4212 |
-2,3759 |
-2,8187 |
||
| 6 |
3,5265 |
0,0000 |
-3,0633 |
||
| a=
|
3,0000 |
||||
| b=
|
3,5265 |
n= |
10 |
||
| h=
|
0,0527 |
||||
| Номер |
Значение |
f(x)
|
Метод |
||
| узла |
узла |
ср.прямоуг |
|||
| 1 |
3,0000 |
-8,8159 |
0,0000 |
||
| 2 |
3,0527 |
-8,2391 |
-0,4628 |
||
| 3 |
3,1053 |
-7,6040 |
-0,8952 |
||
| 4 |
3,1580 |
-6,9073 |
-1,2941 |
||
| 5 |
3,2106 |
-6,1456 |
-1,6564 |
||
| 6 |
3,2633 |
-5,3154 |
-1,9786 |
||
| 7 |
3,3159 |
-4,4131 |
-2,2571 |
||
| 8 |
3,3686 |
-3,4346 |
-2,4880 |
||
| 9 |
3,4212 |
-2,3759 |
-2,6675 |
||
| 10 |
3,4739 |
-1,2325 |
-2,7912 |
||
| 11 |
3,5265 |
0,0000 |
-2,8547 |
||
| a=
|
3,5265 |
Численное интегрирование
|
|||
| b=
|
4,0000 |
n= |
5 |
J
|
|
| h=
|
0,0947 |
||||
| Номер |
Значение |
f(x)
|
Метод |
||
| узла |
узла |
ср.прямоуг |
|||
| 1 |
3,5265 |
0,0000 |
0,0000 |
||
| 2 |
3,6212 |
2,4572 |
0,0045 |
||
| 3 |
3,7159 |
5,2492 |
0,2417 |
||
| 4 |
3,8106 |
8,4093 |
0,7433 |
||
| 5 |
3,9053 |
11,9743 |
1,5441 |
||
| 6 |
4,0000 |
15,9844 |
2,6825 |
||
| a=
|
3,5265 |
||||
| b=
|
4,0000 |
n= |
10 |
||
| h=
|
0,0474 |
||||
| Номер |
Значение |
f(x)
|
Метод |
||
| узла |
узла |
ср.прямоуг |
|||
| 1 |
3,5265 |
0,0000 |
0,0000 |
||
| 2 |
3,5739 |
1,1887 |
0,0011 |
||
| 3 |
3,6212 |
2,4572 |
0,0585 |
||
| 4 |
3,6686 |
3,8093 |
0,1760 |
||
| 5 |
3,7159 |
5,2492 |
0,3575 |
||
| 6 |
3,7633 |
6,7810 |
0,6072 |
||
| 7 |
3,8106 |
8,4093 |
0,9294 |
||
| 8 |
3,8580 |
10,1388 |
1,3287 |
||
| 9 |
3,9053 |
11,9743 |
1,8099 |
||
| 10 |
3,9527 |
13,9211 |
2,3780 |
||
| 11 |
4,0000 |
15,9844 |
3,0382 |
||