Теория автоматического управления
Тема:
"Характеристики систем автоматического управления"
1. Статические характеристики САУ
Статические характеристики определяют статику системы, т.е. ее поведение в установившемся режиме.
Статической характеристикой
называется отношение выходной величины к входной величине в установившемся режиме.
Статические характеристики позволяют: определить коэффициент усиления системы; степень ее нелинейности; величину статизма; произвести согласование рабочих точек системы.
2. Динамические характеристики САУ
Динамические характеристики определяют динамику системы, т.е. ее поведение в неустановившемся (переходном) режиме. При этом используют следующие основные динамические характеристики:
– передаточная функция;
– временные характеристики;
– частотные характеристики.
2.1 Передаточная функция системы и ее свойства
Дифференциальное уравнение линейной системы имеет вид:
(1)
где аi
и bi
– параметры системы, n
-порядок системы.
Если применим теоремы Лапласа при нулевых начальных условиях, то дифференциальное уравнение в операторной форме запишется следующим образом
где
Физически нулевые начальные условия обозначают, что до приложения воздействия система находилась в покое.
Передаточная функция системы
есть отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях
(2)
Основные свойства передаточной функции:
1. Передаточная функция является полной характеристикой системы.
Она полностью характеризует статические и динамические свойства системы.
2. Статический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления в установившемся режиме (при t
®
¥
или p
®
0)
равен
.
3. Полином знаменателя называется характеристическим, а A(p) = 0
называется характеристическим уравнением. Корни полинома знаменателя называются полюсами, а числителя нулями.
Степень полинома числителя не превышает степени полинома знаменателя (n
³
m
), в противном случае система является физически нереализуемой.
5. Коэффициенты полиномов ai
и bi
обусловлены реальными физическими параметрами системы.
6. Передаточная функция может быть задана в виде нулей и полюсов в графическом виде.
Рис. 1
Например, для приведенного на рис. 1 расположения нулей (0) и полюсов (х) передаточная функция имеет вид:
.
2.2 Временные характеристики САУ
Временной характеристикой системы
называется закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входного воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения воздействия система находилась в покое. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.
К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.
Типовые воздействия
. В качестве типовых воздействий при исследовании систем используются:
– единичная функция;
– единичный импульс;
– линейно – растущее воздействие;
– квадратичное воздействие;
– гармоническое воздействие;
– «белый шум
»
(используется при исследовании стохастических систем).
Единичная функция. Единичная функция
– воздействие, амплитуда которого равна 0 при t
< 0 и равна 1 при t
³ 0.
Свойства единичной функции и единичной функции со сдвигом определяются соотношениями:
или (3)
а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 2а, б.
а) б)
Рис. 2
При этом изображение единичного воздействия имеет вид:
(4)
Единичный импульс. Единичный импульс
(d
– функция) – это идеализированный сигнал, который характеризуется бесконечно малой длительностью, бесконечно большим уровнем (амплитудой) и площадью равной единице.
Единичный импульс и импульс со сдвигом описываются соотношениями:
или (5)
а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 3а, б.
а) б)
Рис. 3
При этом изображение единичного импульса имеет вид
(6)
Основные свойства дельта – функции
1. – площадь или интенсивность d
– функции;
2. -фильтрующее свойство;
3. ;
- связь d
– функции с единичной функцией;
5. .
Свойства дельта – функции широко используются в методах исследования САУ.
Линейно-растущее воздействие. Линейно-растущее воздействие –
это воздействие с постоянной скоростью изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:
. (7)
Графическое изображение линейно – растущего воздействия имеет вид, приведенный на рис. 4а.
При этом,
. (
8)
а) б)
Рис. 4
Квадратичное воздействие. Квадратичное воздействие
– это воздей-ствие с постоянным ускорением изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:
. (9)
Графическое изображение квадратичного воздействия имеет вид, приведенный на рис. 5.
При этом,
. (10)
Переходная функция. Переходная функция
h(t)
– реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 5) с передаточной функцией K(p)
Рис. 5
В изображениях выходная величина равна .
Так как ,
то изображение выходной величины равно
.
При этом связь между передаточной и переходной функцией имеет вид:
. (11)
Начальное значение переходной функции равно нулю, а установившееся значение определяется с помощью теоремы о конечном значении функции
. (12)
Весовая функция. Весовая функция
k(t)
– реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 6) с передаточной функцией K(p)
Рис. 6
В изображениях выходная величина равна , а в оригиналах определяется с помощью интеграла свертки
. (13)
Так как , то .
При этом связь между передаточной и весовой функцией имеет вид:
, (14)
т.е. весовая функция представляет оригинал передаточной функции.
Установившееся значение весовой функции определяется с помощью теоремы о конечном значении фу
. (15)
Связь между переходной и весовой функцией имеет вид:
. (16)
Методы определения временных характеристик
Существуют различные методы расчета переходных процессов, при этом наиболее часто используются следующие методы:
1. Классический метод.
2. Операторный метод, использующий разложение на простые дроби.
3. Операторный метод, использующий вычеты.
Метод аналогового и цифрового моделирования.
5. Метод трапеций.
Рассмотрим некоторые методы определения временных характеристик на конкретных примерах.
Классический метод расчета временных характеристик
Классический метод расчета временных характеристик основан на решении дифференциальных уравнений.
Пример 1.
Пусть дана передаточная функция:
Определить: переходную функцию – h(t)
и функцию веса – k(t)
.
Решение
1. Запишем дифференциальное уравнение в соответствии с заданной передаточной функцией
При единичном воздействии, т.е. x(t)=1(t)
дифференциальное уравнение имеет вид
.
2. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения состоит из свободной и вынужденной составляющей
.
3. Переходная функция может быть определена из соотношения
При нулевых начальных условиях
При этом выражения для переходной функции и функции веса имеют вид:
Метод разложение на простые дроби
Рассмотрим алгоритм использования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданной системы.
Исходную передаточную функцию можно представить в виде:
Значения параметров А и В находим методом неопределенных коэффициентов
Функция веса равна:
Определим переходную функцию.
Изображение переходной функции можно представить в виде:
Значения параметров А, В и С находим методом неопределенных коэффициентов.
Переходная функция равна:
Определение временных характеристик с использованием вычетов
Рассмотрим алгоритм использования метода на предыдущем примере. Определим функцию веса для заданной выше системы. В соответствии с теоремой разложения:
если
где ,
то
.
Таким образом, используя теорему Коши о вычетах, оригинал можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции.
Рассмотрим изображение переходной функции:
Запишем характеристическое уравнение, определим значения полюсов их количество и кратность
При этом переходную функцию определяем, используя вычеты по полюсам подынтегральной функции
Функция веса определяем аналогично, либо через производную от переходной функции
2.3 Частотные характеристики САУ
Частотные характеристики
определяются, как реакция системы на гармоническое типовое воздействие при нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 7) с передаточной функцией K(p)
.
Рис. 7
При подаче на вход системы гармонического воздействия
, (17)
на выходе получим (18)
Если использовать формулы Эйлера, эти соотношения можно представить в комплексном виде:
(19)
Если выполнить подстановку p = j
w
в передаточной функции системы, то получим комплексную передаточную функцию
(20)
При изменении частоты 0£w
£+¥ получим следующие частотные характеристики:
АФХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика;
ВЧХ – вещественная частотная характеристика;
МЧХ – мнимая частотная характеристика;
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ – фазовая частотная характеристика.
Частотные характеристики могут быть выражены через коэффициенты полиномов передаточной функции
(21)
Графически характеристики можно представить в виде рис. 8а.
Связь между временными и частотными характеристиками.
Рассмотрим связь между частотными характеристиками и переходной функцией системы (рис. 8б).
а) б)
Рис. 8
Для выходной величины можно записать
.
Используя преобразование Фурье, получим выражение для переходной функции
(22)
Подставив эти выражения в формулу для h(t)
и выполнив преобразования, получим связь между переходной функцией и ВЧХ:
(23)
Логарифмические частотные характеристики САУ
Исследование систем существенно упрощается при использовании не обычных, а логарифмических частотных характеристик. При этом натуральная логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются из соотношений
. (24)
На практике обычно используют десятичные логарифмы. При этом логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот и определяется соотношением
.
Единицей измерения ЛАЧХ является децибел
(дБ), 1дБ = 1/10 [Бел].
Так как 1 Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, то
(25)
Амплитуда сигнала откладывается по оси ординат (рис. 9а), при этом ось абсцисс соответствует значению амплитуды равной единице, верхняя полуплоскость соответствует усилению сигнала (A > 1), а нижняя – ослаблению (A < 1).
Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) строится в логарифмическом масштабе частот, при этом частоты откладываются по оси абсцисс по декадам (рис. 9б). Декада – отрезок, на котором частота увеличивается в десять раз.
а) б)
Рис. 9
Начало оси координат, в зависимости от диапазона частот, на котором строится логарифмическая характеристика, может быть помещено в любую точку (w
= 0,01; w
= 0,1; w
= 1 и т.д.).
Логарифмические характеристики имеют ряд преимуществ перед обычными частотными характеристиками. Основным преимуществом логарифмических характеристик является возможность оценки влияния отдельных параметров системы без необходимости повторного проведения расчета.
Литература
1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.
3. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.
4. Воронов А.А., Основы теории автоматического управления, ч. 3, М. – Л., 1970.
5. Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.
6. Емельянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой, М., 1967.
7. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1982.
8. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.