Содержание
1 Постановка задачи и исходные данные. 2
2 .Аппроксимация функций. 2
3. Подбор эмпирических формул. 2
3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия). 2
3.2. Показательная зависимость. 2
3.3. Логарифмическая функция. 2
4. Метод наименьших квадратов. 2
5. БЛОК-СХЕМА для МНК.. 2
6 .Решение задачи в MathCAD.. 2
Подбор эмпирической формулы.. Ошибка! Закладка не определена.
Расчет. Ошибка! Закладка не определена.
7. Вывод. 2
8. Список литературы.. 2
Введение
1 Постановка задачи и исходные данные
Имеются экспериментальные данные в виде таблицы:
| xi
|
6,04 | 6,33 | 4,86 | 5,91 | 4,96 | 5,58 | 6,15 | 6,13 | 4,65 | 5,49 |
| yi
|
79,31 | 57,43 | 60,66 | 92,55 | 90,12 | 71,30 | 70,50 | 91,52 | 54,9 | 58,56 |
Необходимо обработать опытные данные путем нахождения аппроксимирующих зависимостей. Для расчета параметров аппроксимирующей функции применять метод наименьших квадратов
2 .Аппроксимация функций
Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно.
Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(х), так чтобы отклонение φ(х) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(х) при этом называется аппроксимирующей.
Мерой отклонения φ(х) от заданной функции f(x) на множестве точек (хi
, yi
) (i=0,1,…,n) при среднеквадратическом приближении является величина S, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:
(1)
Надо подобрать такую функцию φ(х), чтобы величина S была наименьшей. В этом и состоит метод наименьших квадратов.
3. Подбор эмпирических формул
Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между у и х, мы в результате серии экспериментов произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений
| Х0
|
Х1
|
… | Хn
|
| Y0
|
Y1
|
… | Yn
|
Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость
y=f(x), (2)
значения которой при х= хi
(i=0,1,…,n) мало отличается от опытных данных yi
. Приближенная функциональная зависимость (2), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.
Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки (хi
, yi
), как в случае интерполяции.
Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость
Y=ax+b
Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен –парабола или кубическая парабола.
Y=ax2
+bx+c
Y=ax3
+bx2
+cх+d
Также за эмпирическую формулу можно взять любой полином Y = Pn
(x), обратную степенную функцию Y=1/Qn
(x) или логарифмическую Y = aln(bx) + c.
Ниже приведены наиболее употребимые формулы и соответствующие им графики.
3.1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия)
Степенная зависимость имеет вид
(3)
Во всех случаях при При в точке кривая касается оси абсцисс. В этом случае, чем больше , тем ближе подходит кривая к оси абсцисс при и тем быстрее она возрастает при
При в точке кривая касается оси ординат. При кривая ближе подходит к оси ординат, чем к оси абсцисс, при наоборот.
Рисунок 1
График степенной зависимости
Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции. Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции положительны, прологарифмируем равенство (3) при условии
(4)
Введем новую переменную тогда будет функцией от t . Обозначим тогда равенство (4) примет вид:
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции:
1) по данной таблице 1 составить новую таблицу 2, прологарифмировав
Таблица 1 Таблица 2
2) по новой таблице 2 найти параметры и приближающей функции вида
3) используя примененные обозначения, найти значения параметров и и подставить их в выражение (3).
Окончательно получаем:
(5)
3.2. Показательная зависимость
Показательная зависимость имеет вид
(6)
Во всех случаях при . Если то при кривая растет с увеличением тем быстрее, чем больше При она приближается к оси абсцисс с возрастанием тем быстрее, чем больше абсолютная величина
Если найденная на опыте зависимость от является показательной, то график зависимости от представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой равен параметру Если значение при неизвестно, то величину параметра можно найти по формуле для ряда значений а затем взять среднее.
Рисунок 2 График показательной функции
Найдем коэффициенты и для исходной таблицы 1, если известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде показательной функции (6).
Прологарифмируем равенство (6) :
(7)
приняв обозначения перепишем (7) в виде:
(8)
Таким образом приближающая показательная функция нехитрыми преобразованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов и показательной функции можно воспользоваться выведенной для линейной функции формулой
(9)
Итак, для нахождения приближающей функции в виде (6) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их совместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 3 приближающую функцию вида (8).
Таблица 1 Таблица 3
Окончательно получаем:
(9)
Рисунок 3 – График логарифмической функции
Замечание:
формулам
(10)
(11)
соответствуют кривые, изображенные на рисунках 1 и 2, сдвинутые вверх или вниз на величину . Например, кривая, изображенная на рисунке 3, соответствует формуле при и Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение Иногда величину можно легко найти по значению, к которому стремится при возрастании (при ) или по значению при (для формулы 10 при ). Можно также воспользоваться формулой
где и — ординаты произвольных (но достаточно далеких) точек с абсциссами ,, а ордината соответствует абсциссе в случае формулы (10) и абсциссе в случае формулы (11).
3.3.
Логарифмическая функция
Будем искать приближающую функцию в виде
(12)
Для перехода к линейной функции достаточно выполнить подстановку
Отсюда следует, что для нахождения значений a
и b
нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице 1 и для новой таблицы 4 найти приближающую функцию в виде линейной y=
at+
b.
Коэффициенты a
и b
найденной функции подставить в формулу 2.14.
| Таблица 4 | Таблица 5 |
Окончательно получим:
(13)
Рисунок 4 График логарифмической функции
4.
Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек х0
, х1,
…,хm
(3)
Параметры а0
, а1,
…,аm
эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S= S(а0
, а1,
…,аm
). В этом состоит метод наименьших квадратов.
В
Поскольку здесь параметры а0
, а1,
…,аm
выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:
(4)
Полученные соотношения – система уравнений для определения параметров а0
, а1,
…,аm
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен:
φ(х)= а0
+а1
х+ а2
х2
+…+ аm
хm
(5)
Формула (9) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид
(6)
Для составления уравнений (4) найдем частные производные функции S= S(а0
, а1,
…,аm
):
Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4) и собирая коэффициенты при неизвестных а0
, а1,
…,аm
получаем следующую систему уравнений:
………………………………………….
Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты
а0
, а1,
…,аm
многочлена (5), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.
5. БЛОК-СХЕМА
решения задач
6 .Решение задачи в
MathCAD
Для решения поставленной задачи необходимо подобрать эмпирическую формулу такую, которая наилучшим образом отражала бы заданное экспериментальное распределение точек (таблица исходных данных). Для этого воспользуемся графическими возможностями программы MathCad.
На рис.4 представлено точечное распределение экспериментальных данных, задания курсовой работы.
Рисунок 4 – Распределение точек
С помощью программы Mathcadподберем функцию, максимально близко проходящую к данным точкам, либо проходящую через них. Т.е. определим функциональную зависимость yот х. Для этого воспользуемся методом перебора возможных вариантов: сначала оценим погрешность аппроксимации линейной, степенной и логарифмической функций. Оптимальной будем считать ту аппроксимирующую функцию, которая позволяет достичь минимального среднеквадратического отклонения
Рассмотрим линейную функцию
Для того, чтобы провести график данной функции и оценить погрешность аппроксимации, необходимо найти коэффициенты aи b. Воспользуемся встроенными
| Аппроксимация прямой |
| аппроксимирующая функция |
Рисунок 5 – Линейная функция
Среднеквадратическое отклонение функции :
Таким образом, среднеквадратическое отклонение значений функции от значений распределения полученных данных достаточно велико, следовательно, данная функция не является оптимальной
Рассмотрим теперь аппроксимацию полиномом. Степень полинома не может превышать 9, т.к. всего точек в распределении данных - 10. Будем изменять значение параметра n - степени полинома, выберем два разных полинома со степенями, например 2 и 3 и сравним погрешность такой аппроксимации
| степень полинома |
Результаты аппроксимации данных полученными полиномами polyи poly2 представлены на рис. 6
Рисунок 6– График степенной функции
Оценим погрешность данного способа аппроксимации для функции F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2
+ 53.93*x3
:
Для функции F(x) = -1617.748+ 598.477*x– (-52.578)*x2
:
Рассмотрим логарифмическую функцию.
Будем располагать точки на различных графиках
|
|
Рисунок 7 – Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnу)
Рисунок 8 - Экспериментальные данные в полулогарифмической шкале (lnx)
Рисунок 9 – Логарифмические шкалы по обеим осям
Можно заметить что на рисунке 7 точки приближенно укладываются в прямую линию. Это означает что подбираемую функцию можно линеаризовать, если заменить вектор у на ln(у).
В уравнении ln(у) = а*х + ln(b) заменим ln(у) на у1, а заменим на а0, ln(b) y на b0.
Применили линейную аппроксимацию для расчета коэффициентов а и ln(b), а затем А и В.
Получим у = В*еАх
| Аппроксимация прямой |
| аппроксимирующая функция |
Оценим погрешность данного способа аппроксимации для функции
Все линии отобразим на одном графике
7. Вывод
Для описания табличных данных были исследованы три типа зависимостей: линейная, степенная, и логарифмическая. Также были определены
коэффициенты в уравнениях этих зависимостей и суммы квадратов отклонений от всех точек до искомой кривой.
:
F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2
+ 53.93*x3
:
F(x) = -1617.748+ 598.477*x– (-52.578)*x2
:
Затем была выбрана наиболее подходящая для заданных опытных данных функциональная зависимость. Она соответствует наименьшей сумме квадратов отклонений. Наименьшую сумму квадратов отклонений Q1 имеет степенная зависимость. Следовательно, наилучшая для заданных опытных значений функциональная модель – степенная со следующим уравнением: F(x) = -10479.791+ 5480.598*x -( -943.828)*x2
+ 53.93*x3.
Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет обработать полученные опытные данные и определить тип зависимости между ними.
8. Список литературы
1. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. - М.: Просвещение. 1990. - 176 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука 1973.
3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.
4. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. -М.: Просвещение. 1978.
5. Плис А. И. Сливина Н. A. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров. - М.: финансы и статистика, 2000. 656 с.
6. В. Д. Лисица, Г. И. Севодина. Расчеты в системе MathCAD: лабораторный практикум по курсу информатики и вычислительной математики для студентов технологических и экономических специальностей. - Бийск: Изл-во Алт. гос. техн. ун-та. 2002. - 62 с.