Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные методы
механики сплошных сред
Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург
2008
Содержание
Содержание. 2
1. Физическая мотивация. 3
2. Математическая корректность. 5
2.1 Существование решения. 5
2.2 Единственность решения. 6
2.3 Устойчивость решения. 6
3. Аппроксимация. 7
4. Численный метод. 8
5. Тесты.. 9
Выводы.. 16
Список литературы.. 17
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
Рис.1 Стержень длины h
– основание стержня, описываемое уравнением ,
– основание стержня, описываемое уравнением ,
– боковая поверхность стержня.
Сделаем следующие предположения:
1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4. на и ;
5. на ;
6. на ;
7. на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
(1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
(1.2)
Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси , где – угол закрутки на единицу длины.
В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле минимизирует функционал
(1.3)
Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты , кроме и , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:
(1.4)
Введем функцию тока и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения на части границы можно представить в виде:
(1.5)
С другой стороны, (1.6)
Следовательно, , т.е. на границе . Не умаляя общности, можем положить на . Значит, .
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
, – предел текучести материала. (1.7)
В данном примере, . Отсюда, почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах , получаем
(1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1
: Найти такое, что достигает минимума функционал
,
где , (1.9)
– коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить .
Если ввести билинейную форму , элемент и скалярное произведение , то задача З1
запишется в виде
(1.10)
или в форме вариационного неравенства: (1.11)
2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1
математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
(2.1.1)
– рефлексивное банахово пространство,
Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.
(2.1.2)
Пусть : в
Тогда в и в , при
Следовательно, ,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
(2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1
имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1.
Билинейная форма – V-эллиптическая.
Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );
Утверждение 2.
Решение задачи З1
единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)
(2.2.2)
Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .
Получим (2.2.3)
(2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1:
Отсюда,
Форма – эллиптическая, .
Окончательно,
2.3 Устойчивость решения
Решение должно удовлетворять неравенству (2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как (2.3.2)
Неравенство (2.3.2) выполняется для : (2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
(2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
(2.3.5)
Тогда (2.3.6)
- первое основное неравенство
3. Аппроксимация
, иначе
Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .
Будем строить по схеме метода конечных элементов.
Построим триангуляцию области . В результате получим область, где – число треугольников в р
Для каждого узла триангуляции построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:
1.
2. , где – вершины, смежные с
3. , где – семейство полиномов первого порядка.
Составим пространство из построенных функций .
Теперь необходимо аппроксимировать множество , заданное формулой (1.9).
Пусть . Тогда .
Покажем, что множество аппроксимирует .
1)
От противного:
Пусть такие, что
Но, по свойству предельной плотности
. Следовательно, , т.е. .
Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств требуемое свойство выполнено.
2) слабо.
(конечномерное пространство), значит сильно,
Запишем задачу З1
: найти такое, что
Наряду с ней сформулируем задачу З2
:
найти такое, что
При сделанных предположениях относительно .
4. Численный метод
Для решения задачи З2
будем использовать метод штрафа.
Исходная вариационная задача: (4.1)
Построим вспомогательный функционал
(4.2)
– функция штрафа. (4.3)
, если
, если
Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу . По свойствам функционала ее решение существует и единственно.
Кроме того, – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].
Производная Гато функции :
Тогда задача эквивалентна решению уравнения
(4.4)
(4.5)
Можно показать, что – монотонный оператор и , если [3].
Следовательно, решение вариационной задачи .
Замечания по реализации:
Неизвестную функцию решения будем искать в виде:
, (4.6) где – число узлов триангуляции,
– значение функции в i-том узле,
– базисная функция из пространства .
Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по :
5. Тесты
Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.
Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.
В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.
1) . Точное решение задачи .
На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .
Рис.2 Число узлов = 29
Рис.3 Число узлов = 146
Рис.4 Число узлов = 270
Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.
Здесь – точное решение, – численное решение;
, где – число узлов.
В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.
| № теста | Число элементов | Число узлов | Относит.погрешность |
| 1 | 40 | 29 | 0.03035 |
| 2 | 258 | 146 | 0.00631 |
| 3 | 490 | 270 | 0.01735 |
| 4 | 1032 | 549 | 0.00219 |
Таблица 1 Результаты сравнения (1).
2) . Точное решение задачи .
На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .
Рис.6 Число узлов = 29
Рис.7 Число узлов = 146
Рис.8 Число узлов = 270
Рис.9 Число узлов = 549
Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.
| № теста | Число элементов | Число узлов | Относит.погрешность |
| 1 | 40 | 29 | 0.18035 |
| 2 | 258 | 146 | 0.08561 |
| 3 | 490 | 270 | 0.04981 |
| 4 | 1032 | 549 | 0.03484 |
Таблица 2 Результаты сравнения (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением,
Рис.10 Число узлов = 27
Рис.11 Число узлов = 177
4) На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,
Рис.12 Число узлов = 144
Выводы
В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачи существует и единственно.
Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.
Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.
Список литературы
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.