Надежность АСО и У
Лабораторная работа № 3
Решение задачи оптимального резервирования системы методом динамического программирования
Вариант №1
Студент
Корнеева М.С.
(шифр605596)
Группа
АУЗ– 562
Введение
Цель работы
Изучение влияния структурного резервирования на показатели надежности системы, освоение метода динамического программирования для решения задачи оптимального резервирования
Задание на работу
1. Освоить методы решения задачи оптимального резервирования технической системы.
2. Для заданного варианта построить оптимальную схему системы при нагруженном резервировании ее элементов. Для этого решить задачу методами неопределенных множителей Лагранжа и динамического программирования.
3. Составить отчет по работе, содержащий все этапы выполнения задания
Задача
Система управления содержит блок обработки и блок выдачи команд. Величины вероятностей безотказной работы и приведенных затрат на эти блоки P1(ti)=0,5, P2(ti)=0,7, с1= 3 усл.ед., с2= 1 усл.ед
Найти оптимальный нагруженный резерв для каждого блока при условии, что вероятность безотказной работы системы должна быть не менее 0,98 при минимальных затратах.
Ход выполнения работы
Теоретические положения.
Большая группа задач оптимизации связана с определением числа резервных элементов (подсистем) с учетом ограничивающих факторов (затрат). Подобные задачи могут быть двух видов.
Задачи оптимального резервирования первого вида состоят в определении требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих заданное значение показателя надежности системы при минимальных затратах.
Задачи второго вида - определение требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих максимум значения показателя надежности системы при величине затрат, не превышающей заданную.
Для решения перечисленных задач используют метод неопределенных множителей Лагранжа, а также методы: градиентный, перебора и динамического программирования.
Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет аналитически получить приближенное решение задачи. Погрешность результатов обусловлена тем, что данный метод оперирует действительными числами, в то время как количество резервных элементов системы выражается как целое число. Округление результатов до целых чисел вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров, вследствие чего возникает погрешность решения. Кроме того метод неопределенных множителей Лагранжа дает решение в явном виде только при простейших моделях надежности.
Метод динамического программирования является модификацией метода простого перебора. В этом методе для сокращения числа вариантов при переборе вводится понятие доминирующая последовательность – подмножество вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального решения.
Применительно к задаче оптимального резервирования будем считать, что один состав системы, представляющий собой некоторую комбинацию расположения резервных элементов, доминирует над другим, если для одного и того же уровня надежности обеспечение этого состава связано с минимальными затратами. Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей последовательности в силу того, что они обладают большей величиной затрат при той же надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем члены доминирующей последовательности, исключаются из рассмотрения.
Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.
Пусть система состоит из подсистем и каждая подсистема имеет резервов. Вероятность отказа системы .
Затраты на резервную подсистему .
Оптимальный резерв i-ой подсистемы имеет вид:
,
где
Занесем исходные данные и промежуточные расчеты в таблицу
| i | 1 | 2 |
| 3 | 1 | |
| 0,5 | 0,3 | |
| -0,6932 | -1,204 | |
| -4,3281 | -0,8306 |
Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описывается вектором состояния , поскольку изначально генератор состоит из двух блоков. .
При этом
Определяем оптимальное количество элементов каждой подсистемы:
Округляя результаты до ближайших целых значений, получим приближенный оптимальный состав системы: . При таком составе системы параметры системы будут следующими:
При таком составе системы вероятность отказа составляет Q=0.018, что меньше заданной величины Qзад=0,02, значит условие выполняется
Решение задачи методом динамического программирования
Примем, что для блока № 1 максимальное число резервных блоков равно 6, а для блока № 2 максимальное число резервных блоков равно 5. Для построение доминирующей последовательности построим таблицу
| Число К1 резервных блоков к блоку 1 | ||||||||||||||||||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||||||||||||||||
| 1 | 3,0000 | 2 | 6,0000 | 3 | 9,0000 | 4 | 12,0000 | 5 | 15,0000 | 6 | 18,0000 | 7 | 21,0000 | |||||||||||||
| 0,5000 | 0,2500 | 0,1250 | 0,0625 | 0,0313 | 0,0156 | 0,0078 | ||||||||||||||||||||
| Число К2 резервных блоков к блоку 2 | 0 | 8 | 1,0000 | 14 | 4,0000 | 15 | 7,0000 | 16 | 10,0000 | 17 | 13,0000 | 18 | 16,0000 | 19 | 19,0000 | 20 | 22,0000 | |||||||||
| 0,3000 | 0,8000 | 0,5500 | 0,4250 | 0,3625 | 0,3313 | 0,3156 | 0,3078 | |||||||||||||||||||
| 1 | 9 | 2,0000 | 21 | 5,0000 | 22 | 8,0000 | 23 | 11,0000 | 24 | 14,0000 | 25 | 17,0000 | 25 | 20,0000 | 27 | 23,0000 | ||||||||||
| TOM" style="border: none; padding: 0in;"> | ||||||||||||||||||||||||||
| 0,0900 | 0,5900 | 0,3400 | 0,2150 | 0,1525 | 0,1213 | 0,1056 | 0,0978 | |||||||||||||||||||
| 2 | 10 | 3,0000 | 28 | 6,0000 | 29 | 9,0000 | 30 | 12,0000 | 31 | 15,0000 | 32 | 18,0000 | 33 | 21,0000 | 34 | 24,0000 | ||||||||||
| 0,0270 | 0,5270 | 0,2770 | 0,1520 | 0,0895 | 0,0583 | 0,0426 | 0,0348 | |||||||||||||||||||
| 3 | 11 | 4,0000 | 35 | 7,0000 | 36 | 10,0000 | 37 | 13,0000 | 38 | 16,0000 | 39 | 19,0000 | 40 | 22,0000 | 41 | 25,0000 | ||||||||||
| 0,0081 | 0,5081 | 0,2581 | 0,1331 | 0,0706 | 0,0394 | 0,0237 | 0,0159 | |||||||||||||||||||
| 4 | 12 | 5,0000 | 42 | 8,0000 | 43 | 11,0000 | 44 | 14,0000 | 45 | 17,0000 | 46 | 20,0000 | 47 | 23,0000 | 48 | 26,0000 | ||||||||||
| 0,0024 | 0,6170 | 0,3670 | 0,2420 | 0,1795 | 0,1483 | 0,1326 | 0,1248 | |||||||||||||||||||
| 5 | 13 | 6,0000 | 49 | 9,0000 | 50 | 12,0000 | 51 | 15,0000 | 52 | 18,0000 | 53 | 21,0000 | 54 | 24,0000 | 55 | 27,0000 | ||||||||||
| 0,0007 | 0,5540 | 0,3040 | 0,1790 | 0,1165 | 0,0853 | 0,0696 | 0,0618 | |||||||||||||||||||
В клетках 14-55 записываем значения вероятностей отказов и затрат для последовательно соединенных блоков 1 и 2.
В таблице темно-серым цветом обозначены клетки-варианты реализации устройства, подходящие под условие отказоустойчивости. Из них выбираем вариант с наименьшими затратами
Выводы
Решив задачу методом неопределенных множителей Лагранжа и методом динамического программирования пришел к следующему оптимальному по затратам и отказоустойчивости составу системы, с учетом введенных нагруженных блоков: .
Графически: