Лекция 13
НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ
1. Постановка задачи. Общая расчетная модель
При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:
экспоненциальное распределение наработки между отказами;
экспоненциальное распределение времени восстановления.
Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».
Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.
При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).
Случайный процесс в какой либо физической системе S
, называется марковским,
если он обладает следующим свойством:
для любого момента t
0
вероятность состояния системы в будущем (t > t
0
) зависит только от состояния в настоящем (t = t
0
) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).
| t < t
|
t > t
|
Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.
Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.
При использовании метода, в общем случае, для системы S
, необходимо иметь математическую модель
в виде множества состояний системы S
1
, S
2
, … , S
n
, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:
- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);
- отсутствуют ограничения на число восстановлений;
- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S
1
, S
2
, … , S
n
.
Основные правила составления модели:
1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.
Элементы графа:
а) кружки (вершины графа S
1
, S
2
, … , S
n
)
– возможные состояния системы S
, возникающие при отказах элементов;
б) стрелки
– возможные направления переходов из одного состояния Si
в другое Sj
.
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
Примеры графа:
S
0
– работоспособное состояние;
S
1
– состояние отказа.
«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:
- исправное состояние продолжается;
- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S
1
, S
2
, … , S
n
.
Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
P
1
(t), P
2
(t), … , Pi
(t), … , P
n
(t)
,
где Pi
(t)
– вероятность нахождения системы в момент t
в i
-м состоянии, т. е.
Pi
(
t) =
P{
S(
t) =
si}.
Очевидно, что для любого t
|
|
(1) |
(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S
1
, S
2
, … , S
n
нет).
3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:
|
|
(2) |
В общем случае, интенсивности потоков ij
и ij
могут зависеть от времени t
.
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени t
от Pi
(t);
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.
4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P
1(t), Pi
(t), … , P
n(t)
необходимо задать начальное значение вероятностей
P
1(0), Pi
(0), … , P
n(0)
, при t = 0
,
сумма которых равна единице:
Если в начальный момент t = 0
состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi
(0) = 1,
а остальные равны нулю.
2. Показатели надежности восстанавливаемых систем
Все состояния системы S
можно разделить на подмножества:
SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;
SM
S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.
S = SK
SM
,
SK
SM
= 0.
1. Функция готовности Г(t) системы
определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t
где Pj(t)
– вероятность нахождения системы в работоспособном j
-м состоянии;
Pz(t)
– вероятность нахождения системы в неработоспособном z
-м состоянии.
2. Функция простоя П(t) системы
3. Коэффициент готовности kг.с. системы
определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим
, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются
Коэффициент готовности kг.с.
можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi
(t)/dt = 0,
т.к. Pi
=
const
при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:
|
|
(3) |
и коэффициент готовности:
есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .
4. Параметр потока отказов
системы
|
|
(4) |
где jz
– интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.
5. Функция потока отказов
|
|
(5) |
6. Средняя наработка между отказами
на интервале t
|
|
(6) |
Примечание:
При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами
T
0
= kг
.с
./
,
где () = .
В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект
, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока
= = 1/ T
0
,
а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления
= 1/ T
В
,
где T
0
– средняя наработка между отказами;
T
В
– среднее время восстановления.
P
0
(t)
– вероятность работоспособного состояния при t
;
P
1
(t)
– вероятность неработоспособного состояния при t.
Система дифференциальных уравнений:
|
|
(7) |
Начальные условия: при t = 0
P
0
(t = 0) = P
0
(0) = 1; P
1
(0) = 0,
поскольку состояния S
0
и S
1
представляют полную группу событий, то
| P
|
(8) |
Выражая P
0
(t) = 1 - P
1
(t)
, и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P
1
(t
):
| dP
|
(9) |
Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi
(t):
т. е. Pi
(S) = L{Pi
(t)}
– изображение вероятности Pi
(t).
Преобразование Лапласа для производной dPi
(t)/dt:
После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:
|
|
(9) |
где L{
} =
L{1} =
/S
.
При P
1
(0) = 0
SP
1
(S) + P
1
(S)( + ) = /S.
P
1
(S)( S + + ) = /S,
откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:
|
|
(10) |
Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:
Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:
L{
f(
t)} = 1/
S, то
f(
t) = 1;
L{
f(
t)} = 1/(
S +
a), то
f(
t) =
e-
at
,
вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии
определяется:
|
|
(11) |
Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t)
, равна
|
|
(12) |
С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t
.
Коэффициент готовности
системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi
(t) = Pi
= const
, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку
dPi
(t)/dt = 0.
Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t
при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .
При t алгебраические уравнения имеют вид:
|
|
(13) |
Дополнительное уравнение: P0 + P
1
= 1.
Выражая P
1
= 1 - P
0
, получаем 0 = P
0
- (1 - P
0
), или = P
0
( + ), откуда
|
|
(14) |
Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:
- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)
Г
(t) = P
0
(t);
П
(t) = 1 - Г
(t) = P
1
(t)
.
- параметр потока отказов
(t) по (4)
(t) = P
0
(t) = Г(t).
При t (стационарный установившийся режим восстановления)
(
t) = () = =
P0 =
kг.с.
- ведущая функция потока отказов
(t )
- средняя наработка между отказами
(t )
t0
= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .
На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.
Рис. 1
Анализ изменения P
0
(t)
позволяет сделать выводы:
1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности (= )
/ = 0 и P0(t) = 1.
2) При отсутствии восстановления ( = 0)
/ = и P0(t) = e-t
,
и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.
Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.
Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).
В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.
Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:
Система дифференциальных уравнений:
Начальные условия: P
0
(0) = 1; P
1
(0) = 0.
Изображение по Лапласу первого уравнения системы:
После группировки:
откуда
Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t
:
3. Связь логической схемы надежности с графом состояний
Переход от логической схемы к графу состояний необходим:
1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;
2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.
Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).
Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .