Задача 5.
Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ.
Загальна постановка задачі
В сільському господарстві земля - основний засіб виробництва. Її необхідно використовувати з максимальним економічним ефектом, постійно дбаючи про родючість. Успішне рішення задачі раціонального використання землі багато в чому залежить від обґрунтованої структури посівних площ.
Оптимальна структура посівних площ являє собою відображення спеціалізації рослинництва у вигляді такого співвідношення посівних площ по культурах, яке забезпечує отримання максимальної кількості сільськогосподарської продукції.
Постановка задачі: виходячи з виробничих ресурсів (земельних, трудових, матеріальних, тощо) визначити оптимальну структуру посівних площ, яка забезпечить виконання плану продажу продукції по видах, внутрішні потреби господарства в продукції, агрономічні та сівозмінні вимоги при максимальному економічному ефекті.
В якості критерію оптимальності може бути:
- максимум отримання прибутку від виробництва;
- максимум виробництва валової та товарної продукції в грошовому виразі;
- максимум виробництва конкретної продукції (зерна, картоплі, тощо).
Для розробки економіко-математичної моделі необхідна така інформація:
- розмір площі ріллі, сінокосів, пасовищ;
- перелік сільськогосподарських культур, що вирощуються в даній кліматичній зоні, їх можлива врожайність;
- затрати праці та коштів на 1га посіву;
- виручка від реалізації продукції (з 1га або одиниці продукції);
- наявність виробничих ресурсів в господарстві, норми витрат їх на 1га;
- потреба тварин в кормах по видах;
- план продажу та внутрішня потреба господарства по видах продукції;
- агротехнічні вимог та можливі межі входження окремої культури або групи культур в сівозміну.
Економіко-математичну модель можна представити в загальному виді.
Знайти максимум функції:
при обмеженнях:
- виробничі ресурси господарства обмежені:
- окремі культури та групи культур в сівозміну вводяться в обґрунтованих агротехнічними вимогами межах:
;
- дотримується співвідношення окремих культур (наприклад: для отримання збалансованих концентрованих кормів, страхові культури, ...):
- обмеження, на отримання продукції даного виду не менше заданої кількості:
- при умові невід’ємності змінних:
де:
- прибуток з 1га j
-ї культури;
- площа посіву j
-тої культури;
- затрати ресурсів i
-го виду на 1га j
-ї культури;
- наявність виробничих ресурсів i
-го виду;
- нижня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
- верхня межа входження окремої культури або групи культур в сівозміну;
- урожайність j
-тої культурі;
- необхідна кількість i
-го виду продукції;
- коефіцієнти пропорційності.
Умова задачі
Господарство має 1200га оранки, на яких може вирощувати зернові та просапні культури.
Площа зернових у структурі посівних площ повинна бути від 40 до 60%, площа цукрових буряків не повинна перевищувати 15%, а площа соняшника або картоплі – не більше 10%. Площа озимих повинна бути не більше 50% від максимальної площі зернових. Площа ярої пшениці співвідноситься до площі озимої пшениці як 1:10.
Підприємство повинно виробити не менше:
- 15600ц зерна (в тому числі 7050ц пшениці);
- 10500ц цукрового буряку;
- 1050ц соняшника;
- 530ц проса або гречки.
Крім цього для галузі тваринництва необхідно:
- соломи – 17400ц;
- кукурудзи на силос (зелений корм) – 15570ц
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від товарної продукції рослинництва.
Культури для розробки економіко-математичної моделі наведено в таблиці 7, вихідні дані взяти довільно з заданого діапазону (таблиця 1).
Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть площі під кожну культуру (Х
1
, Х
2
, ..., Х
8
), валові збори культур (Х
9
, Х
10
, ..., Х
16
), загальні витрати на виробництво продукції (Х
17
), витрати на виробництво товарної продукції (Х
18
), виручка від реалізації товарної продукції рослинництва (Х
19
).
Таблиця 1
Культури, що будуть висіватися в господарстві
| Варіант |
Зернові |
Просапні |
||||||
| 3
|
озима пшениця |
яра пшениця |
ячмінь |
гречка |
просо |
цукровий буряк |
соняшник |
кукурудза на з/к |
Таблиця 2
Вихідні дані для розробки економіко-математичної моделі
| Культура |
Урожайність, ц/га |
Затрати на 1 га, грн. |
Ціна реалізації 1ц, грн. |
|
| основна продукція |
побічна продукція |
|||
| Озима пшениця |
45 |
55 |
600 |
40 |
| Яра пшениця |
30 |
30 |
480 |
40 |
| Гречка |
12 |
480 |
44 |
|
| Ячмінь |
35 |
35 |
300 |
38 |
| Просо |
20 |
25 |
450 |
29 |
| Цукровий буряк |
280 |
2300 |
16 |
|
| Соняшник |
23 |
650 |
90 |
|
| Кукурудза на з/к |
250 |
300 |
||
Рішення
На 19-ть змінних задачі накладено 25 обмежень:
1-ше обмеження стосується використання наявної площі:
1X
1
+1X
2
+1X
3
+1X
4
+1X
5
+1X
6
+1X
7
+1X
8
<=1200, де:
X
1
,X
2
, ..., X
8
– площі сільськогосподарських культур.
2-ге та 3-тє обмеження задають верхню та нижню межу насиченості сівозміни зерновими культурами, питома вага яких повинна бути від 40% до 60%.
1X
1
+1X
2
+1X
3
+1X
4
+1X
5
£720 (60%)
1X
1
+1X
2
+1X
3
+1X
4
+1X
5
³480 (40%), де
X
1
,X
2
,X
3
,X
4
,X
5
– площі зернових культур.
4-те, 5-те та 6-те обмеження описують максимальну площу цукрових буряків, озимих та картоплі відповідно, так 4-те стосується площі цукрових буряків:
1X
6
£180 (15%), де:
X
6
– площа цукрових буряків.
7-ме обмеження характеризує співвідношення між площею посіву озимої пшениці та ярої пшениці:
1X
1
-10X
2
=0, де:
X
1
– площа озимої пшениці;
X
2
– площа ярої пшениці.
Група обмежень з 8-го по 12-те задають нижню межу виробництва певної продукції, так 8-ме обмеження характеризується валового збору зерна, який повинен бути на менше 15600 ц:
1X
9
+1X
10
+1X
11
+1X
12
+1X
13
>=15600; де:
X
9
,X
10
,X
11
,X
12
,X
13
– валові збори озимої пшениці, ярої пшениці, гречки, жита, гороху відповідно.
13-те та 14-те обмеження забезпечать задоволення потреб тваринництва в соломі та силосі відповідно, так 13-те має вигляд:
55X
1
+30X
2
+35X
4
+25X
5
>=17400; де:
X
1
,X
2
,X
4
,X
5
– площі зернових культур: озимої пшениці, ярої пшениці, жита та гороху відповідно (коефіцієнти при цих змінних - урожайність соломи відповідних культур).
Обмеження з 15-го по 22-ге забезпечують зв’язок між площею посіву та валовим збором по кожній сільськогосподарській культурі, 15-те обмеження стосується озимої пшениці:
45
X
1
-X
9
=0; де:
X
1
– площа озимої пшениці (32 – урожайність озимої пшениці);
X
9
– валовий збір озимої пшениці.
23-те обмеження акумулює затрати на виробництво продукції:
600X
1
+480X
2
+30X
3
+480X
4
+450X
5
+2300X
6
+650X
7
+300X
8
– X
17=0; де:
X
1
,X
2
, ..., X
8
– площі сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X
17
– загальні затрати на виробництво продукції, грн.
24-те обмеження характеризує затрати на виробництво товарної продукції:
600X
1
+480X
2
+30X
3
+480X
4
+450X
5
+2300X
6
+650X
7
– X
18=0; де:
X
1
,X
2
, X
3
, X
4
, X
5
, X
6
, X
7
– площі товарних сільськогосподарських культур (коефіцієнти при змінних – затрати на 1 га, грн.);
X
18
– загальні затрати на виробництво товарної продукції, грн.
25-те обмеження стосується виручки від реалізації товарної продукції:
40X
9
+40X
10
+38X
11
+44X
12
+29X
13
+16X
14
+90X
15
-X
19
=0; де:
X
9
,X
10
,X
11
,X
12
,X
13
,X
14
,X
15
– валові збори с/г культур (коефіцієнти при змінних – ціна реалізації 1 ц продукції, грн.);
X
19
– виручка від реалізації товарної продукції рослинництва, грн.
В якості критерію оптимальності виступає прибуток від виробництва товарної продукції рослинництва:
1X
19
–1X
18
-max.
Економіко-математичну модель оптимізації посівних площ можна представити в табличному вигляді.
| Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ |
|||||||||||||||||||||||
| № |
Площі с/
г культур, га
|
Валовий збір, ц |
Затрати на виробництво продукції, грн. |
Затрати на виробництво товарної продукції, грн. |
Виручка від реалізації товарної продукції, грн. |
Тип та розмір обмежень |
№ |
||||||||||||||||
| Озимої пшениці |
Ярої пшениці |
Гречки |
Жита |
Гороху |
Цукрового буряку |
Картоплі |
Кукурудзи на силос |
Озимої пшениці |
Ярої пшениці |
Гречки |
Жита |
Гороху |
Цукрового буряку |
Картоплі |
Кукурудзи на силос |
||||||||
| Змінні |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
х7 |
х8 |
х9 |
х10 |
х11 |
х12 |
х13 |
х14 |
х15 |
х16 |
х17 |
х18 |
х19 |
||||
| Обмеження |
|||||||||||||||||||||||
| 1. |
Площа ріллі |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
<= |
1200 |
1 |
|||||||||||
| 2. |
Площа зернових max |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
<= |
720 |
2 |
||||||||||||||
| 3. |
Площа зернових min |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
>= |
480 |
3 |
||||||||||||||
| 4. |
Площа цукрових буряків |
1 |
<= |
180 |
4 |
||||||||||||||||||
| 5. |
Площа озимих |
1 |
<= |
360 |
5 |
||||||||||||||||||
| 6. |
Площа картоплі |
1 |
<= |
120 |
6 |
||||||||||||||||||
| 7. |
Співвідношення площі ярої пшениці до площі озимої |
1 |
-10 |
= |
0 |
7 |
|||||||||||||||||
| 8. |
Збір зерна |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
>= |
15600 |
8 |
||||||||||||||
| 9. |
Збір пшениці |
1 |
1 |
>= |
7050 |
9 |
|||||||||||||||||
| 10. |
Збір цукрового буряку |
1 |
>= |
10500 |
10 |
||||||||||||||||||
| 11. |
Збір гречки |
1 |
>= |
530 |
11 |
||||||||||||||||||
| 12. |
Збір картоплі |
1 |
>= |
8720 |
12 |
||||||||||||||||||
| 13. |
Потреба тваринництва в соломі |
40 |
30 |
25 |
16 |
>= |
17400 |
13 |
|||||||||||||||
| 14. |
Потреба тваринництва в силосі |
178 |
>= |
15570 |
14 |
||||||||||||||||||
| 15. |
Виробництво пшениці озимої |
32 |
-1 |
= |
0 |
15 |
|||||||||||||||||
| 16. |
Виробництво пшениці ярої |
30 |
-1 |
= |
0 |
16 |
|||||||||||||||||
| 17. |
Виробництво гречки |
9 |
-1 |
= |
0 |
17 |
|||||||||||||||||
| 18. |
Виробництво жита |
25 |
-1 |
= |
0 |
18 |
|||||||||||||||||
| 19. |
Виробництво гороху |
16 |
-1 |
= |
0 |
19 |
|||||||||||||||||
| 20. |
Виробництво цукрового буряку |
226 |
-1 |
= |
0 |
20 |
|||||||||||||||||
| 21. |
Виробництво картоплі |
190 |
-1 |
= |
0 |
21 |
|||||||||||||||||
| 22. |
Виробництво кукурудзи |
178 |
-1 |
= |
0 |
22 |
|||||||||||||||||
| 23. |
Витрати на виробництво продукції |
540 |
320 |
380 |
356 |
397 |
1865 |
1921 |
302 |
-1 |
= |
0 |
23 |
||||||||||
| 24. |
Затрати на виробництво товарної продукції |
540 |
320 |
380 |
356 |
397 |
1865 |
1921 |
-1 |
= |
0 |
24 |
|||||||||||
| 25. |
Виручка від реалізації товарної продукції |
40 |
40 |
44 |
28 |
45 |
16 |
50 |
-1 |
= |
0 |
25 |
|||||||||||
| Цільова функція (прибуток), грн. |
-1 |
1 |
max |
||||||||||||||||||||