ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
им. А. Ф. МОЖАЙСКОГО
____________________________________________________________________________________________________________
ФАКУЛЬТЕТ № 6
Курсовая работа
По дисциплине
«Анализ технического состояния БС РН и КА»
Тема
:
Синтез оптимальной ГПА технического состояния системы угловой стабилизации (СУС) КА по критерию минимума средних затрат с помощью МДП.
Выполнил: курсант 645 уч.гр.
еф-р Габов Р.А.
Проверил: профессор 65 кафедры.
дтн Дмитриев А.К.
2007 г.
Введение.
Задача синтеза оптимальных в том или ином смысле программ диагностирования может быть сформулирована и решена в рамках рассмотренных ранее агрегированных моделей или их аналогов. Пусть, например, в соответствии с моделью, представленной в таблице, задано упорядоченное множество технических состояний объекта.
Признаками являются обозначения наиболее вероятных исходов выполняемых проверок технических состояний или так называемые "модельные" исходы проверок в данном состоянии.
Предположим, что для каждого технического состояния найдена соответствующая вероятность , т.е. вероятность пребывания объекта в работоспособном или неработоспособном состоянии, обусловленное отказом какого-либо блока. Напомним, что под блоками понимаются любые функциональные элементы объекта, с точностью до которых производится распознавание дефектов.
Теоретические положения.
С учетом введенных обозначений формулу для определения математического ожидания затрат (средних затрат) на распознавание ТС БС по данной программе можем записать в следующем виде:
. (1)
Задача синтеза оптимальной по затратам программы заключается в отыскании всех подмножеств , при которых показатель принимает минимальное значение. Эта задача решается соответствующим выбором проверяемых признаков. Так как все ветви исходят из начального ФС , то в качестве первого проверяемого признака во всех искомых подмножествах будет выступать один и тот же признак. В зависимости от исхода его проверки выбираются последующие признаки. Последовательность случайных исходов проверок выбранных признаков определяет ветвь , по которой будет развиваться процесс распознавания ТС БС. Заметим, что этот процесс обладает марковским свойством, в соответствии с которым исходы проверок, входящие в одну ветвь , являются независимыми событиями, а поэтому
, (2)
где – вероятность -го исхода проверки признака в ФС .
Вероятность определяется вероятностью перехода ФС в ФС согласно отображению (3) и вычисляется по формуле
(3)
где знаком обозначена длина соответствующего подынтервала;
(4)
В процедуре выбора проверяемых признаков формулы (1) и (2) непосредственно не могут быть использованы, так как фигурирующие в них множества и неизвестны. С помощью этих формул можно вычислить показатель средних затрат для уже составленной или заданной программы, в которой указанные множества определены. В процессе же составления оптимальной программы возникает необходимость вычислять этот показатель для всех гипотетических -подпрограмм искомой программы.
Под -подпрограммой понимается часть графа , получаемая выделением в нем любой вершины вместе с выходящими из нее путями и областью ее достижимости (множество вершин, достижимых из , в том числе и конечных вершин , ). Вершина будет соответствовать начальному ФС, а выходящие из нее пути – ветвям -подпрограммы. Каждая ветвь -подпрограммы есть продолжение одной из ветвей всей программы, проходящих через вершину . Поэтому обозначим ее , сохранив при этом номер ветви , которую она продолжает. Множество всех ветвей -подпрограммы обозначим через , а подмножество признаков , входящих в отдельную ветвь , – через . Тогда формулу для вычисления средних затрат на реализацию -подпрограммы можем записать в следующем виде:
, (5)
где – вероятность ветви , определяемая через исходные вероятности из условия нормировки
. (6)
Очевидно, что
. (7)
В частном случае, когда (-подпрограмма совпадает со всей программой), выполняются равенства , , и формула (5) переходит в формулу (1). Таким образом, формула (11) есть частный вид общей формулы (5), позволяющей оценивать средние затраты для любой ‑подпрограммы (). Поэтому с ее помощью можем последовательно выбирать оптимальные признаки в каждом из фазовых состояний , начиная с тех, которые содержат два элемента , и завершая начальным состоянием , содержащим элементов. Такая многошаговая процедура позволяет однозначно определить множества и , которые необходимы для применения формулы (5). Основной недостаток при этом заключается в том, что, переходя к очередному ФС , содержащему большее число элементов, мы вынуждены выполнять заново все вычисления по формуле (5), причем по мере увеличения числа элементов в сложность соответствующей -подпрограммы возрастает, а, следовательно, возрастает и трудоемкость вычислений.
Для устранения этого недостатка преобразуем формулу (5) в форму рекуррентного соотношения, позволяющего на каждом шаге выбора признаков использовать результаты вычислений на предыдущих шагах. С этой целью выделим первый проверяемый признак рассматриваемой -подпрограммы и обозначим его через . Цену проверки этого признака запишем в виде отдельного слагаемого. Средние затраты на реализацию -подпрограммы, начинающейся с проверки признака , обозначим . Тогда вместо формулы (5) имеем
или с учетом формул (3.31) и (3.32)
. (8)
В полученном выражении второе слагаемое, стоящее после знака “+”, представляет собой средние затраты на реализацию той части -подпрограммы, которая содержит область достижимости вершины . Эта часть получается удалением из -подпрограммы начальной вершины с выходящими из нее дугами – исходами проверки признака . Вершины, инцидентные удаленным дугам, представляют собой ФС , получаемые из начального ФС при различных исходах выполняемой в нем проверки согласно отображению, то есть
, если ,
где
.
Каждая вершина () с исходящими из нее путями и ее область достижимости составляют часть -подпрограммы, которую назовем -подпрограммой (). Поэтому часть выражения (8), стоящую после знака “+”, можем представить в виде суммы из слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной -подпрограмме, то есть
, (9)
где – -я ветвь, а – множество всех ветвей ‑подпрограммы.
Вынесем за знак “”, стоящий в формуле вторым, сомножитель
,
характеризующий вероятность -го исхода () проверки признака в ФС . В результате получим
, (10)
где – вероятность реализации -й ветви -подпрограммы.
Ведем обозначение
. (11)
Это выражение, как видно из сопоставления его с формулой (5), определяет средние затраты на реализацию ‑подпрограммы. Подставив его в формулу (10), получим искомое рекуррентное соотношение
. (12)
Вероятность в этом соотношении вычисляется по формуле (3).
Если при некотором -м исходе проверки признака () в фазовом состоянии получается конечное ФС , , то в формуле (11) подмножество становится пустым (в конечном ФС проверки не выполняются), а поэтому принимается
. (13)
В качестве оптимального в ФС выбирается признак , удовлетворяющий критерию.
Чтобы реализовать рекуррентную процедуру выбора оптимальных признаков, необходимо прежде всего определить множество всех промежуточных фазовых состояний, которые могут возникнуть при различных исходах проверок допустимых признаков . В результате выполнения рекуррентной процедуры выбора оптимальных признаков найдем все необходимые фазовые состояния и соответствующие им подмножества допустимых признаков.
Для каждого ФС выберем из подмножества оптимальный признак. На первом шаге найдем оптимальные признаки в состояниях . Очевидно, что при проверке любого признака из состояния получаются только конечные состояния , , для которых . Согласно формуле (12) получим , то есть средние затраты на реализацию -подпрограммы определяются только ценой проверяемого признака, так как он единственный в данной подпрограмме. Поэтому выберем по критерию в каждом состоянии самый “дешевый” признак . Запомнив выбранные признаки и соответствующие им показатели , перейдем к второму шагу – выбору оптимальных признаков в состояниях .
Среди ФС, полученных из состояний при различных исходах проверок признаков , не может быть таких, которые содержат более двух элементов. Но для каждого из возможных ФС на предыдущем шаге определено оптимальное значение , которое примем равным и подставим в соотношение (12). Если же при некотором -м исходе проверки () получается конечное ФС, то, как и прежде, возьмем согласно формуле (13) . В результате вычислим средние затраты на реализацию – подпрограммы, начинающейся с проверки признака . Аналогично вычисляются средние затраты и для остальных признаков из подмножества . Выберем из него признак , которому соответствует согласно критерию минимальное значение . В таком же порядке найдем оптимальные признаки и для других состояний .
Порядок выбора оптимальных признаков сохраняется и на последующих шагах, причем на каждом из них рекуррентно используются результаты вычислений, полученные на предшествующих шагах. На последнем шаге выбирается оптимальный признак для начального состояния . Он принимается в качестве первого проверяемого признака синтезируемой программы. Соответствующее ему значение дает оценку средних затрат на реализацию этой программы. Выполнив дальнейшие действия завершим синтез гибкой программы анализа по критерию минимума средних затрат. В результате найдем все упорядоченные подмножества , задающие состав и очередность проверки признаков для распознавания конкретного технического состояния БС. Вместе с тем мы найдем все ветви программы, задающие условия перехода от одного проверяемого признака к другому в зависимости от исходов проверки первого. Эти условия позволяют при распознавании привлекать именно то подмножество , которое объективно необходимо для идентификации состояния БС. Найденные подмножества в совокупности с указанными условиями образуют гибкую программу распознавания ТС БС. Так как при этом соблюдается принцип оптимальности Беллмана, то синтезированная нами гибкая программа является оптимальной в смысле выбранного критерия, а именно: она задает состав признаков и последовательность их проверки для распознавания любого ТС БС с минимальными в среднем затратами. Правильность составления программы можем проверить, вычислив по формуле (1) средние затраты на распознавание ТС БС с помощью этой программы. Если окажется, что , то программа составлена правильно.
Таблица работоспособных и неработоспособных состояний обусловленные одиночными отказами блок.
| Технические состояния |
Проверки |
Вероятности технических состояний |
||||||
| π 1
|
π 2
|
π 3
|
π 4
|
π 5
|
π 6
|
π 7
|
||
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0,57 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,04 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0,06 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0,04 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0,08 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0,06 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0,05 |
| Цена проверки C(πj
|
7,5 |
4,6 |
9,3 |
10,8 |
10,8 |
3,5 |
3,5 |
|
<
Текст
программы
ATS_2003.cpp
Таблица фазовых состояний
и оптимальных допустимых признаков
| R[0]= |
0 _ _ _ _ _ _ _ |
ver= 57% |
P[0]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[1]= |
_ 1 _ _ _ _ _ _ |
ver= 10% |
P[1]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[2]= |
_ _ 2 _ _ _ _ _ |
ver= 4% |
P[2]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[3]= |
_ _ _ 3 _ _ _ _ |
ver= 6% |
P[3]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[4]= |
_ _ _ _ 4 _ _ _ |
ver= 4% |
P[4]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[5]= |
_ _ _ _ _ 5 _ _ |
ver= 8% |
P[5]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[6]= |
_ _ _ _ _ _ 6 _ |
ver= 6% |
P[6]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[7]= |
_ _ _ _ _ _ _ 7 |
ver= 5% |
P[7]= |
_ _ _ _ _ _ _ _ |
cen[0]= 0.00 |
| R[8]= |
_ 1 2 _ _ _ _ _ |
ver= 14% |
P[8]= |
_ 1 _ _ _ _ _ _ |
cen[1]= 7.50 |
| R[9]= |
0 _ _ _ _ _ _ 7 |
ver= 62% |
P[9]= |
_ _ _ _ _ _ _ 7 |
cen[7]= 3.50 |
| R[10]= |
0 _ _ _ _ _ 6 _ |
ver= 63% |
P[10]= |
_ _ _ _ _ _ 6 _ |
cen[6]= 3.50 |
| R[11]= |
_ _ 2 _ 4 _ _ _ |
ver= 8% |
P[11]= |
_ _ 2 _ _ 5 _ _ |
cen[2]= 4.60 |
| R[12]= |
_ _ 2 _ _ 5 _ _ |
ver= 12% |
P[12]= |
_ _ 2 _ 4 _ _ _ |
cen[2]= 4.60 |
| R[13]= |
_ _ _ 3 _ 5 _ _ |
ver= 14% |
P[13]= |
_ _ _ _ _ 5 _ _ |
cen[5]= 10.80 |
| R[14]= |
_ _ _ 3 4 _ _ _ |
ver= 10% |
P[14]= |
_ _ _ _ 4 _ _ _ |
cen[4]= 10.80 |
| R[15]= |
_ _ _ 3 _ _ 6 _ |
ver= 12% |
P[15]= |
_ _ _ 3 _ _ _ 7 |
cen[7]= 3.50 |
| R[16]= |
_ _ _ 3 _ _ _ 7 |
ver= 11% |
P[16]= |
_ _ _ 3 _ _ 6 _ |
cen[6]= 3.50 |
| R[17]= |
_ 1 2 _ 4 _ _ _ |
ver= 18% |
P[17]= |
_ 1 2 _ _ 5 _ _ |
cen[1]= 9.54 |
| R[18]= |
_ 1 2 _ _ 5 _ _ |
ver= 22% |
P[18]= |
_ 1 2 _ 4 _ _ _ |
cen[2]= 9.37 |
| R[19]= |
_ _ _ 3 _ 5 6 _ |
ver= 20% |
P[19]= |
_ _ _ 3 _ 5 _ 7 |
cen[7]= 11.06 |
| R[20]= |
_ _ _ 3 _ 5 _ 7 |
ver= 19% |
P[20]= |
_ _ _ 3 _ 5 6 _ |
cen[6]= 11.46 |
| R[21]= |
_ _ _ 3 4 _ 6 _ |
ver= 16% |
P[21]= |
_ _ _ 3 4 _ _ 7 |
cen[7]= 10.25 |
| R[22]= |
_ _ _ 3 4 _ _ 7 |
ver= 15% |
P[22]= |
_ _ _ 3 4 _ 6 _ |
cen[6]= 10.70 |
| R[23]= |
0 _ _ _ _ _ 6 7 |
ver= 68% |
P[23]= |
_ _ _ _ _ _ 6 7 |
cen[6]= 6.69 |
| R[24]= |
_ _ _ 3 4 5 _ _ |
ver= 18% |
P[24]= |
_ _ _ _ 4 5 _ _ |
cen[5]= 16.80 |
| R[25]= |
_ _ _ 3 4 5 6 _ |
ver= 24% |
P[25]= |
_ _ _ 3 4 5 _ 7 |
cen[7]= 16.10 |
| R[26]= |
0 _ _ 3 _ _ 6 7 |
ver= 74% |
P[26]= |
_ _ _ 3 _ _ 6 7 |
cen[6]= 7.00 |
| R[27]= |
_ _ _ 3 4 5 _ 7 |
ver= 23% |
P[27]= |
_ _ _ 3 4 5 6 _ |
cen[6]= 16.65 |
| R[28]= |
_ _ 2 3 4 5 _ _ |
ver= 22% |
P[28]= |
_ _ 2 _ 4 5 _ _ |
cen[5]= 18.22 |
| R[29]= |
0 _ _ 3 4 _ 6 7 |
ver= 78% |
P[29]= |
_ _ _ 3 4 _ 6 7 |
cen[6]= 8.38 |
| R[30]= |
_ _ 2 3 4 5 6 _ |
ver= 28% |
P[30]= |
_ _ 2 3 4 5 _ 7 |
cen[7]= 17.81 |
| R[31]= |
_ _ 2 3 4 5 _ 7 |
ver= 27% |
P[31]= |
_ _ 2 3 4 5 6 _ |
cen[6]= 18.34 |
| R[32]= |
0 _ _ 3 _ 5 6 7 |
ver= 82% |
P[32]= |
_ _ _ 3 _ 5 6 7 |
cen[6]= 8.84 |
| R[33]= |
_ 1 2 3 4 5 _ _ |
ver= 32% |
P[33]= |
_ 1 2 _ 4 5 _ _ |
cen[2]= 17.33 |
| R[34]= |
_ 1 2 3 4 5 _ 7 |
ver= 37% |
P[34]= |
_ 1 2 3 4 5 6 _ |
cen[2]= 17.79 |
| R[35]= |
_ 1 2 3 4 5 6 _ |
ver= 38% |
P[35]= |
_ 1 2 3 4 5 _ 7 |
cen[2]= 17.53 |
| R[36]= |
0 _ _ 3 4 5 6 7 |
ver= 86% |
P[36]= |
_ _ _ 3 4 5 6 7 |
cen[7]= 10.52 |
| R[37]= |
0 _ 2 3 4 5 6 7 |
ver= 90% |
P[37]= |
_ _ 2 3 4 5 6 7 |
cen[7]= 11.45 |
| R[38]= |
0 1 2 3 4 5 6 7 |
ver= 100% |
P[38]= |
_ 1 2 3 4 5 6 7 |
cen[7]= 12.29 |
Гибкая программа анализа
| проверка |
альфа |
бета |
гамма |
гамма |
| 1 |
0,03 |
0,04 |
0,97 |
0,96 |
| 2 |
0,05 |
0,06 |
0,95 |
0,94 |
| 3 |
0,04 |
0,05 |
0,96 |
0,95 |
| 4 |
0,02 |
0,03 |
0,98 |
0,97 |
| 5 |
0,02 |
0,03 |
0,98 |
0,97 |
| 6 |
0,06 |
0,02 |
0,94 |
0,98 |
| 7 |
0,06 |
0,02 |
0,94 |
0,98 |
| состоян |
вероятн |
|||
| 0 |
0,57 |
0,503652 |
||
| 1 |
0,1 |
0,088435 |
||
| 2 |
0,04 |
0,035743 |
||
| 3 |
0,06 |
0,052575 |
||
| 4 |
0,04 |
0,034692 |
||
| 5 |
0,08 |
0,070801 |
||
| 6 |
0,06 |
0,055272 |
||
| 7 |
0,05 |
0,043757 |
||
| сумма= |
0,884927 |
Коэффициент достоверности: 0.88
Заключение
В данной курсовой работе выполнен синтез гибкой программы анализа технического состояния системы угловой стабилизации (СУС) КА по критерию минимума средних затрат.
На основании полученных результатов можно сделать вывод, что по критерию минимума средних затрат получается оптимальная программа анализа, в которой близкое к оптимальному решение получается при сравнительно меньших затратах, чем при использовании других критериев,
т. к. затраты на оптимизацию в других случаях превосходят достигаемый при этом выигрыш. При этом достоверность полученной гибкой программы 0.88.