Задач линейного программирования

Цель работы:
изучить теорию и методы решения задач линейного программирования; пробрести навыки построения моделей линейного программирования и решения задач линейного программирования на ЭВМ.

Краткие теоретические сведения

Методы линейного программирования (ЛП) оказались весьма эф­фективными для решения задач из различных областей человеческой деятельности. Слово "программирование" понимается как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленно­сти, торговле и в управлении - как в местных, так и в государственных масштабах. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.

Пример 1.
Фирма производит две модели (А
и В)
сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высоко­качественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого из­делия модели А
требуется 3 м2
досок, а для изделия модели В
- 4 м2
. Фирма может получить от своих поставщиков до 1 700 м2
досок в неде­лю. Для каждого изделия модели А
требуется 12 мин машинного време­ни, а для изделия модели 5-30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в не­делю, если каждое изделие модели А
приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В-А
дол. прибыли?

Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим че­рез х{

количество выпущенных за неделю полок модели Л, а через х2

-количество выпущенных полок модели В.
Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие
значения х
и х2
.
Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедель­ную прибыль.
Еженедельная прибыль составляет

Р
= 2x1
, + 4x2
.

Поскольку х1

и х2

выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е.

х{
>
0, х2
>0 (1)

Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом: для досок -

Зх1
+ 4х2
< 1700 (2)

для машинного времени -

2X1
+ 5 х2
< 1600. (3)

Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х1

и х2
,
удовлетворяющие условиям неотрицательности (1) и ограничениям типа неравенства (2) - (3) и максимизирующие функцию Р.

Это типичная двумерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (1).

Рис. 1 Линия уровня целевой функции и допустимое множество задачи ЛП

Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотре­нием положительного квадранта. Границы определяются прямыми

3x1
+ 4х2
= 1700,

2х1
+ 5х2
= 1 600.

Стрелка на каждой границе указывает, с какой стороны прямой * выполняется ограничение. Заштрихованная область ОАВС,
содержащая точки, для которых соблюдены условия (2) и (3), является допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых решений много. Задача состоит в том, чтобы най­ти точку максимума функции Р.

Штриховыми линиями изображены прямые

2x1
+ 4x2
=0,

2x1
+ 4x2
= 800,

обозначенные а
и b
соответственно. Эти прямые параллельны и пред­ставляют собой две линии уровня функции Р
со значениями 0 и 800. Яс­но, что значение функции Р
возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте.

ми (2, 4), указывающий направление возрастания функции Р
перпенди­кулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.

Линией уровня с наибольшим значением функции Р
имеющей хотя бы одну точку с допустимой областью, является прямая с, прохо­дящая через вершину В;
на ней Р
принимает значение 1 400. Точка В,
в которой х1

= 300, х2
=
200, соответствует оптимальному решению зада­чи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений.

2х1
+4х2
=1700,

2х1
+5х2
=1 600.

Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300 + 4*200 = 1400.

В точке максимума оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.

Пример 1 показывает, как возникают задачи линейного програм­мирования на практике и демонстрируе

т графический метод их решения.

Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более ограничений и соответствующего количества неотрицательных перемен­ных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной
функции от нескольких переменных при линейных
ограничениях.

Порядок выполнения работы

Вариант № 2

-2х1
+ 3х2
→ max

Графический метод:

1) х1
+ 2х2
12 2) 3х1
+ 2х2

х1
> 0 x2
> 0 х1
> 0 x2
> 0

x1
= 0 x2
= 6 x1
= 0 x2
= 4

x1
= 12 x2
= 0 x1
= 8/3 x2
= 0

3) -2х1
+ х2
-8

х1
> 0 x2
> 0

x1
= 0 x2
=-8

x1
= 4 x2
= 0

Таблица 1 – Начальное базисное решение

Базисные переменные	Переменные					Постоянные
	х1	х2	х3	х4	х5
х3
х4
х5
с - строка

Опорная точка: х1
= 0, х2
= 0, х3
= 12, х4
= 8, х5
= -8, G = 0.

Таблица 2 – Правило минимальных отношений

№ строки	Базисные переменные	Отношение
1
2
3

Таблица 3 – Сложное базисное решение

Базисные переменные	Переменные					Постоянные
	х1	х2	х3	х4	х5
x3
x4
x2
с - строка