Интерполяция
Интерполя́ция
, интерполи́рование
— в вычислительной математике
способ нахождения промежуточных значений
величины по имеющемуся дискретному
набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным
путём или методом случайной выборки
. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию
, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией
кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты
, ка
в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина
(Riesz-Thorin theorem
) и теорема Марцинкевича
(Marcinkiewicz theorem
), являющиеся основой для множества других работ.
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
Точки называют узлами интерполяции
, а их совокупность — интерполяционной сеткой
.
Пары называют точками данных
или базовыми точками
.
Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки
. Он может быть как переменным так и постоянным.
Функцию — интерполирующей функцией
или интерполянтом
.