МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Расчетно-графическая работа №1
По курсу
“
Теория автоматического управления
”
Студент: Стариков Д.А.
Группа: АС-513
Преподаватель: кандидат технических наук, доцент
Кошкин Юрий Николаевич
К защите: 1 декабря 1997г
Оценка:_________________________
Подпись преподавателя: __________
Новосибирск, 1997 г.
Вариант 25
V
Вид воздействия
:
V(p)
Виды передаточных функций
:
Параметры схемы
:
Показатели качества управления
:
1.
Найти
передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом состоянии по управляющему
V(p)
и возмущающему
F(p)
воздействиям
,
характеристическое уравнение и матрицы А
,
В и С.
Для записи характеристического уравнения приравняем знаменатель передаточной функции замкнутой системы к нулю.
Переходим к записи дифференциального уравнения, описывающему поведение исследуемой системы в динамике
Используя переменные состояния в виде:
можно перейти к дифференциальным уравнениям состояния в форме Коши:
Из этого определяем матрицы А,В,С
:
2.
Определение устойчивости исследуемой системы двумя критериями.
2.1
Частотный критерий Найквиста в логарифмическом масштабе.
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
Данная система состоит из 3 типовых звеньев:
Расчетная таблица для ЛАХ и ЛФХ:
Из графиков ЛАХ и ЛФК видно, что точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс лежит правее точки, где фазовый сдвиг достигает значения равного –180.
Значит система неустойчива
.
2.2
Критерий Гурвица
Приравниваем знаменатель передаточной функции замкнутой системы к нулю и записываем характеристическое уравнение:
Составляем определитель Гурвица:
Для того, чтобы линейная динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица и сам определитель имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения, т.е. были положительными:
3.
Определяем значение критического коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором САУ будет находиться на границе устойчивости, с помощью критерия Гурвица
Выпишем знаменатель ПФ в замкнутом состоянии и приравняем его к нулю, получим характеристическое уравнение:
Для определения критического коэффициента приравняем к нулю (n - 1) диагональный минор в определители Гурвица для данного характеристического уравнения и получим выражение:
4. Исследовать влияние одного из параметров системы на устойчивость системы (метод Д-разбиения).
Исследуем влияние параметра T1
на устойчивость системы методом Д-разбиения.
Для получения кривой Д-разбиения решим характеристическое уравнение (знаменатель ПФ в замкнутом состоянии) относительно T1
.
Задаваясь частотой –¥ £ w £ +¥ строим кривую Д-разбиения и штрихуем левую сторону кривой при движении по ней с увеличением частоты от –¥ до +¥.
1. В 1 области К правых корней
2. Из 1 во 3 (К+1) правых корней
3. Из 3 во 2 (К+2) правых корней
4. Из 2 в 3 (К+1) правых корней
5. Из 3 в 1 К правых корней
6. Из 1 в 4 (К-1) правых корней
Далее проводим анализ полученных полуплоскостей с точки зрения выделения полуплоскости, претендующей на устойчивость, т.е. такой, которая будет содержать наименьшее число правых корней.
Таким образом, полуплоскость 4 - полуплоскость претендент на устойчивость. Проверим по критерию Гурвица устойчивость для того значения параметра, который находиться внутри полуплоскости - претендента, т.е. в отрезке лежащем на вещественной оси от 19 до +¥.
Расчетная таблица:
| w |
P(w) |
Q(w) |
| 0 |
67.4 |
¥ |
| 13.76 |
0 |
-0.381 |
| -13.76 |
0 |
-0.381 |
| 28-3.2*10-19
|
0.025 |
0 |
| -28+3.2*10-19
|
0.025 |
0 |
| -8.7*10-19
|
-0.031 |
-0.00176i |
| 8.7*10-19
|
-0.031 |
0.00176i |
| 3.2+2.8*10-18
|
19 |
0 |
| -3.2-2.8*10-18
|
19 |
0 |
| ¥ |
0 |
0 |
Возьмем T1
=25
Тогда, характеристическое уравнение будет:
Составляем определитель Гурвица:
Все определители больше нуля значит, система устойчива при 19£T1
£¥.
5.Синтез корректирующего устройства, обеспечивающее требуемые показатели качества в установившемся и переходном режимах.
Синтезируем корректирующее устройство для заданной системы, т.к. согласно п.2 она неустойчива. По заданным показателям качества строим желаемую ЛАХ разомкнутой системы.
Определяем (по графику для определения коэффициента K0
по допустимому перерегулированию):
Проводим асимптоту с наклоном -20 дб/дек через частоту среза до пересечения с заданной ЛАХ. В высокочастотной области проводим асимптоту с наклоном –80 дб/дек и получаем желаемую ЛАХ.
Вычитание ЛАХ исходной системы из ЛАХ желаемой системы получаем ЛАХ корректирующего устройства. По полученной ЛАХ подбираем корректирующее устройство, его передаточная функция имеет вид:
Строим структурную схему скорректированной системы:
Записываем ПФ скорректированной системы в разомкнутом и замкнутом состояниях:
где L4(w) – ЛАХ и F4(w) – ЛФК скорректированной системы.
Запас устойчивости по фазе j=15°
По построенным ЛФХ и ЛАХ видно, что скорректированная система устойчива (критерий Найквиста).
Для проверки показателей качества скорректированной системы строим ВЧХ замкнутой системы:
Трапеции будут выглядить так:
Получили четыре трапеции, теперь определим параметры для каждой из трапеций.
| Wd1 |
12 |
Wd2 |
18 |
Wd3 |
19 |
Wd4 |
23 |
|||||
| Wp1 |
18 |
Wp2 |
19 |
Wp3 |
23 |
Wp4 |
30 |
|||||
| P1 |
-1,8 |
P2 |
12,2 |
P3 |
-9,07 |
P4 |
-1,6 |
|||||
| X1 |
0,666 |
X2 |
0,9 |
X3 |
0,82 |
X4 |
0,766 |
|||||
| h1 |
h2 |
h3 |
h4 |
x1( ) |
x2( ) |
x3( ) |
x4( ) |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
|
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0,5 |
0,269 |
0,304 |
0,286 |
0,277 |
-0,4842 |
3,7088 |
-2,145 |
-0,443 |
0,02778 |
0,026 |
0,022 |
0,0167 |
| 1 |
0,515 |
0,593 |
0,5545 |
0,536 |
-0,927 |
7,2346 |
-4,1588 |
-0,858 |
0,05556 |
0,053 |
-align:right;">0,043 |
0,0333 |
| 1,5 |
0,732 |
0,832 |
0,785 |
0,76 |
-1,3176 |
10,1504 |
-5,8875 |
-1,216 |
0,08333 |
0,079 |
0,065 |
0,05 |
| 2 |
0,909 |
1,003 |
0,965 |
0,94 |
-1,6362 |
12,2366 |
-7,2375 |
-1,504 |
0,11111 |
0,105 |
0,087 |
0,0667 |
| 2,5 |
1,04 |
1,12 |
1,087 |
1,069 |
-1,872 |
13,664 |
-8,1525 |
-1,71 |
0,13889 |
0,132 |
0,109 |
0,0833 |
| 3 |
1,127 |
1,176 |
1,159 |
1,144 |
-2,0286 |
14,3472 |
-8,6925 |
-1,83 |
0,16667 |
0,158 |
0,13 |
0,1 |
| 3,5 |
1,168 |
1,175 |
1,1725 |
1,168 |
-2,1024 |
14,335 |
-8,7938 |
-1,869 |
0,19444 |
0,184 |
0,152 |
0,1167 |
| 4 |
1,169 |
1,131 |
1,1525 |
1,163 |
-2,1042 |
13,7982 |
-8,6438 |
-1,861 |
0,22222 |
0,211 |
0,174 |
0,1333 |
| 4,5 |
1,148 |
1,071 |
1,105 |
1,129 |
-2,0664 |
13,0662 |
-8,2875 |
-1,806 |
0,25 |
0,237 |
0,196 |
0,15 |
| 5 |
1,108 |
1,001 |
1,045 |
1,071 |
-1,9944 |
12,2122 |
-7,8375 |
-1,714 |
0,27778 |
0,263 |
0,217 |
0,1667 |
| 5,5 |
1,06 |
0,951 |
0,9865 |
1,018 |
-1,908 |
11,6022 |
-7,3988 |
-1,629 |
0,30556 |
0,289 |
0,239 |
0,1833 |
| 6 |
1,043 |
0,92 |
0,9415 |
0,958 |
-1,8774 |
11,224 |
-7,0613 |
-1,533 |
0,33333 |
0,316 |
0,261 |
0,2 |
| 6,5 |
0,956 |
0,903 |
0,915 |
0,938 |
-1,7208 |
11,0166 |
-6,8625 |
-1,501 |
0,36111 |
0,342 |
0,283 |
0,2167 |
| 7 |
0,951 |
0,915 |
0,9095 |
0,919 |
-1,7118 |
11,163 |
-6,8213 |
-1,47 |
0,38889 |
0,368 |
0,304 |
0,2333 |
| 7,5 |
0,936 |
0,946 |
0,9235 |
0,913 |
-1,6848 |
11,5412 |
-6,9263 |
-1,461 |
0,41667 |
0,395 |
0,326 |
0,25 |
| 8 |
0,945 |
0,986 |
0,9495 |
0,938 |
-1,701 |
12,0292 |
-7,1213 |
-1,501 |
0,44444 |
0,421 |
0,348 |
0,2667 |
| 10 |
1,016 |
1,062 |
1,054 |
1,038 |
-1,8288 |
12,9564 |
-7,905 |
-1,661 |
0,55556 |
0,526 |
0,435 |
0,3333 |
| 12 |
1,036 |
0,96 |
1,0075 |
1,027 |
-1,8648 |
11,712 |
-7,5563 |
-1,643 |
0,66667 |
0,632 |
0,522 |
0,4 |
| 14 |
0,997 |
0,976 |
0,963 |
0,976 |
-1,7946 |
11,9072 |
-7,2225 |
-1,562 |
0,77778 |
0,737 |
0,609 |
0,4667 |
Методом трапеций строим график переходного процесса.
Переходной процесс:
По графику ПП видно, что полученные показатели качества =30%, =0.5с, что удовлетворяет заданным требованиям.
Литература
1. Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова. - М. : Высшая школа. -1977.-Ч.I.-304с.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регулирования. - М. : Наука, 1974.
3. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. – М. : “Энергия”, 1967