Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра системы управления
Курсовая работа
по дисциплине: исследование операций
Вариант 9
_
Челябинск
2004 г.Содержание
Задание 1 3
Задание 2 6
Задание 3 9
Задание 4 11
Литература 17
Задание 1
Задача 9
Условие:
Из трех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее a ед. химического вещества А, b ед. – вещества В и c ед. – вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг. сырья каждого вида, указано в таблице. Там же приведена цена 1 кг. сырья каждого вида. Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость.
| Вещество | Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг сырья | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| А | d11
|
d12
|
d13
|
| В | d21
|
d22
|
d23
|
| С | d31
|
d32
|
d33
|
| Цена 1 кг сырья | D1
|
D2
|
D3
|
| № вар. | d11
|
d12
|
d13
|
d21
|
d22
|
d23
|
d31
|
d32
|
d33
|
| 9 | 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| D1
|
D2
|
D3
|
а | b | c |
| 5 | 6 | 7 | 26 | 30 | 24 |
Решение:
Составим математическую модель задачи.
Обозначим через n1, n2, n3 количество кг сырья 1, 2, 3 соответственно.
Тогда, целевая функция будет
L=D1n1+ D2n2+D3n3 = 5n1+ 6n2+7n3 →min
Система ограничений:
_ EMBED Equation.3 ___
Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования. Введем целевую функцию с противоположным знаком L', и новые переменные n4, n5, n6, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.
L’=0-(5n1+ 6n2+7n3) →max
_ EMBED Equation.3 ___
Выберем n1, n2, n3 свободными переменными, а n4, n5, n6 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:
L’=0-(5n1+ 6n2+7n3)
_ EMBED Equation.3 ___
Составим симплекс-таблицу.
Это решение не опорное, т.к. свободные члены не положительны.
Выберем в первой строке отрицательный элемент, например на пересечении n1 и n4, тогда разрешающий столбец n1, а разрешающий элемент – n5 (минимальный по отношению свободного члена к элементам разрешающего столбца).
Таблица 1.1
| b | n1
|
n2
|
n3
|
||||
| L’ | 0 | 5 | 6 | 7 | |||
| -75 | 2,5
|
0 | -8 | ||||
| n4
|
-26 | -1 | -1 | 0 | 26/1=26 | ||
| 15 | -1
|
0 | 1,5 | ||||
| n5
|
-30
|
-2
|
0
|
-3
|
30/2=15min | ||
| 15 | -1 | 0 | 1,5 | ||||
| n6
|
-24 | -1 | -2 | -4 | 24/1=24 | ||
| 15 | -1
|
0 | 1,5 | ||||
Меняем n1
и n5.
Таблица 1.2
| b | n5
|
n2
|
n3
|
||||
| L’ | -75 | 2,5 | 6 | -0,5 | |||
| -45 | 5
|
-10 | 25 | ||||
| n4
|
-11 | -0,5 | -1 | 1,5 | 11/0,5=22 | ||
| 9 | -1
|
2 | -5 | ||||
| n1
|
15 | -0,5 | 0 | 1,5 | |||
| 9 | -1
|
2 | -5 | ||||
| n6
|
-9
|
-0,5
|
-2
|
-2,5
|
9/0,5=18min | ||
| 18 | -2 | 4 | 5 | ||||
Меняем n5
и n6.
Таблица 1.3
| b | n6
|
n2
|
n3
|
||||
| L’ | -120 | 5 | -4 | 25 | |||
| -10 | 5
|
5 | -18 | ||||
| n4
|
-2
|
-1
|
1
|
-4
|
|||
| 2 | -1 | -1 | 2,5 | ||||
| n1
|
24 | -1 | 2 | -3 | |||
| 2 | -1
|
-1 | 3,5 | ||||
| n5
|
18 | -2 | 4 | 5 | |||
| 4 | -2
|
-2 | 7 | ||||
Меняем n4
и n6
.
Таблица 1.4
| b | n4
|
n2
|
n3
|
||||
| L’ | -130 | 5 | 1 | 7 | |||
| n6
|
2 | -1 | -1 | 3,5 | |||
| n1
|
26 | -1 | -1 | 0 | |||
| n5
|
22 | -2 | 2 | 12 | |||
Т.к. коэффициенты при всех ni положительны, то это и есть оптимальное решение.
Тогда n4 = n2 = n3 =0, n6 =2, n1 =26, n5 =22, L’= -130, следовательно, L=130.
Необходимо взять 26 кг первого сырья, и тогда получим смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость 130.
Ответ: для получения смеси с минимальными затратами необходимо взять 26 кг только первого сырья.
Задание 2
Задача 29
Условие:
Решение задачи линейного программирования.
С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax ( (B,
где (( = ( (1 (2 . . . (6 (( , В( = ( b1 b2 . . . b6 (( ,
(( = ( (1 (2 . . . (6(( , А= ((((( ((=1,6; (=1,3).
| № вар. | С1
|
с2
|
с3
|
с4
|
с5
|
с6
|
b1
|
b2
|
b3
|
| 29 | 0 | 5 | 1 | –1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 |
| Знаки ограничений | a11
|
a12
|
a13
|
a14
|
||
| 1 | 2 | 3 | ||||
| £ | £ | £ | –1 | 1 | 1 | 0 |
| a15
|
a16
|
a21
|
a22
|
a23
|
a24
|
a25
|
a26
|
| 0 | 0 | 1 | –2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| a31
|
a32
|
a33
|
a34
|
a35
|
a36
|
Тип экстрем. |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 0 | max |
Решение:
Составим систему:
_ EMBED Equation.3 ___
Целевая функция Q= 0x1+5x2+x3 –x4+x5 →max
Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования.
_ EMBED Equation.3 ___
Пусть х1, х2 , х3, х4, х5 – свободные переменные, х6, х7, х8 – базисные.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
Q= 0-(-5x2-x3 +x4- x5)
_ EMBED Equation.3 ___
Составим симплекс-таблицу:
Это опорное решение т.к. коэффициенты bj>0. Будем искать оптимальное решение. Т.к. коэффициенты при свободных членах <0 (кроме при x1), то разрешающим может быть любой столбец. Пусть x2, тогда на пересечении x2 и x6 получим разрешающий элемент.
Таблица 2.1
| b | x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
||||||
| Q | 0 | 0 | -5 | -1 | 1 | -1 | |||||
| 10 | -5 | 5
|
5 | 0 | 0 | ||||||
| x6
|
2
|
-1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
2/1=2min | ||||
| 2 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| x7
|
2 | 1 | -2 | 0 | 1 | 0 | |||||
| 4 | -2 | 2
|
2 | 0 | 0 | ||||||
| x8
|
10 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 10/2=5 | ||||
| -2 | 1 | -1
|
-2 | 0 | 0 | ||||||
Меняем x2
и x6.
Таблица 2.2
| b | x1
|
x6
|
x3
|
x4
|
x5
|
|||||||
| Q | 10 | -5 | 5 | 4 | 1 | -1 | ||||||
| 4 | 1,5 | -1 | -1 | 0,5 | 0,5
|
|||||||
| x2
|
2 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0
|
|||||||
| x7
|
6 | -1 | 2 | 2 | 1 | 0 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0
|
|||||||
| x8
|
8
|
3
|
-1
|
-1
|
1
|
2
|
||||||
| 4 | 6 | -2 | -2 | 2 | 0,5 | |||||||
Меняем x5
и x8.
Таблица 2.3
| b | x1
|
x6
|
x3
|
x4
|
x8
|
||||||
| Q | 14 | -3.5 | 4,5 | 3,5 | 1,5 | 0,5 | |||||
| 21 | 5,25
|
-2,625 | -2,625 | 2,625 | 2,625 | ||||||
| x2
|
2 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||||
| 8/3 | 2/3
|
-1/3 | -1/3 | 1/3 | 1/3 | ||||||
| x7
|
6 | -1 | 2 | 2 | 1 | 0 | |||||
| 8/3 | 2/3
|
-1/3 | -1/3 | 1/3 | 1/3 | ||||||
| x
5 |
4
|
1,5
|
-0,5
|
-1
|
0,5
|
0,5
|
|||||
| 8/3 | 2/3 | -1/3 | -1/3 | 1/3 | 1/3 | ||||||
Меняем x5
и x1.
Таблица 2.4
| b | x5
|
x6
|
x3
|
x4
|
x8
|
|
| Q | 35 | 5,25 | 1,875 | 0,875 | 4,125 | 3,125 |
| x2
|
14/3 | 2/3 | 2/3 | 2/3 | 1/3 | 1/3 |
| x7
|
26/3 | 2/3 | 5/3 | 5/3 | 4/3 | 1/3 |
| x1
|
8/3 | 2/3 | -1/3 | -1/3 | 1/3 | 1/3 |
Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.
Следовательно Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0; x1=8/3; x2=14/3; x7=26/3.
Ответ: Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0; x1=8/3; x2=14/3; x7=26/3.
Задание 3
Задача 9
Условие:
Решение транспортной задачи:
1. Записать
2. Определить опорный план задачи.
3. Определить оптимальный план задачи.
4. Проверить решение задачи методом потенциалов.
Таблица 1
| №вар. | а1
|
а2
|
а3
|
b1
|
b2
|
b3
|
b4
|
b5
|
с11
|
с12
|
с13
|
| 9 | 300 | 700 | 1000 | 200 | 100 | 400 | 600 | 200 | 23 | 40 | 10 |
| с14
|
с15
|
с21
|
с22
|
с23
|
с24
|
с25
|
с31
|
с32
|
с33
|
с34
|
с35
|
| 12 | 21 | 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 15 | 30 | 32 | 25 | 50 |
Решение:
Составим таблицу транспортной задачи.
Таблица 2
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | a |
| A1 | |||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 300 |
| A2 | |||||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 700 |
| A3 | |||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 1000 |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 |
Заметим, что сумма запасов превышает заявки. Это транспортная задача с избытком запасов. Для того чтобы привести к транспортной задаче с правильным балансом, введем фиктивный пункт назначения В5 с нулевыми перевозками. Добавим недостающее число заявок b5=700. Теперь количество заявок равно количеству запасов и равно 2000.
Заполним таблицу. Для этого не будем использовать метод северо-западного угла, т.к. он принесет много хлопот, будем заполнять клетки слева направо от заявок к запасам, исходя из наименьшей цены.
Таблица 3
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300
|
||||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | 300 | |
| A2 | 100
|
200
|
200
|
200
|
|||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | 700 | |
| A3 | 200
|
300
|
500
|
||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | 1000 | |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Это будет опорный план.
Количество заполненных ячеек – 6. r=m+n-1=3+6-1=8>6, значит, план является вырожденным, т.к. не хватает 2 базисных клеток. Добавим их, и сделаем план невырожденным. Для этого изменим в некоторых клетках количество запасов и заявок на малую величину _ EMBED Equation.3 ___
Таблица 4
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300
|
300 | |||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | ||
| A2 |
|
100
|
200
|
|
200
|
200
|
700 |
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | ||
| A3 | 200
|
300
|
500
|
1000 | |||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | ||
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Проверим методом потенциалов:
Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).
Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0
Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.
В результате получим следующую таблицу:
Таблица 5
| β1=2 | β2=8 | β3=7 | β4=12 | β5=6 | β6=-13 | a | |
| α1=0 | 300
|
300 | |||||
| 23-2>0 | 40-8>0 | 10-7>0 | 12-12=0 | 21-6>0 | 0-(-13)>0 | ||
| α2=13 | 100
|
200
|
200
|
200
|
700 | ||
| 25-13-2>0 | 21-8-13=0 | 20-7-13=0 | 50-12-13>0 | 18-6-13=0 | 0-13+13=0 | ||
| α2=13 | 200
|
300
|
500
|
1000 | |||
| 15-13-2=0 | 30-13-8>0 | 32-13-7>0 | 25-13-2=0 | 50-13-6>0 | 0-13+13=0 | ||
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.
Тогда сумма всех перевозок:
L=200*15+10*21+200*20+300*12+300*25+200*18+200*0+500*0=23800
Ответ:
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | В6 | a | |
| A1 | 300
|
||||||
| 23 | 40 | 10 | 12 | 21 | 0 | 300 | |
| A2 | 100
|
200
|
200
|
200
|
|||
| 25 | 21 | 20 | 50 | 18 | 0 | 700 | |
| A3 | 200
|
300
|
500
|
||||
| 15 | 30 | 32 | 25 | 50 | 0 | 1000 | |
| b | 200 | 100 | 200 | 600 | 200 | 700 | 2000 |
Задание 4
Задача 54
Условие:
Определить экстремум целевой функции вида
( = (11(12+(22(22+(12(1(2+(1(1+(2(2
при условиях:
(11(1+(12(2<=>(1
(21(1+(22(2<=>(2 .
Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.
Составить функцию Лагранжа.
Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.
Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.
1. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.
2.
| № | b1
|
b2
|
c11
|
c12
|
c22
|
extr | a11
|
a12
|
a21
|
a22
|
p1
|
p2
|
Знаки огр. 1 2 |
|
| 31 | –7 | –2 | 4 | 1.5 | –2 | min | –2 | 1.5 | 4 | –3 | 18 | 9 | £ | ³ |
Решение:
1) Целевая функция: F=4x12-2x22 +1,5x1x2-7x1-2x2→min
Рассмотрим F’=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2→max
Ограничения g1(x) и g2(x): _ EMBED Equation.3 ___ →_ EMBED Equation.3 ___
Определим относительный максимум функции F’, для этого определим стационарную точку (х10, х20):
_ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___
2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции:
F’11 (х10, х20) = -8 < 0
F’12 (х10, х20) = -1,5
F’21 (х10, х20) = -1,5
F’22 (х10, х20) = 4
_ EMBED Equation.3 ___
Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки
3) Составляем функцию Лагранжа:
L(x,u)=F’(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=
=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2+u1(_ EMBED Equation.3 ___)+u2(_ EMBED Equation.3 ___)
Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:
_ EMBED Equation.3 ___ i=1;2
Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:
Система А:
_ EMBED Equation.3 ___
Система В:
_ EMBED Equation.3 ___
Перепишем систему А:
_ EMBED Equation.3 ___
4)Введем новые переменные
V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0
в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:
_ EMBED Equation.3 ___
Тогда
_ EMBED Equation.3 ___.
Значит , система В примет вид:
_ EMBED Equation.3 ___ - это условия дополняющей нежесткости.
5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.
Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы
_ EMBED Equation.3 ___
Затем создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min
Y’=-Y= -My1-My2→max.
Пусть свободные переменные: х1, х2, v1, v2, u1, u2;
а базисные y1, y2, w1, w2.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
_ EMBED Equation.3 ___
_ EMBED Equation.3 ___
Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:
| b | x1 | x2 | u1 | u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | -9 | -9,5 | 2,5 | 0,5 | 1 | 1 | 1 | ||||||
| 8,3125 | 1,1875
|
1,7813 | -2,375 | -4,75 | -1,188 | 0 | |||||||
| y1 | 7
|
8
|
1,5
|
-2
|
-4
|
-1
|
0
|
||||||
| 0,875 | 0,125 | 0,1875 | -0,25 | -0,5 | -0,125 | 0 | |||||||
| y2 | 2 | 1,5 | -4 | 1,5 | 3 | 0 | -1 | ||||||
| -1,313 | -0,188
|
-0,281 | 0,375 | 0,75 | 0,1875 | 0 | |||||||
| w1 | 18 | -2 | 1,5 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 1,75 | 0,25
|
0,375 | -0,5 | -1 | -0,25 | 0 | |||||||
| w2 | 9 | -4 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| 3,5 | 0,5
|
0,75 | -1 | -2 | -0,5 | 0 | |||||||
| b | y1 | x2 | u1
|
u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | -0,69 | 1,1875 | 4,2813 | -1,875 | -3,75 | -0,188 | 1 | ||||||
| 0,6875 | -0,188 | -4,281 | 1
|
3,75 | 0,1875 | -1 | |||||||
| x1 | 0,875 | 0,125 | 0,1875 | -0,25 | -0,5 | -0,125 | 0 | ||||||
| 0,0917 | -0,025 | -0,571 | 0,1333
|
0,025 | -0,133 | ||||||||
| y2
|
0,688
|
-0,188
|
-4,281
|
1,875
|
3,75
|
0,1875
|
-1
|
||||||
| 0,3667 | -0,1 | -2,283 | 0,5333 | 2 | 0,1 | -0,533 | |||||||
| w1 | 19,75 | 0,25 | 1,875 | -0,5 | -1 | -0,25 | 0 | ||||||
| 0,1833 | -0,05 | -1,142 | 0,2667
|
1 | 0,05 | -0,267 | |||||||
| w2 | 12,5 | 0,5 | 3,75 | -1 | -2 | -0,5 | 0 | ||||||
| 0,3667 | -0,1 | -2,283 | 0,5333
|
2 | 0,1 | -0,533 | |||||||
| b | y1 | x2 | y2 | u2 | v1 | v2 | |||||||
| Y'/M | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| x1 | 0,967 | 0,1333 | |||||||||||
| u1 | 0,367 | -0,1 | -2,283 | 0,5333 | 2 | 0,1 | -0,533 | ||||||
| w1 | 19,93 | 0,2667 | |||||||||||
| w2 | 12,87 | 0,5333 | |||||||||||
Т. о, u2=x2=y1=y2=v1=v2=0; x1=0,967; u1=0,367; w1=19,93; w2=12,87;
б) Условия дополняющей нежесткости выполняются (u2w2=0), значит решения исходной задачи квадратичного программирования существует.
ОТВЕТ: существует.
Литература
Курс лекций Плотникова Н. В.