Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Понятие о комплексных числах
2.2 Действия с комплексными числами
2.2.1 Сложение комплексных чисел
2.2.2 Вычитание комплексных чисел
2.2.3 Произведение комплексных чисел
2.2.4 Деление комплексных чисел
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4 Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.
Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е.Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.
Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.
Цель настоящей курсовой работы: Лисп-реализация математических операций над комплексными числами.
1. Постановка задачи
Требуется разработать программу, реализующую математические операции над комплексными числами, опираясь на следующие правила выполнения операций:
1). Сложение:
.
2). Вычитание:
.
3). Умножение:
.
4). Деление:
.
Пример 1.
Выполнить сложение двух комплексных чисел: и .
Решение:
.
Ответ: .
Пример 2.
Выполнить вычитания двух комплексных чисел: и .
Решение:
.
Ответ: .
Пример 3.
Выполнить умножение двух комплексных чисел: и .
Решение:
.
Ответ: .
Пример 4.
Выполнить деление двух комплексных чисел: и .
Решение:
.
Ответ: i.
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Понятие о комплексных числах
Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение x+a=b имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.
Древнегреческие математики считали, что a=c и b=а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х2
= -9. В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3
+3х-4=0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х3
-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у=10, ху=40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Карданоназывалтакие величины«чистоотрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа (мнимой единицы),
этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).
В течение 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n
-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.
В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.
2.2 Действия с комплексными числами
Рассмотрим решение квадратного уравнения х2
+1 = 0. Отсюда х2
= -1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом , i2
= -1, откуда . Решение квадратного уравнения, например, х2
– 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом:
.
Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.
2.2.1 Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел z1
= a + bi и z2
= c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а,
(а+bi) + (а-bi) = 2а.
Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэ
2.2.2 Вычитание комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит,
(а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.
2.2.3 Произведение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел z1
=a+bi и z2
=c+di называется комплексное число
z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1
z2
= (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2
на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.
Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу:
(a + bi)(a - bi) = a2
+ b2
2.2.4 Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:
.
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 4.
Используемые обозначения:
- N1 – первое комплексное число;
- N2 – второе комплексное число;
- A – действительная часть первого комплексного числа;
- C – мнимая часть первого комплексного числа;
- B – действительная часть второго комплексного числа;
- D – мнимая часть второго комплексного числа.
Рисунок 1 – Функциональная модель решения задачи для функции SUM_COMPLEX
Рисунок 2 – Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR_COMPLEX
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции MULT_COMPLEX
Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции DIV_COMPLEX
4. Программная реализация решения задачи
ЗАВОДИМ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(SETQ
NUM1 0)
(SETQ
NUM2 0)
(SETQ
INPUT_STREAM (OPEN
" D:COMLEX_NUMBERS.TXT"
:DIRECTION :INPUT));
ЧИСЛА
ХРАНЯТЬСЯ
В
ФАЙЛЕ
В
ВИДЕ
СПИСКА
(A B);
ГДЕ
A -
ДЕЙСВИТЕЛЬНАЯ
ЧАСТЬ
, B -
МНИМАЯ
;
СЧИТЫВАЕМ
ЧИСЛА
ИЗ
ФАЙЛА
(SETQ
NUM1 (READ
INPUT_STREAM))
(SETQ
NUM2 (READ
INPUT_STREAM))
(CLOSE
INPUT_STREAM)
СУММА
КОМПЛЕКСНЫХ
ЧИСЕЛ
(DEFUN
SUM_COMPLEX
(N1 N2)
(LIST
(+
(CAR
N1) (CAR
N2)) (+
(CADR
N1) (CADR
N2))))
РАЗНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUN
SUBTR_COMPLEX
(N1 N2)
(LIST
(-
(CAR
N1) (CAR
N2)) (-
(CADR
N1) (CADR
N2))))
ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUN
MULT_COMPLEX
(N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE
(SPECIAL
A))
(DECLARE
(SPECIAL
B))
(DECLARE
(SPECIAL
C))
(DECLARE
(SPECIAL
D))
(SETQ
A (CAR
N1))
(SETQ
B (CADR
N1))
(SETQ
C (CAR
N2))
(SETQ
D (CADR
N2))
(LIST
(-
(*
A C) (*
B D)) (+
(*
A D)(*
B C))))
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUN
DIV_COMPLEX
(N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE
(SPECIAL
A))
(DECLARE
(SPECIAL
B))
(DECLARE
(SPECIAL
C))
(DECLARE
(SPECIAL
D))
(SETQ
A (CAR
N1))
(SETQ
B (CADR
N1))
(SETQ
C (CAR
N2))
(SETQ
D (CADR
N2))
(LIST
(FLOAT
(/
(+
(*
A C) (*
B D)) (+
(*
C C) (*
D D)))) (FLOAT
(/
(-
(*
B C) (*
A D)) (+
(*
C C) (*
D D))))))
ЗАПИСЫВАЕМ
РЕЗУЛЬТАТ
(SETQ
OUTPUT_STREAM (OPEN
" D:RESULT.TXT"
:DIRECTION :OUTPUT)) (DEFUN
PRINT_OPERATIONS
(N1 N2)
(MAPCAR
'SUM_COMPLEX N1 N2))
(PRINT
(LIST
'NUMBER1 NUM1) OUTPUT_STREAM)
(PRINT
(LIST
'NUMBER2 NUM2) OUTPUT_STREAM)
(PRINT
OUTPUT_STREAM)
(PRINT
(LIST
'SUM (MAPCAR
'SUM_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT
(LIST
'SUBTRACTION (MAPCAR
'SUBTR_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT
(LIST
'MULTIPLICATION (MAPCAR
'MULT_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT
(LIST
'DIVISION (MAPCAR
'DIV_COMPLEX NUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(TERPRI
OUTPUT_STREAM)
(CLOSE
OUTPUT_STREAM)
5. Пример выполнения программы
Пример 1.
Рисунок 5 – Входные данные
Рисунок 6 – Выходные данные
Пример 2.
Рисунок 7 – Входные данные
Рисунок 8 – Выходные данные
Пример 3.
Рисунок 9 – Входные данные
Рисунок 10 – Выходные данные
Заключение
Применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель для реализации математических операций над комплексными числами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
Список использованных источников и литературы
1. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике. [Текст] / М.Я. Выгодский – М.: АСТ: Астрель, 2006. С. 509.
2. Дадаян, А.А. Алгебра и геометрия. [Текст] / А.А Дадаян, В.А.Дударенко. – М.: Минск, 1999. С. 342.
3. Камалян, Р.З. Высшая математика. [Текст] / Р.З.Камалян. – М.: ИМСИТ, 2004. С.310.
4. Комплексное число [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число.
5. Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В.Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.