РефератыИнформатика, программированиеМоМоделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Министерство Образования Республики Таджикистан


Таджикский Технический Университет


имени М.С. Осими


Кафедра «АСОИиУ»


Лабораторная работа №1


На тему:Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения


Выполнила:


ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2


Принял: преподаватель кафедры


Ли И.Р.


Душанбе-2010


Лабораторная работа № 2


Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения


I
Цель работы


Целью работы является:


1.
Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения


2.
Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения


3.
Проверка адекватности полученного датчика


II
Теоретические сведения


1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения


При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x
1,
x
2….
xn
с равномерным законом распределения в интервале [0,1]
. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).


Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND
(ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]
. Требуется получить последовательность y
1,
y
2,..
yn
независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:


F
(
y
)=
P
(
ksiy
) (1)


или плотностью вероятности


f
(
y
)=
F
’(
y
) (2)


Функцииf
(
y
)
и F
(
y
)
могут быть заданы графически или аналитически.


Для получения случайной величины η с функцией распределения F
(
y
)
из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1]
, используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:


- метод обратной функции


- метод отбора или исключения


- метод композиции.


2. Метод обратной функции


Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1]
случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:


η=F-1
(
ζ) (3)


Где F-1
(
ζ)
-
обратная функция по отношению к функции распределения F(
ζ)


F
(
y
)


1


ζ





0 η
y


Рис 1 Функция распределения
F
(ζ)


Действительно, при таком определении случайной величины η имеем:


P

y
)=
P
{
F
-1

(ζ)
y
}=
P
{ ζ
F
(
y
) }=
F
(
y
) (4)


В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3)
, второе из неубывающего характера функций F(
ζ)
и F-1
(
ζ)
и третье из равномерного в интервале [0,1]
распределения величин ζ.


Таким образом, если задана функция распределения F(
y
)
, то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.


Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический
и графический
.


3.Метод отбора или исключения


Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f
(
y
).
В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η
представляет конечный отрезок (
a
,
b
),
а плотность вероятности f
(
y
) ограничена сверху значением fmax
(Рис.7).
Тогда область значений η*

и ζ*

можно ограничить ступенчатой кривой:


0,
если
y<a


g(y)= fmax,
если
a y b (25)


0, если
y
>
b


Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (
RND
(ζ))
два равномерно-распределенных числа ζ1 и
ζ2

, по которым определяются равномерные на интервале [
a
,
b
]
независимые величины:


η

=a + (b-a)*
ζ
1


ζ
’=fmax*
ζ
2

(26)


Где a
,
b
– границы возможных значений случайной величины η
,


fmax
- максимальное значение функции f
(
y
)
(Рис.7)


f(y)
g(y)





fmax


f(y)


ζ





a
η

b


Рис.7 Заданная плотность вероятности


Если ζ’

f

’)
, то η

принимается в качестве очередной реализации случайной величиныη

. В противном случае η

отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ1

и ζ2

. Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.


4.
Метод композиции


Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (
x
)
по формуле полной вероятности:


f
η (
x
)=(27)


Где H
(
z
)=
P


z
)–
интегральная функция распределения случайной величины ζ
;


P(x
/
z
)- условная плотность вероятности.


Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем


f
η
(x
)=Pj
*fj
(x
) (28)


где Pj
=1(29)


fj
(
x
) -условная плотность вероятности


Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x
и кривой f
η
(x), ра

збивается на произвольное число простых не пересекающихся частей gj

(
i
=1,
k
),
с площадями Pj
(
j
=1,
k
), (Рис.8)


Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке


f
η
(x)





g1
(Р1
)


g2
(Р2
)

g3
(Р3
)


x





g1
(Р1
)


x


Рис. 9 Условные плотности


вероятности





g2
(Р2
)





x





g3
(Р3
)







x


Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)


Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.


5. Оценка закона распределения


Для полученной случайной последовательности y
1,

y
2,…

,
yn

с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y
1,

y
2,…

,
yn

строится статистическая функция распределения


F
* (
y
)
(Рис. 10).
На этом же графике строится интегральная функция распределения F
(
y
)
для заданного закона распределения и производится сопоставление F
*(
y
)
и F
(
y
).
Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова
. Для этого вычисляется статистика:


Ди=
maxF
*(
y
)
- F
(
y
)
(30)


Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.).
По этой таблице для заданных объемов последовательности и
и значению статистики Ди
определяется уровень значимости .


Если гипотеза верна то статистика Ди*
имеет в пределе при n
распределение Колмогорова
и квантили уровня P
= (1-2)
близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди
не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования.


F(y)





F(y) 1



F*(y)






0.5 Dn
{





y


y1
y2
y3
y4
…….yn-1
yn


Рис.10Оценка распределения


III
Содержание исследования


Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо:


1
.По двадцати числам (n
=20
) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F
*(
y
)(рис.10)
На этом же графике построить интегральную функцию распределения F
(
y
)
для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F
*(
y
F
(
y
), вычислить статистику Ди (30).


2.
Составить блок- схему и программу для ПЭВМ
, в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди
по критерию Колмогорова.


3
.По таблице пороговых значений статистики Ди
произвести оценку распределения.


4.
Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения.


Блок- схема генератора







Интерфейс программы:



Листинг

программы

:


Private Sub Command1_Click()


Dim n As Integer


Dim p1, p2 As Integer


Dim Y() As Variant, X As Double


p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0


List1.Clear


Randomize


X = 0.5


n = Val(Text1.Text)


ReDim Y(n) As Variant


For i = 1 To n


X = Rnd(X)


List1.AddItem ("x(" + Str(i) + ")=" + Str(X))


If X < 0.7 Then


p1 = p1 + 1


Y(i) = 2


m = m + Y(i)


List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))


Else


p2 = p2 + 1


Y(i) = 10 * X - 5


m = m + Y(i)


List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i)))


End If


Next i


List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.7: p1=" + Str(p1))


List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.3: p2=" + Str(p2))


List1.AddItem ("ВЕРОЯТНОСТИ:")


List1.AddItem (" 0.4<=x<0.7 --- 0" + Str(p1 / n))


List1.AddItem (" 0.7<=x<=1 --- 0" + Str(p2 / n))


m = m / n


List1.AddItem ("мат ожидание = " + Str(m))


For i = 1 To n


d = d + (Y(i) - m) ^ 2


Next i


d = d / (n - 1)


b = Sqr(d)


List1.AddItem ("диссперсия = " + Str(d))


List1.AddItem ("сререднекв откл = " + Str(b))


'построение интегральной функции


Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2)


Picture1.Line (0, -2)-(0, 11)


Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0)


Picture1.PSet (-1, 11)


Picture1.Print ("f(x)")


Picture1.PSet (10.5, -0.3)


Picture1.Print ("x")


Picture1.PSet (-0.7, 4)


Picture1.Print ("0.4")


Picture1.PSet (-0.7, 7)


Picture1.Print ("0.7")


Picture1.PSet (-0.7, 10)


Picture1.Print ("1")


Picture1.PSet (2, -0.3)


Picture1.Print ("2")


Picture1.PSet (5, -0.3)


Picture1.Print ("5")


For i = 0 To 11 Step 0.001


If i < 2 Then


l = 4


Else


If i < 5 Then


l = (0.1 * i + 0.5) * 10


Else


l = 10


End If


End If


Picture1.PSet (i, l)


Next i


Picture1.Line (2, 4)-(2, 7)


'построение обратной функции


Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2)


Picture2.Line (0, -2)-(0, 11)


Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0)


Picture2.PSet (-1, 11)


Picture2.Print ("x")


Picture2.PSet (10.5, -0.3)


Picture2.Print ("f(x)")


Picture2.PSet (-0.7, 2)


Picture2.Print ("2")


Picture2.PSet (-0.7, 5)


Picture2.Print ("5")


Picture2.PSet (4, -0.3)


Picture2.Print ("0.4")


Picture2.PSet (7, -0.3)


Picture2.Print ("0.7")


Picture2.PSet (10, -0.3)


Picture2.Print ("1")


For i = 4 To 10 Step 0.001


If i < 7 Then


l = 2


Else


l = i - 5


End If


Picture2.PSet (i, l), vbRed


Next i


Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed


Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed


End Sub

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

Слов:1818
Символов:19347
Размер:37.79 Кб.