МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОС
CИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ТАГАНРОГЕ
Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра систем автоматического управления
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1
Дисциплина "Методы оптимизации"
Тема: Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия.
Выполнил:
Ст-т гр. А-14425.10.07 г
Безродный С.В.
Проверила:
Преподаватель каф. САУ25.10.07 г
Тесленко О.А.
Таганрог 2007 г.
Вариант №5
Дано:
| ОУ | Т1
|
Т2
|
k1
|
k2
|
tk
|
m1
2 |
m2
2 |
x1
(0) |
x1
(tk ) |
| 2 | - | 1,5 | 10 | 3 | 0,9 | 0,563 | 8,39 | 0 | 0,3 |
Структурная схема объекта управления (ОУ).
2. Граничные условия.
, (1)
3. Критерий качества вида:
(2)
4. Вид возмущающего воздействия:
(3)
Требуется определить:
Аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия u*
(t), переводящее ОУ из начального состояния в конечное, за конечный интервал времени t Є [0, tk
] по оптимальной траектории
x*
(t) = [x1
*
(t) x2
*
(t)] Т
.
Примечание: f (t) = 0.
Построить временные диаграммы: u*
(t), x1
*
(t), x2
*
(t) и фазовую траекторию.
Ввести возмущающее воздействие f (t) и произвести моделирование оптимальной СУ. Построить временные диаграммы u*
(t), x1
*
(t), x2
*
(t) и фазовую траекторию.
Примечание: амплитуду a
выбрать произвольно в разумных пределах, а частоту ω0
выбрать из интервала [ (5÷10) ·].
Моделирование СУ производить с помощью пакета MATLAB, программу моделирования представить в отчете.
Сделать выводы.
Выполнение работы:
1) Математическ
Составим выражение расширенного функционала:
Определяем все частные производные по всем координатам и получаем систему уравнений Эйлера-Лагранжа в виде:
Перепишем систему в форме Коши:
Составляем матрицу коэффициентов этой системы:
Определяем корни характеристического полинома:
Общий вид уравнений искомых экстремалей определяется однозначно, как:
Из граничных условий (1) определяем значения постоянных интегрирования:
Уравнение оптимального программного управления определяем в силу исходного ОУ с учетом выражений оптимальных программных траекторий в виде:
2) Моделирование оптимальной системы программного управления без учета возмущающего воздействия:
Рис.1. Листинг программы моделирования системы без учета возмущающего воздействия.
Рис.2. Оптимальное программное воздействие
u (t).
Рис.3. Переходная характеристика
х1
(t).
Рис.4. Переходная характеристика
х2
(t).
Рис.5. Фазовая траектория.
3) Моделирование оптимальной системы программного управления с учетом возмущающего воздействия:
Рис.6. Листинг программы моделирования системы с учетом возмущающего воздействия.
Рис.7. Оптимальное программное воздействие
u (t).
Рис.8. Переходная характеристика
х1
(t).
Рис.9. Отклонение истинной переходной характеристики от программной е
(t).
Рис.10. Переходная характеристика
х2
(t).
Рис.11. Фазовая траектория.
Выводы по работе
В данной работе определялось аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия по квадратичному критерию качества. Из графиков рис.3. - рис.5. видно, что характер процесса - апериодический, установившаяся ошибка равна нулю, процесс перевода ОУ из начального состояния х1
(0) = х2
(0) = 0 в конечное х1
(0,9) = 0,3, х2
(0,9) = 0 происходит по оптимальной траектории, доставляя экстремум функционалу в заданный промежуток времени t = 0,9 c.
При действии на систему возмущения (3) наблюдали на рис.8. - рис.11. отклонения истинных переходных характеристик от программных, причем на рис.9. представлен график .