Тульский государственный университет
Кафедра АОТ и ОС
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу информатика
"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"
Тула, 2007
Содержание
Введение
Метод средних прямоугольников
Метод трапеций
Метод Ньютона-Котеса
Метод Чебышева
Блок-схема основной программы
Блок-схема процедуры: метод трапеций
Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса
Блок-схема процедуры: метод Чебышева
Текст программы
Список используемой литературы
Введение
На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа
широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:
(1)
от непрерывной на отрезке [a, b] функции .
Численные методы интегрирования применяются в случаях, когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.
Пример: Приближенное неравенство
(2)
где qj
– некоторые числа, xj
– некоторые точки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой
, определяемой весами
qj
и узлами
xj
.
Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство (2) становится точным.
Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.
Метод средних прямоугольников
Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.
Обозначим , где
n – количество шагов.
Формула левых прямоугольников:
Формула правых прямоугольников:
Более точной является формула средних прямоугольников:
Метод трапеций
Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:
или
Нетрудно убедиться, что
Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие
<
где – значения интеграла на шаге, а – точность вычислений.
Метод Ньютона-Котеса
Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
.
Тогда
;
(1)
Так как dx=hdq, то
Так как , то
Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:
(2)
Величины Hi
называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).
Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.
Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса
| H
|
N
|
|||
| 1
|
2
|
3
|
4
|
|
| H0
|
1/2 | 1/6 | 1/8 | 7/90 |
| H1
|
1/2 | 2/3 | 3/8 | 16/45 |
| H2
|
- | 1/6 | 3/8 | 2/15 |
| H3
|
- | - | 1/8 | 16/45 |
| H4
|
- | - | - | 7/90 |
Интересно отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1
;
формула Симпсона при n=2
;
правило трех восьмых при n=3
.
Формулу (2) при n>6 не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и вычислительная погрешность резко возрастает.
Метод Чебышева
П.Л. Чебышев предложил формулу:
,
в которой коэффициенты ci
фиксированы, а хi
подлежат определению.
Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.
Таблица 2. Значения узлов квадратурной формулы Чебышева
| Число интервалов n | Номер узла i | Значение узла Xi
|
| 1 | 1 2 |
0,211325 0,788675 |
| 2 | 1 2 3 |
0,146447 0,500000 0,853553 |
| 3 | 1 2 3 4 |
0,102673 0,406204 0,593796 0,897327 |
| 4 | 1 2 3 4 5 |
0,083751 0,312730 0,500000 0,687270 0,916249 |
| 5 | 1 2 3 4 5 6 |
0,066877 0,288740 0,366682 0,633318 0,712260 0,933123 |
Для любых пределов интегрирования имеем:
где ,
Значения xi
берутся из таблицы при выбранном значении n. Для повышения точности можно не только увеличивать количество узлов, но и разбивать отрезок [a, b] на по
Блок-схема основной программы
Блок-схема процедуры: метод трапеций
Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса
Блок-схема процедуры: метод Чебышева
Текст
программы
program Curs;
uses crt, graph;
var i, n:integer;
t:byte;
a, b, eps, h:real;
x, sum1, sum2, seps, m0, m1, m2, m3, m4:real;
lf:text;
st:string;
function f (x:real):real;
begin
f:=19.44*exp (0.224*x);
end;
procedure gr (xn, xk:real);
var x, y, mx, my, dx, dy,
ymin, ymax, xh:real;
xb, yb, xm, ym, xl, yv, xp, yn, bord1, bord2, bord3, bord4, xt, yt, xt1, yt1, dxp, dyp, nd, nr, i, kx, ky, k:integer;
st:string;
begin
k:=100;
xh:=(xk-xn)/100;
ymax:=f(xn);
dx:=(xk-xn)/100;
for i:=1 to 100 do
begin x:=xn+dx*i;
y:=f(x);
if y>ymax then ymax:=y;
end;
ymin:=0;
ymax:=round(ymax);
nd:=detect;
initgraph (nd, nr, 'c:tp7bgi');
bord1:=60; kx:=6;
bord2:=30; ky:=8;
bord3:=30;
bord4:=80;
xb:=0; yb:=0; xm:=getmaxx; ym:=getmaxy;
xl:=xb+bord1;
xp:=xm-bord2;
yv:=yb+bord3;
yn:=ym-bord4;
dxp:=(xp-xl) div kx;
dyp:=(yn-yv) div ky;
dx:=(xk-xn)/kx;
dy:=(ymax-ymin)/ky;
xl:=xp-dxp*kx;
yn:=yv+dyp*ky;
mx:=(xp-xl)/(xk-xn);
my:=(yn-yv)/(ymax-ymin);
setfillstyle (1,15);
bar (xb, yb, xm, ym);
setcolor(0);
setlinestyle (0,0,1);
bar (xl, yv, xp, yn);
rectangle (xl, yv, xp, yn);
settextjustify (0,2);
settextstyle (2,1,4);
setcolor(9);
for i:=0 to kx do begin
xt:=xl+dxp*i;
str (xn+dx*i:6:3, st);
line (xt, yn‑3, xt, yn+3);
outtextxy (xt+4, yn+8, st);
end;
settextstyle (0,0,1);
for i:=0 to ky do begin
yt:=yv+dyp*i;
str (ymax-dy*i:6:3, st);
line (xl‑3, yt, xl+3, yt);
outtextxy (xl‑56, yt‑4, st);
end;
outtextxy (xl+100, bord3 div 2,'y=19.44*exp (0.224*x)');
setcolor(12);
if xn*xk<0 then begin
xt:=xl-trunc (xn*mx);
line (xt, yv, xt, yn);
end;
if ymax*ymin<0 then begin
yt:=yv+trunc (ymax*my);
line (xl, yt, xp, yt);
end;
xh:=(xk-xn)/5;
for i:=0 to 5 do begin
setcolor(3);
x:=xn+xh*i;
y:=f(x);
xt:=xl+trunc((x-xn)*mx);
yt:=yv+trunc((ymax-y)*my);
circle (xt, yt, 3);
if i>0 then
line (xt, yt, xt1, yt1);
setcolor(5);
rectangle (xt1, yt1, xt, yn);
xt1:=xt;
yt1:=yt;
end;
repeat until keypressed;
closegraph;
end;
function pr:real;
var s, x:real;
begin
s:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+abs (f(x))*h;
x:=x+h;
end;
pr:=s;
end;
function tr:real;
var s, x:real;
begin
s:=0;
x:=a;
for i:=1 to n do
begin
s:=s+(f(x)+f (x+h))/2*h;
x:=x+h;
end;
tr:=s;
end;
function ch:real;
var s, dp, kf, a1, b1:real;
begin
s:=0;
kf:=sqrt (1/3);
for i:=2 to n+1 do
begin
a1:=a+h*(i‑2);
b1:=a1+h;
s:=s+((b1‑a1)/2)*(f((a1+b1)/2‑kf*((b1‑a1)/2))+f((a1+b1)/2+kf*((b1‑a1)/2)));
end;
ch:=s;
end;
function si:real;
var s, x, f1, f2:real;
begin
s:=0;
x:=a;
i:=1;
f1:=0;
repeat
f1:=f1+f (a+h*i);
i:=i+2;
until i>=n;
i:=2;
f2:=0;
repeat
f2:=f2+f (a+h*i);
i:=i+2;
until i>=n;
s:=h/3*(f(a)+f (b-h)+(4*f1)+(2*f2));
si:=s;
end;
begin
assign (lf, 'otchet.txt');
rewrite(lf);
clrscr;
write ('Введите значение левого предела интегрирования: '); readln(a);
write ('Введите значение правого предела интегрирования: '); readln(b);
write ('Введите значение погрешности: '); readln(eps);
write ('Введите начальное значение количества разбиений: '); readln(n);
writeln;
gr (a, b);
write ('Ждите, идет обработка данных ');
m0:=0;
writeln (lf, ' КУРСОВАЯ РАБОТА');
writeln (lf, ' ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА');
writeln (lf, ' «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ');
writeln (lf, ' ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» ');
writeln (lf, ' Выполнил: студент гр. ');
writeln (lf, ' Вариант 22 y=19.44*exp (0.224*x)');
writeln (lf, ' Xn=', a:5:3,' Xk=', b:5:3,' Eps=', eps:5:3);
writeln(lf);
writeln (lf, ' РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ');
repeat
h:=abs (b-a)/n;
m1:=pr;
m2:=tr;
m3:=si;
m4:=ch;
seps:=abs (m1‑m0);
writeln (lf, ' │', n:7,' │', m1:11:8,'│', m2:11:8,'│', m3:11:8,'│', m4:11:8,'│', seps:11:8,'│');
m0:=m1;
n:=n+200;
until (seps<=eps);
clrscr;
reset(lf);
while not eof(lf) do
begin
readln (lf, st);
writeln(st);
end;
{write ('Нажмите <Enter> для выхода из программы');
repeat until keypressed;}
close(lf);
end.
Список используемой литературы
1. Бахвалов Н.С. «Численные методы». М.: Наука, 1987 – 598 с.
2. Калиткин Н.Н. «Численные методы». М.: Наука, 1988 – 512 с.
3. Крылов В.И. «Вычислительные методы». М.: Наука, 1977 – 408 с.
4. Нечаев В.И., Нечаева О.А., Почуева Л.Н. «Численные методы». Тула, 1999.