Решение транспортной задачи методом потенциалов

Министерство Российской Федерации по атомной энергии

Саровский Государственный Физико-Технический Институт

Политехникум СарФТИ

КУСОВАЯ РАБОТА

По специальности
– «Программное обеспечение»

Тема:
Решение транспортной задачи методом потенциалов

Студент:

Группа:

Преподаватель:

Дата: 05 Мая

Оценка:…

г. Саров

2005 г.

Содержание

Введение.. 3

1. Транспортная задача.. 4

1.1 Составление опорного плана. 7

1.2 Метод потенциалов. 9

2. Практическая часть.. 16

2.1 Обоснование выбора языка программирования. 16

2.2 Разработка. 16

2.3 Руководство пользователей. 16

Заключение.. 18

Литература.. 19

Введение

Данный курсовой проект представляет собой программу для решения транспортной задачи методом потенциалов. Программа предоставляет пользователю возможность пошагового нахождения оптимального решения. Все промежуточные результаты выводятся на экран, пользователь может следить за ходом решения.

Транспортная задача заключается в нахождении такого плана поставок, при котором его цена минимальна.

Условия задачи задаются в виде таблицы:

поставщик	потребитель				Запас груза
	В1	В2	…	Вn
А1	C11 X11	C12 X12	…	C1n X1n	a1
А2	C21 X21	C22 X22	…	C2n X2n	a2
…	…	…	…	…	…
Аm	Cm1 Xm1	Cm2 Xm2	…	Cmn Xmn	am
Потребность в грузе	b1	b2	…	bn

Матрица (cij
)m
*
n
называется матрицей тарифов. Планом транспортной задачи называется матрица х=(xij
)m
*
n
, где каждое число обозначает количество единиц груза, которое надо доставить из i–го пункта отправления в j–й пункт назначения.

1. Транспортная задача

Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m

пунктов отправления,
в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов. Имеется n

пунктов назначения подавшие заявки соответственно на груза. Известны стоимости р

ij

перевозки единицы груза от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Все числа р

ij

,
образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Далее, предполагается, что

(1)

где bi
есть количество продукции, находящееся на складе i
, и aj
– потребность потребителя j
.

Замечание.
Если то количество продукции, равное остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n
+1 с потребностью и положим транспортные расходы pi
,
n
+1
равными 0 для всех i
.

Если то потребность не может быть покрыта. В этом случае начальные условия должны быть изменены таким образом, чтобы потребность в продукции могла быть обеспечена.

Обозначим через xij
количество продукции, поставляемое со склада i
потребителю j
. В предложении (1) нам нужно решить следующую задачу (математическая модель транспортной задачи):

(2)

Транспортную задачу мы можем характеризовать транспортной таблицей
и таблицей издержек
:

	а1		…		аn
b1 . . . bm	.
		.
			.
				.
					.
						.

p11	…	p1n
.		.
.		.
.		.
pm1	…	pmn

Допустимый план перевозок
будем представлять в виде транспортной таблицы:

	а1	…	аn
b . . . bm		…
	.		.
	.		.
	.		.
		…

Cумма элементов строки i должна быть равна bi
, а сумма элементов столбца j должна быть равна aj
, и все
должны быть неотрицательными.

Пример 1.

	20	5	10	10	5
15
15
20

5	6	3	5	9
6	4	7	3	5
2	5	3	1	8

Мы получаем следующую задачу:

х11
+х12
+х13
+х14
+х15
=15,

х21
+х22
+х23
+х24
+х55
=15,

х31
+х32
+х33
+х34
+х35
=20,

х11
+х21
+х31
=20,

х12
+х22
+х32
=5,

х13
+х23
+х33
=10,

х14
+х24
+х34
=10,

х15
+х25
+х35
=5;

х
ij
0 для i
= 1,2,3;
j
= 1,2,3,4,5;

Кmin
=5х11
+6х12
+3х13
+5х14
+9х15
+6х21
+4х22
+7х23
+3х24
+5х25
+2х31
+5х32
+3х33
+х34
+8х35
;

Такие задачи целесообразно решать при помощи особого варианта симплекс-метода – так называемого метода потенциалов
.

Все транспортные задачи имеют оптимальное решение
. Если все значение aj
и bi

в условиях транспортной задачи целочисленные, то переменные xij
во всех базисных решениях (а так же и в любом оптимальном базисном решении) имеют целочисленные значения.

1.1 Составление опорного плана

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана. Для этого существуют различные способы, рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере:

Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей.

а b	20	5	10	10	5
15	5	6	3	5	9
15	6	4	7	3	5
20	2	5	3	1	8

Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки ("северо-западного угла" таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт а1

подал заявку на 20 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 15, имеющегося в пункте b
1
, и запишем перевозку 15 в клетке (1,1). После этого дополним заявку за счет заявка пункта b
2
,
и запишем 5 в клетке (1,2), теперь зая

вка удовлетворена, но в пункте b
2
осталось ещё 10 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пунктов а2

(5 единиц клетка 2,2) и а3
(5 единиц клетка 2,3). На складе b
3
есть запас в 20 единиц, за счет его мы удовлетворим оставшиеся заявки а3
(оставшиеся 5 единиц клетка 3,3), а3
(10 единиц клетка 3,4) и а5
(5 единиц клетка 3,5).

5
6	4	7
		3	1	8

На этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз, согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце - заявке. Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи. Составленный нами план перевозок, не является оптимальным по стоимости, так как при его построении мы совсем не учитывали стоимость перевозок С
ij
.

1.2 Метод потенциалов

Пусть имеется транспортная таблица, соответствующая начальному решению, х
il

= для базисного решения переменных, х
il

= 0
для свободных переменных (ячейки, соответствующие свободным переменным, остаются пустыми). Далее, нам требуется таблица расходов с заданными pij
.

Отыскание симплекс множителей.
Заполним таблицу расходов, оставив ячейки, соответствующие свободным переменным, пустыми. В крайний правый столбец внесем значения неизвестных u
1
,…,
um
, в нижнюю строку – значения неизвестных v
1
,…,
vn
,. Эти m
+
n
неизвестных для всех (
i
,
j
)
, соответствующих базисным переменным, должны удовлетворять линейной системе уравнений ui
+
vj

=
pij
.

pll		plj		pln	ul
	. … .		. … .		. . .
pil		pij		pin	ui
	. … .		. … .		. . .
pml		pmj		pmn	um
vl	…	vj	…	vn

Для всех базисных решений эта система имеет треугольный вид, ранг её матрицы равен n
+
m
– 1
. Следовательно, систему всегда можно решить следующим способом.

Полагают vn
= 0. Если значения k
неизвестных определены, то в системе всегда имеется уравнение, одно из неизвестных в котором уже найдено, а другое ещё нет.

Переменные ui
и vj
симплекс - множителями
. Иногда они называются также потенциалами
, а этот метод решения называют методом потенциалов
.

Пример 2.

5					u1
6	4	7			u2
		3	1	8	u3
v1	v2	v3	v4	v5

v
5
= 0 ® u
3
= 8, так как u
3
+ u
5
= p
35
= 8, ® v
4
= -7, так как u
3
+ v
4
= p
34
= 1, ® v
3
= -5, так как u
3
+ v
3
= 3, ® u
2
= 12 ® v
2
= -8, ® v
1
= -6 ® u
1
= 11.

Симплекс – множители нужны для того, чтобы найти свободную ячейку (
i
,
j
)
, которая при замене базиса переходит в базисную (это соответствует отысканию разрешающего столбца в симплекс – методе).

Для определения симплекс – множителей мы вносим на свободные места в таблице значения

p
¢
ij

=
pij
–
ui
–
vj

(коэффициенты целевой функции, пересчитанные для свободных переменных). Если все p
¢
ij


0,
то базисное решение оптимально. В противном случае мы выбираем произвольное p
¢
a
b

< 0, чаще всего наименьшее. Индексом a
b
помечено свободное переменное х
a
b

, которое должно войти в базис. Соответствующую ячейку транспортной таблицы мы отметим знаком +.

Кроме ячейки (a, b) транспортной таблицы, мы пометим значками – и + другие занятые числами ячейки таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце транспортной таблицы число знаков + было равно числу знаков -. Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и в каждом столбце будет содержаться максимум по одному знаку = и по одному знаку -.

Затем мы определяем минимум М из всех элементов, помеченных знаком -, и выбираем ячейку (g, d), где этот минимум достигается.

В нашем примере с М = 5 можно выбрать (g, d) = (2, 3); при этом (g, d) определяет базисное переменное, которое должно стать свободным, т.е. базисное переменное, соответствующее индексу разрешающей строки симплекс – метода.

	20	5	10	10	5
15	15
15	5	5	5-		+
20			5+	10	5-

¯

15
5-	5			5+
+		10	10	0-

¯

15-		+
5	5			5
0+		10-	10

¯

5		10
5-	5		+	5
10+			10-

¯

5		10
	5		5	5
15			5

Копт
= 150

Переход к новой транспортной таблице (замена базиса) происходит следующим образом:

а). В ячейку (a, b) новой таблицы записывается число М.

б). Ячейка (g, d) остается пустой.

в). В других ячейках помеченных знаками – или +, число М вычитается из стоящего в ячейке числа (-) или складывается с ним (+). Результат вносится в соответствующую ячейку новой таблицы.

г). Непомеченные числа переносятся в новую таблицу без изменений. Остальные ячейки новой таблицы остаются пустыми.

2. Практическая часть
2.1 Обоснование выбора языка программирования

Мною был выбран язык программирования Turbo Pascal по следующим соображениям:

· Изучение данного языка в школе

· Наличие литературы по данному языку программирования

2.2 Разработка

Имеется m пунктов отправления А1, А2 , ..., Аm , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а1, а2, ... , аm единиц. Имеется n пунктов назначения В1 , В2 , ... , Вn подавшие заявки соответственно на b1 , b2 , ... , bn единиц груза. Известны стоимости Сi,j перевозки единицы груза от каждого пункта отправления Аi до каждого пункта назначения Вj . Все числа Сi,j, образующие прямоугольную таблицу заданы.

Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Составить программу, которая бы вычисляла оптимальный план перевозки (потенциальный план).

2.3 Руководство пользователей

При запуске программа предлагает ввести количество поставщиков (не меньше 2, но не больше 5), затем количество потребителей (условие тоже). Если вводятся числа не удовлетворяющие этому условию, то программа предлагает ввести их заново. Далее программа выводит на экран таблицу, число строк которой равно введенному количеству поставщиков, а число столбцов – количеству потребителей. Предлагается ввести количество продукции у первого поставщика, у второго и т.д. После пользователю предлагается ввести количество продукции необходимое первому потребителю, второму и т.д. Затем вводятся стоимости перевозок, после чего производятся вычисления и выдается результат

Литература

Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.; Наука, 1986г

А.В.Кузнецов, Г.И.Новикова, И.И.Холод - "Сборник задач по математическому программированию". Минск, Высшая школа, 1985г

Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. Л.: СЗПИ, 1986

Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощснко А. Б. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1980