Сигнал
- физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.
1. Классификация сигналов
Сигналы можно классифицировать по различным признакам:
1. Непрерывные (
аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные
- описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.
Детерминированные -
сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные -
описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.
3. Периодические
- сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду
х (t) = х (t+nT),
где n
= 1,2,...,¥; T -
период.
4. Kаузальные -
сигналы, имеющие начало во времени.
5. Финитные -
сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.
6. Когерентные
- сигналы, совпадающие во всех точках определения.
7. Ортогональные
- сигналы противоположные когерентным.
2. Характеристики сигналов
1. Длительность сигнала (
время передачи) Тс
- интервал времени, в течении которого существует сигнал.
2. Ширина спектра
Fc
- диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.
3. База сигнала
- произведение ширины спектра сигнала на его длительность.
4. Динамический диапазон
Dc
-
логарифм отношения максимальной мощности сигнала - Pmax
к минимальной - Pmin
(
минимально-различи-мая на уровне помех):
Dc
= log (Pmax
/Pmin
).
В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.
Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).
5. Объем сигнала
определяется соотношениемVc
= Tc
Fc
Dc
.
6. Энергетические характеристики:
мгновенная мощность - P (t);
средняя мощность - Pср
и энергия - E.
Эти характеристики определяются соотношениями:
P (
t) =
x2
(
t); ;
(1)
где T =
tmax
-
tmin
.
3. Математические модели случайных сигнлов
Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].
Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.
Случайный процесс Х (t)
может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi
(t),
называемых реализациями или выборками (см. рис.1).
Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)
Полной статистической характеристикой случайного процесса является n -
мерная функция распределения: Fn
(x1
, x2
,..., xn
; t1
, t2
,..., tn
),
или плотность вероятности fn
(x1
, x2
,..., xn
; t1
, t2
,..., tn
).
Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f1
(x, t),
характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f2
(x1
, x2
; t1
, t2
),
характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.
Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)
; (2)
средний квадрат (начальный момент второго порядка)
; (3)
дисперсия (центральный момент второго порядка)
; (4)
корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса
. (5)
При этом справедливо следующее соотношение:
(6)
Стационарные процессы
- процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.
Эргодические процессы
- процесс, в которых результат
Гауссовы процессы
- процессы с нормальным законом распределения:
(7)
Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.
В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.
Марковский процесс
- случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.
4. Формы аналитического описания сигналов
Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).
Преобразование Лапласа:
L: L-1
: (8)
Преобразования Фурье:
F: F-1
: (9)
L:
L-1:
F-1 : p=jw
F: jw=p
Рис.2 Области представления сигналов
При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.
При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.
С учетом четности функций и и в соответствии с формулами Эйлера:
(10)
можно записать выражения для корреляционной функции Rx
(
t)
и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса Sx
(
w),
которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина
; (11)
. (12)
5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик
Любые n -
чисел можно представить в виде точки (вектора) в n
-мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D
,
где . (
13)
Сигнал длительностью Tс
и шириной спектра Fс
, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N
отсчетами, где N = 2Fc
Tc
.
Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].
Длина этого вектора (норма) равна:
; (14)
где xi
=x (n
Dt) -
значение сигнала в момент времени t = n.
Dt.
Допустим: X
- передаваемое сообщение, а Y
- принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).
X2 ,Y2
x2 X
d
y2 Y
g
X1 , Y1
0
a
1
a
2 x1 y1
Рис.3. Геометрическое представление сигналов
Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X
и Y
можно записать
cos
g =
cos (
a1
-
a2
) =
cos
a1
cos
a2
+
sin
a1
sin
a2
=
= (
15)
Для N -
отсчетов:
cos
g
(16)
Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).
Рис. 4. График сигнала
Рис.4. График сигнала
Средняя мощность сигнала
.
Энергия сигнала
.
Энергия кванта
.
Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле
.
При этом модуль сигнала равен
.
Взаимная корреляционная функция равна
.
При этом
.
Это нормированная корреляционная функция
Если g
= 90о
, то rxy (
t) = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;
Если g
= 0, то rxy (
t) = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;
Вектор d
- характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:
По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.
Список литературы
1. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. NewYork: JohnWiley & Sons, 1996.
2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.
3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., "Сов. радио", 1973, 368 с.
4. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.
5. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.
6. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.
7. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.
8. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.
9. Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.
10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.