СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Математические и алгоритмические основы решения задачи
3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4 Программная реализация решения задачи
5 Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
ВВЕДЕНИЕ
Функция –
это термин, используемый в математике для обозначения такой зависимости между двумя величинами, при которой если одна величина задана, то другая может быть найдена.
Обычно функция (с 17 в.) задается формулой, выражающей зависимую переменную через одну или несколько независимых переменных. Например, площадь круга есть функция его радиуса, и эта зависимость записывается формулой A = pr2
; периметр прямоугольника является функцией его длины и ширины или P = 2(l + w). Функцию можно изобразить графически, нанося точки, координатами которых служат независимые и зависимые переменные, на координатную плоскость (рисунок 1).
Рисунок 1. График функции A = pr2
(площадь круга как функция радиуса).
Считалось, что график, подобный изображенному на рис. 2, не может быть графиком одной функции, так как различные его части должны описываться различными формулами (y = x для x от 0 до 1; y = –x для x от 1 до 0; y = 2 – x для x от 1 до 2 и т.д.). Каково же было удивление математиков, когда в начале 19 в. они обнаружили, что график функции, изображенной на рисунке 2, в действительности определяется формулой
,
где многоточие указывает на то, что формула неограниченно продолжается аналогичным образом.
Рисунок 2. График функции, представимой в виде бесконечного ряда.
Это открытие привело к пересмотру определения функции. Согласно новому определению, под функцией надлежит понимать любое правило, позволяющее находить одно число (значение зависимой переменной), если задано другое число или набор чисел (значений независимых переменных). Такое правило может быть выражено формулой, но это необязательно.
В настоящее время такое определение функции заменено более общим. Определение функции как правила, ставящего в соответствие значение зависимой переменной каждому значению независимой переменной, не удовлетворяло, поскольку не определяло функцию как математический объект.
Функции делятся на элементарные и неэлементарные.
Целью данной курсовой работы является ЛИСП-реализация вычисления неэлементарных функций.
1. Постановка задачи
Требуется реализовать вычисление неэлементарных функций.
Рассмотрим примеры неэлементарных функций и способов их вычисления:
1) гамма-функция Эйлера
G(x) =,
при положительном целом x:
Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1).
Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.
.
2) ;
3) ;
4) .
Пример 1.
Вычислить гамма-функции Г(5).
Решение:
Так как 5 – положительное целое число:
Г(5) =(5-1)! =4! = 24.
Ответ: 24.
Пример 2.
Вычислить гамма-функции Г(0.5).
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления гамма функции для положительных x:
.
.
Ответ: .
Пример 3.
Вычислить функцию при x=-5.
Решение:
.
Ответ: 5.
Пример 4.
Вычислить функцию , при x=-2.
Решение:
Так как -2 < 0, следовательно
.
Ответ: -8.
Пример 5.
Вычислить функцию , при x=4.
Решение:
Так как 4 > 0, следовательно
.
Ответ: 25.
2 Математические и алгоритмические основы решения задачи
Функция называется элементарной, если она задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.
К числу элементарных функций относятся многочлены
,
логарифмическая функция, экспоненциальная функция, тригонометрические функции и их конечные комбинации.
Примерами некоторых неэлементарных функций могут служить:
1) гамма-функция Эйлера
G(x) =,
обобщающая факториал целого числа на нецелые значения x; при положительных целых x функция Г(x) сводится к (x – 1)!;
2) ;
3) ;
4) .
Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация логарифма гамма-функции. Сама же гамма вычисляется через него.
Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется формула (для комплексных z) такого вида:
.
Она похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности eps не превышает . Кроме того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: Re z > 0.
Для получения действительной гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Gam(z+1)=z*Gam(z) и вышеприведенная аппроксимация Gam(z+1). Также можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции – логарифма, а не двух – экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция – быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.
Для аппроксимации LnGam() – логарифма гамма-функции – получается формула:
Значения коэффициентов Ck
являются табличными данными (Таблица 1).
Таблица 1. Значения коэффициентов Ck
| k | C |
| 1 | 2.5066282746310005 |
| 2 | 1.0000000000190015 |
| 3 | 76.18009172947146 |
| 4 | -86.50532032941677 |
| 5 | 24.01409824083091 |
| 6 | -1.231739572450155 |
| 7 | 0.1208650973866179e-2 |
| 8 | -0.5395239384953e-5 |
Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.
.
3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 3-9.
Условные обозначения:
- X – параметр функции.
Рисунок 3 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_LN_X
Рисунок 4 – Функциональная модель решения задачи для функции FACTORIAL
Рисунок 5 – Блок-схема решения задачи для функции GAMMA_ALL_X
Рисунок 6 – Функциональная модель решения задачи для функции GAMMA_INT
Рисунок 7 – Функциональная модель решения задачи для функции ABS_FUNCTION
Рисунок 8 – Функциональная модель решения задачи для функции FUNCTION1
Рисунок 9 – Функциональная модель решения задачи для функции FUNCTION2
4 Программная реализация решения задачи
;ФУНКЦИЯ Y=|X|
(DEFUN ABS_FUNCTION (X)
(ABS X)
)
;ФУНКЦИЯ Y=X^3 ПРИ X<=0 И Y=X+2 ПРИ X>0
(DEFUN FUNCTION1 (X)
(IF (<= X 0)
(* X X X)
(+ X 2)
)
)
;ФУНКЦИЯ Y=X^2+2X+1 ПРИ X>0, Y=-3 ПРИ X=0, Y=2X ПРИ X<0
(DEFUN FUNCTION2 (X)
(COND
((> X 0) (+ (* X X) (* 2 X) 1))
((= X 0) -3)
((< X 0) (* 2 X))
)
)
;ФУНКЦИЯ РЕАЛИЗУЮЩАЯ ФАКТОРИЛ X
(DEFUN FACTORIAL (X)
(COND
((EQL X 0) 1)
((EQL X 1) 1)
(T (* X (FACTORIAL (- X 1))))
)
)
;ГАММА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUN GAMMA_INT (X)
(FACTORIAL (- X 1))
)
;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА ФУНКЦИИ ДЛЯ ЛЮБЫХ X
(DEFUN GAMMA_ALL_X (X)
(DECLARE (SPECIAL Y))
(DECLARE (SPECIAL GAM))
(DECLARE (SPECIAL J))
(DECLARE (SPECIAL RES))
(IF (> X 0)
(PROGN
(SETQ Y (+ X 2))
(SETQ GAM (* (SQRT (* 2 (/ PI Y))) (EXP (+ (* Y (LOG Y)) (- (/ (- 1 (/ 1 (* 30 Y Y))) (* 12 Y)) Y)))))
(SETQ RES (/ GAM (* X (+ X 1))))
)
;ИНАЧЕ
(PROGN
(SETQ J 0)
(SETQ Y X)
(DO
(())
((>= Y 0))
(SETQ J (+ J 1))
(SETQ Y (+ Y 1))
)
(SETQ GAM (GAMMA_ALL_X Y))
(DO
((I 0))
((>= I (- J 1)))
(SETQ GAM (/ GAM (+ X I)))
(SETQ I (+ I 1))
)
(SETQ RES GAM)
)
)
RES
)
;ЛОГАРИФМГАММАФУНКЦИИ
(DEFUN GAMMA_LN (X)
(DECLARE (SPECIAL SER))
(DECLARE (SPECIAL L))
(DECLARE (SPECIAL CN))
(DECLARE (SPECIAL Y))
(DECLARE (SPECIAL CO))
;МАССИВКОЭФФИЦИЕНТОВ
(SETQ CN '(2.5066282746310005 1.0000000000190015 76.18009172947146 -86.50532032941677 24.01409824083091
-1.231739572450155 0.1208650973866179e-2 -0.5395239384953e-5))
(SETQ SER (CADR CN))
(SETQ L (CDDR CN))
(SETQ Y X)
(DO
((J 2))
((>= J 8))
(SETQ Y (+ Y 1))
(SETQ CO (CAR L))
(SETQ SER (+ SER (/ CO Y)))
(SETQ L (CDR L))
(SETQ J (+ J 1))
)
(SETQ Y (+ X 5.5))
(SETQ Y (- Y (* (+ X 0.5) (LOG Y))))
(SETQ Y (+ (* -1 Y) (LOG (* (CAR CN) (/ SER X)))))
)
;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЛОГАРИФМ
;ДЛЯ НЕЦЕЛЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ X
(DEFUN GAMMA_LN_X (X)
(EXP (GAMMA_LN X))
)
;ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА ФУНКЦИИ
(DEFUN GAMMA (X)
(COND
((= X 0) 0)
;ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
((AND (> X 0) (= (- X (FLOOR X)) 0)) (GAMMA_INT X))
;НЕ ЦЕЛОЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ
((AND (> X 0) (/= (- X (FLOOR X)) 0)) (GAMMA_LN_X X))
;ИНАЧЕ 0
(T (GAMMA_ALL_X X))
)
)
;РАССЧИТЫВАЕМ НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ X
(DEFUN PRINT_RESULT (X)
(PRINT 'X OUTPUT_STREAM)
(PRINT X OUTPUT_STREAM)
(PRINT "Y=|X|" OUTPUT_STREAM)
(PRINT (ABS_FUNCTION X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT "Y=X^3 IF X<=0 AND Y=X+2 IF X>0" OUTPUT_STREAM)
(PRINT (FUNCTION1 X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT "Y=X^2+2X+1 IF X>0, Y=-3 IF X=0, Y=2X IF X<0" OUTPUT_STREAM)
(PRINT (FUNCTION2 X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT "GAMMA(X)" OUTPUT_STREAM)
(PRINT (GAMMA X) OUTPUT_STREAM)
(PRINT '--------------------- OUTPUT_STREAM)
)
;ОТКРЫВАЕМ ФАЙЛ ДЛЯ ЧТЕНИЯ
(SETQ INPUT_STREAM (OPEN " D:INPUT_DATA.TXT" :DIRECTION :INPUT))
;ПОЛУЧАЕМПАРАМЕТРФУНКЦИИ
(SETQ X (READ INPUT_STREAM))
;ЗАКРЫВАЕМФАЙЛ
(CLOSE INPUT_STREAM)
;ОТКРЫВАЕМФАЙЛДЛЯЗАПИСИ
(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN "D:RESULT.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))
;ПЕЧАТАЕМ РЕЗУЛЬТАТ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕЭЕЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
(MAPCAR 'PRINT_RESULT X)
;ЗАКРЫВАЕМФАЙЛ
(TERPRI OUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
;КОНЕЦ
5 Пример выполнения программы
Пример 1.
Рисунок 10 – Входные данные. Параметры функций
Рисунок 11 – Выходные данные. Вычисление неэлементарных функций
Пример 2.
Рисунок 12 – Входные данные. Параметры функций
Рисунок 13 – Выходные данные. Вычисление неэлементарных функций
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.
Итогом работы можно считать созданную функциональную модель вычисления неэлементарных функций. Данная модель применима к функциям, если она не задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.
Созданная функциональная модель реализации основных способов вычисления гамма функции и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы
1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 2007. – 708 с.
2. Вычисление гамма-функции и бета-функции [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.cyberguru.ru/cpp-sources/algorithms/vytchislenie-gamma-funktsii-i-beta-funktsii.html
3. Гамма-функция – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма_функция
4. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов. [Текст] / Н.Ш.Кремер, 3-е издание – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. C. 412.
5. Семакин, И.Г. Основы программирования. [Текст] / И.Г.Семакин, А.П.Шестаков. – М.: Мир, 2006. C. 346.
6. Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С. Симанков, Т.Т. Зангиев, И.В. Зайцев. – Краснодар: КубГТУ, 2002. – 160 с.
7. Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.
8. Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э. Хювенен, Й. Сеппянен. – М.: Мир, 1990. – 460 с.