Рефераты → Информатика, программирование → Чи → Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України


Житомирський державний технологічний університет


Кафедра ТМ та КТС


Група ЗІМ 03-1т


Курсова робота


з інформатики


на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»

Житомир


Зміст


Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона


Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку
Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера

Завдання № 1


Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона


Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0
+a1
x+a2
x2
+a3
x3
+a 4
x4
+a5
x5
з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4


Вихідні дані:


















Варіант a0
a1
a2
a3
a4
a5
2 1 0.9 0.8 0.7 0.5 2.3

Реалізація у MS Excel:



Хід виконання:


Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.


Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули


Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд



де cj
= 1,2,2,2,….2,1.


Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою



Елементарна площа визначається інтегралом



Враховуючи, що


Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)



де cj
= 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.


У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.


Завдання № 2
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0
+a1
x+a2
x2
+a3x3
за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.


Вихідні дані:














Варіант a0
a1
a2
a3
2 1,3 -7 -4 -4

Реалізація у MS Excel:



Хід виконання:


1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈
0,17


2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5
.


В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:



При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:


Чергове k-е наближення:



В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:



/>

При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:


Для першого наближення:



Для подальших наближень:



Завдання № 3,4

Наближення функцій поліномами вищого порядку


Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.


Вихідні дані:






































Варіант 2
x 0 0,375 0,563 0,75 1,125 1,313 1,5 1,690 1,875 2,063 2,25 2,438 2,625 2,813 3
y 4.568 3,365 2,810 2,624 0,674 0,557 0,384 -0,556 -1,44 -1,696 -1,91 -2,819 -3,625 -3,941 -4,367

Хід виконання:


1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.


2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .


3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.


4. На одному графіку будуємо многочлени Pm
, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.


Реалізація у MS Excel:


Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі
у відповідних степенях та уі
*хі
j



За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:



Визначаємо обернені матриці Х-1
до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).


Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1
та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).


Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі
, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі
.



Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.



Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:




Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції


Завдання № 5

Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера


Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0
, y0
), вибираючи крок інтегрування h, де


y(xi
+h)=y(xi
)+h·y'(xi
)


Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.


Вихідні дані:














Варіант h [a, b] (x0
, y0
)
2 0,2 [0;1] (0;1)

Реалізація у MS Excel:



Графіки розрахованих даних:
Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Слов:823
Символов:8276
Размер:16.16 Кб.