Вычислительная техника и программирование

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теме: "Вычислительная техника и программирование"

Киев

Введение

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)"j(х).

Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является "точное совпадение в узловых точках". Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это "наименьшие квадраты". Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция (1) является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если X=Xj и 0, когда X=Xi, i¹j.

Многочлен Lj(x)×Yj принимает значения Yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что (2) есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (Xi, Yi).

Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x):

P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+

(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);

Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x)

Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.

Постановка задачи:

1. Построить интерполяционный полином Ньютона по значениям функции в узлах: .

2. Математическая постановка задачи:

Формула выглядит так:

Разделённая разность:

.

1.
Алгоритм программы
Polinom

Рис.5 Схема алгоритма подпрограммы Vvod

Рис.6 Схема алгоритма программы Print_Polinom

Рис.7 Схема алгоритма подпрограммы Div_Res

Рис.8Схема алгоритма программы Nuton

Рис.9 Схема алгоритма подпрограммы Recover

Рис.10 Блок-схема программы Polinom

2. Листинг программы
Polinom

Реализуем алгоритм на языке высокого уровня TurboPascal, используя подпрограммы.

PROGRAMPOLINOM; {Программа построения интерполяционного полинома Ньютона}

Uses Crt;

Const Max_Num_Usel=20; {Количествоузлов}

Type

Matrix_Line = Array[1..Max_Num_Usel] Of Real;

Var Max:Byte;

X,F:Matrix_Line;

PROCEDURE Swap(Var First,Second:real); {Обменадвух REAL переменных}

Var Temp:Real;

Begin

Temp:=First;

First:=Second;

Second:=Temp;

End; {Swap}

FUNCTION Rise(Root:Real;Power:Integer):Real; {Возведениевстепень}

Var Temp:Real;

i:Integer;

Begin

Temp:=1;

For i:=1 To Power Do

Temp:=Temp*Root;

Rise:=Temp;

End; {Rise}

PROCEDURE Null(Last:Byte;Var M:Matrix_Line); {Обнулениематриц}

Var i:Byte;

Begin

For i:=1 To Last Do

M[i]:=0;

End; {Null}

PROCEDURE Calculat(Num:Integer;Cx:Matrix_Line); {вычислениезначенийполинома}

Var x,y:Real;

i:Integer;

Finish:Boolean;

c:Char;

Begin

Writeln('***********************************************');

Writeln;

Writeln('Вычисление значений интерполяционного полинома:');

Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');

Writeln('Введите значение x:');

Repeat

y:=0;

Readln(x);

For i:=Num DownTo 1 Do

y:=y+Cx[i]*Rise(x,i-1);

Writeln('Значение полинома в точке Xo=',x:7:4,' равно Yo=',y:7:4);

Write('Нажмите `ESC` для выхода или любую клавишу для продолжения');

c:=Readkey;

If c=#27 Then Finish:=True Else Finish:=False;

GoToXY(1,WhereY-2);

DelLine; DelLine;DelLine;

Until Finish;

End; {Calculat}

PROCEDURE Vvod(Var Mat_x,Mat_f:Matrix_Line;Var Number:Byte);

Var c:Char;

i,j:Integer;

Enter:Boolean;

Begin

ClrScr;

Writeln('Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах');

Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~);

Writeln;

Writeln('Введите кол-во узлов интерполяции (0<N<',Max_Num_Usel,'):');

Repeat

Readln(Number);