Дослідження методів чисельного інтегрування

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет
Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних
систем управління
Факультет АКСУ
Кафедра АІВТ
Курсова робота
з дисципліни
«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки,
виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I
являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=xi
=xi+1
-xi
), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

In
=f(x)dx»Si
=h[f(x0
)+f(x1
)+...+f(xn-1
)]=f(xi
);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр
=f(x)dx»h[f(xn
)+...+f(x1
)]=f(xi
)(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si
прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

Si
=h(f(xi
)+f(xi+1
)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=»Si
=h(f(x0
)+f(x1
)+f(x2
)+...+f(xn-1
)+f(xN
)= =[(f(x0
)+f(xn
))+f(xi
)].(1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М2
–максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-
крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dx»Si [1].

Графічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si= [f(xi)+4f(xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y0
+4y1
+y2
),

(y2
+4y3
+y4
),

(y4
+4y5
+y6
), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y2n-2
+4y2n-1
+y2n
),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y0
+y2n
+4(y1
+...+y2n-1
)+2(y2
+...+y2n-2
)],

або

[y0
+y2n
+4y2i-1
+2y2i
],(1.8)

де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М4
–максимальне значення четвертої похідної. f(x)
при , h-
крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:

yi
Hi,
(1.9)

де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

ci
f(xi
),
(1.10)

в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

n = 1	Но = H1 = ½
n = 2	Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3
n = 3	Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H2 = 3/8
n = 4	Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15
n = 5	Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз = = 25/144
n = 6	Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105
n = 7	Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:

2Cn[f(x1
)+f(x2
)+...+f(xn
)],(1.11)

де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

f(x)=a0
+a1
x+a2
x2
+...+an
xn
.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:

(a0
+a1
x+a2
x2
+...+an
xn
)=2(a0
+a2
+a3
+...).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:

f(x1
)=a0
+a1
x1
+a2
x1
2
+a3
x1
3
+...+an
x1
n
,

f(x2
)=a0
+a1
x2
+a2
x2
2
+a3
x2
3
+...+an
x2
n
,

f(x3
)=a0
+a1
x3
+a2
x3
2
+a3
x3
3
+...+an
x3
n
,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn
)=a0
+a1
xn
+a2
xn
2
+a3
xn
3
+...+an
xn
n
,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a0
+a2
+a4
+...)=2cn
[na0
+a1
(x1
+x2
+...+xn
)+a2
(x1
2
+x2
2
+...+xn
2
)+

+a3
(x1
3
+x2
3
+...+xn
3
)+...+an
(x1
n
+x2
n
+...+xn
n
)].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a0
,a1
,...,an
; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

Cn
=.(1.16)

і, крім цього,

x1
+x2
+x3
+...+xn
=0,

x1
2
+x2
2
+x3
2
+...+xn
2
=,

x1
3
+x2
3
+x3
3
+...+xn
3
=0,(1.17)

x1
4
+x2
4
+x3
4
+...+xn
4
=,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x1
n
+x2
n
+x3
n
+...+xn
n
=[1-(-1)n+1
],

Підставляючи знайдене для Сn
виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x1
)+f(x2
)+...+f(xn
)],(1.18)

де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z1
)+f(z2
)+...+f(zn
)],(1.19)

де

Таблиця 1.2.

Число

ординат

Значення абсцис

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

-x1 = x2 = 0.577350

-x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0

-x1 = x4 = 0.794654; -x2 = x3 = 0.187592

-x1 = x5 = 0.832498; -x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0

-x1 = x6 = 0.866247; -x2 = x5 = 0.4225І9; -x3 = x4 = 0.266635

-x1 = x7 = 0.883862; -x2 = x6 = 0.529657; -x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0

Zi
=+xi
, (i=1,2,...,n),(1.20)

а xi мають вкaзані в таблиці значення.

Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:

2. Розробка та опис логічної частини програми

Програма складається з двох блоків. Це – інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з комп’ютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.

При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:

1) обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.

2) обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.

3) обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку

4) Задається крок обчислення h=0.1;

5) Задається крок обчислення h=0.2;

6) Задається крок обчислення h=0.5;

7) Про автора – довідка про автора програми;

8) Вихід з програми – здійснюється вихід з програмного середовища ТР;

Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.

Тип TMenuItems – масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode – процедура для ініціалізації графіки, VGA - тип графічного драйверу, VGAHi – тип графічного режиму.

· DrawCursor(x,y:integer) – процедура для малювання курсору;

· HideCursor(x,y:integer) – процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;

· Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char – функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;

· Procedure menu(x,y:integer;…var poin:integer) – дана процедура власне

виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.

3. Функціональне призначення програми

Програма призначена для обчислення визначеного інтегралу I=,
методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків, також дає змогу зменшити похибку обчислень за рахунок зменшення кроку інтегрування.

Програма має гарний інтерфейс користувача з меню, що керується з клавіатури. Результати обчислень виводяться на екран монітора.

Дана програма пристосована для вирішення тільки одного інтегралу, а тому є вузько спеціалізованою, проте можлива зміна підінтегральної функції шляхом корегування програмного коду.

Комп'ютер може швидко опрацьовувати дані і виводити результати на екран.

4. Вхідні та вихідні дані

Вхідні дані:

1. Інтеграл: I=
;

2. Крок обчислень 0.1,0.2,0.5;

3. Порядок інтегрування: третього , четвертого та п’ятого порядку.

Вихідні дані:

1. Значення інтегралу, що знаходить программа.

2. Загальна похибка по заданим методам.

3. Порівняння результатів з точним значенням.

5. Результати розрахунків

Результатами обчислень є знаходження значення визначеного інтеграла I=,
, зазначеними методами, з кроком: h=0.1, h=0.2, h=0.5.

При розрахунку інтегралу 3-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2.649061117170

Загальна похибка: 0.0316342854