Математическая модель оборота малого бизнеса в регионах
Ю. С. Пиньковецкая, Ульяновский государственный университет
Введение
Одним из наиболее важных экономических показателей характеризующих развитие малого бизнеса в Российской Федерации, является объем производства или оборот малых предприятий. В экономической теории и математической практике для описания объемов производства широко используются производственные функции. Производственная функция является математической моделью процесса производства продукции и выражает устойчивую, закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и оборота. Именно производственные функции позволяют произвести оценку потребностей в инвестициях и необходимых трудовых ресурсах для развития в регионах малого бизнеса. Актуальность построения производственных функций для малого бизнеса обусловлена необходимостью получения информации о предполагаемой динамике изменения объемов производства, а также факторах, оказывающих наиболее существенное влияние на формирование оборота малых предприятий.
1. ПОСТРОЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ
Классиче ский метод построения производственной функции по статистическим данным основывается на выборе двухфакторной производственной функции с использованием таких факторов как труд и капитал [1, 2].
Проведенный анализ показал, что производственные функции могут быть построены для предприятий малого бизнеса отдельных регионов Российской Федерации (областей и республик). Наиболее приемлемыми факторами, определяющими оборот малых предприятий, являются затраты на заработную плату всех работников, занятых на малых предприятиях (как характеристика затрат труда) и инвестиции в основной капитал малых предприятий.
В процессе исследований автором проведен анализ статистических данных, характеризующих значения оборота малых предприятий, инвестиций в основной капитал и затрат на заработную плату по малым предприятиям. В качестве исходных данных использовалась информация, представленная в сборниках Федеральной службы государственной статистики [3, 4].
В процессе математического моделирования рассматривались различные виды производственных функций (линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная) и производился анализ их качества по принятым критериям. Построение производственных функций кладных программ «Mathematica», «Mathcad» и «Microsoft Excel» [5].
Итоги расчетов показали, что лучше всего аппроксимирует исходные данные следующая степенная функция:
где y — оборот малых предприятий по региону за год, млрд руб.; x1 — инвестиции в основной капитал малых предприятий за год, млрд. руб.; x2 — затраты на заработную плату работников малых предприятий по региону за год, млрд руб.
Проверка качества полученной модели, проведенная на основе регрессионного анализа показала, что полученная зависимость (1) является тесной и значения коэффициентов детерминации R2 = 0.925 и корреляции
r = 0.962 близки к единице. Дисперсионный анализ подтвердил, что уравнение значимо, поскольку табличное значение критерия Фишера—Снедекора (FB01; = 3.15) значительно меньше значения, рассчитанного для полученной функции (F=01; = 1172.41 ).
Таким образом, в процессе исследования было доказано наличие зависимости между объемами
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ
На основе полученной производственной функции (1) были построены изокванты, отражающие зависимость между факторами, входящими в производственную функцию при постоянном значении самой функции. Уравнение изокванты, с учетом принятых выше условных обозначений, имеет вид:
Для построения таких изоквант регионы Российской Федерации в зависимости от значений оборота малых предприятий были объединены в шесть групп. На основе средних значений оборота малых предприятий для каждой из полученных групп, по формуле (2), были построены изокванты.
К каждой из изоквант была построена изокоста, представляющая собой касательную к изокванте, в точке, соответствующей минимуму суммы затрат на заработную плату и инвестиций. Прямая, формула (3), соединяющая точки касания полученных изоквант и изокост определяет траекторию расширения оборота малых предприятий:
Полученные модели позволили обосновать предполагаемый оборот малых предприятий, соответствующий оптимальным соотношениям инвестиций в основной капитал и затрат на заработную плату работников для шести выше указанных групп регионов. Итоги расчетов приведены в таблице.
Полученные результаты подтверждают тезис о том, что наращивание инвестиций и трудовых ресурсов требуют гармоничного сочетания этих двух факторов, поскольку инвестиции связаны с ростом затрат на заработную плату. В свою очередь увеличение численности работников требует новых производственных фондов, оборудования, помещений, что связано с необходимостью инвестиций.
Заключение
В настоящей статье на основе компьютерного моделирования показано наличие устойчивой связи между оборотом малых предприятий в регионах и двумя факторами — затратами на заработную плату работников и инвестициями в основной капитал малых предприятий, построены соответствующие математические модели: степенная производственная функция, уравнения изоквант, изокост и траектории расширения.
Полученные модели позволяют сделать вывод о возможности существенного увеличения объемов производства малого бизнеса при достаточно ограниченных инвестициях и росте затрат на заработную плату за счет эффекта масштаба во всех регионах Российской Федерации. Это должно позволить обеспечить совершенствование структуры управления регионами особенно важное в условиях выхода из кризиса, обеспечение занятости населения, повышения эффективности сектора малого бизнеса.
Список литературы
1. Клейнер Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 239 с.
2. Пиндайк Р. С., Рубинфельд Д. Л. Микроэкономика. — М.: ДЕЛО, 2001. — 808 с.
3. Малое предпринимательство в России. 2008: Стат.сб./ Росстат. — М., 2008. — 164с.
4. Российский статистический ежегодник. 2008: Стат.сб./ Росстат. — М., 2008. — 847с.
5. Салманов О. Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel [Текст] / О. Н. Салманов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 464 с.