(близько 580—500 PP. до н. е.)
Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури — філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося Відомості про нього знаходимо лише в окремих висловлюваннях, спогадах і коментарях до наукових праць авторів пізнішого часу.
За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н. е. на о. Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда зм. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту — центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природничих і математичних наук. Повернувшись на о. Самос, Піфагор планував створити філософську школу. Але з невідомих причин він незабаром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльності. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристократів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питання філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших містах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових членів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати нічого про її засновника Піфагора, якого вважали пророком. Члени піфагорійської школи мали спеціальний знак — пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного.
Історичні умови того часу (кінець VI—початок V ст. до н. е.) характеризуються широким рухом народу (демосу) проти влади аристократів. Хвилі народного гніву докотилися і до Кротона. Рятуючись від нього, "Піфагор разом із своїми учнями переїхав до сусіднього міста Тарента. Але й тут народ рішуче засудив реакційну роль таємної організації піфагорійців. У Метапонті, куди Піфагор утік з Тарента, в одній з нічних вуличних сутичок обірвалося життя 80-річного вченого. Його учні змушені були розійтися по всій Греції. Щоб зрозуміти роль піфагорійської школи в розвитку математичної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містичного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, число — це закон і зв'язок світу, це сила, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу числа можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських заняттях — мистецтві, ремеслах, музиці. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то звукова гармонія порушується.
Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальнив його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають у такому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається.
Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку роботу в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі — непарні числа; злі — парні числа: досконалі — кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників 1 (якщо з числа-дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є б, бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні — це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні і т. д. Зокрема,, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел.
Піфагор геометричне довів, що суми послідовних непарних чисел, починаючи з одиниці, є точними квадратами. Наприклад, 1+3=4=22, 1+3+>5=9=32, 1+3 + 5 + 7=16= 42, 1+3 + 5 + 7+9 = 25 = 52 і т. д.
Вивчаючи натуральний ряд чисел, піфагорійці встановили таку властивість сум послідовних чисел: 1+2 = = 3, 1+2+<3 = 6, 1+2 + 3+4=10, 1 + 2 + + 3 + 4 + 5=15 і т. д. Числа 1, 3, 6, 10, 15... вони називали трикутними числами, бо якщо скласти фігуру з кружечків, кількість яких відповідає кожному з цих чисел, то вона матиме форму трикутника (дивись малюнок).
Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну. Вони говорили, що три числа а, b, с утворюють неперервну гармонічну пропорцію, якщо для них справджується рівність
Число b називалося середнім гармонічним чисел а і с. Наприклад, такими є числа 2, 3 і 6, а 3 — середнє гармонічне чисел 2 і 6, бо /
Складаючи різні арифметичні прогресії, піфагорійці помітили цікавий їх зв'язок з введеними раніше числами (трикутними, квадратними, прямокутними і т. п.). Наприклад:
enter;">1+2 + 3+ ... + ...п
= — трикутні числа,
1+3 + 5+ ... + (2n-1)=n2
— квадратні числа,
2 + 4 + 6+ ... +2n=n (n+1) — прямокутні числа.
Із сказаного вище видно, що Піфагора та його учнів числа цікавили тільки в теоретичному плані. Вивчення дій з числами піфагорійців цікавило мало.
Але дослідження, проведені піфагорійцями над числами та їх властивостями, поклали початок новій науці — геометричній алгебрі. Величини розглядалися тут як відрізки. Це мало величезне значення для дальшого розвитку математики.
Дослідження Піфагора та його учнів у галузі геометрії також були досить успішними. Але і в геометрії вони шукали підтверджень своїх філософських ідеалістичних поглядів і відповідно пояснювали геометричні істини. Так, піфагорійці твердили, що всі геометричні тіла визначаються співвідношенням їх числових характеристик. Куб, наприклад, визначається числами 2, 6 і 8 за кількістю ребер, граней і вершин і, що найголовніше, ці числа утворюють гармонічну пропорцію:
Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпростіший з таких трикутників, так званий єгипетський трикутник з сторонами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Піфагор вивів правило знаходження величини сторін таких трикутників. Тепер це правило ми сформулювали б так: нехай а — будь-яке непарне число. Вважатимемо це число довжиною одного з катетів прямокутного трикутника. Віднявши від його квадрата одиницю і поділивши на два, дістанемо величину більшого катета; до величини більшого катета додамо одиницю і дістанемо гіпотенузу. Оскільки а ціле непарне число, то довжини другого катета і гіпотенузи також цілі числа. Те, що в результаті дістаємо справді катети і гіпотенузу прямокутного трикутника, випливає з рівності:
Наприклад, якщо а = 3, то сторони трикутника дорівнюють 3, 4, 5; якщо а = 5, то сторони дорівнюють 5, 12, 13; якщо а = 7, то сторони будуть 7, 24, 25 тощо.
Прямокутний трикутник піфагорійці вважали найкращою і найдосконалішою фігурою. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відома задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі (дивись малюнок).
Можливо, що вивчення властивостей прямокутних трикутників привело піфагорійців до відкриття несумірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка - діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Пояснити це Піфагор та його учні не могли, тому і тримали своє відкриття в суворій таємниці. Збереглась легенда, що один з піфагорійців, Гіпас, розголосив таємницю про ірраціональне число. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі.
Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що навколо однієї точки на площині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 правильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, але цей спосіб побудови до нас не дійшов.
Евклід у своїх творах приводить цікавий спосіб побудови такого п'ятикутника, в якому не застосовується поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношенні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому кути при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рівних частин. (Це окрема задача).
Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного вписаного п'ятикутника був відомий.
Побудови правильних плоских фігур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо підвели піфагорійців до побудови правильних многогранників. За свідченнями деяких істориків Піфагор і його учні вміли будувати всі п'яти, видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні многогранники, як додекаедр або ікосаедр. Це було на той час значним досягненням.
Деякі з істориків пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було відоме поняття ізогіериметрії. Найпростіша ізопериметрична задача — це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї задачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обмежує тіло найбільшого об'єму. Шуканою поверхнею є сфера. При цьому, на догоду своїм релігійним уявленням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просторова фігура, а круг — найдосконаліша плоска фігура.
В оцінці діяльності піфагорійців думки вчених розходяться, бо ніяких письмових документів їхньої школи не залишилось. Проте з впевненістю можна вважати, що Піфагор та його учні своїми дослідженнями внесли вагомий вклад у розвиток еллінської культури.