Абстрактный синтез конечного автомата

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Абстрактный синтез конечного автомата

1.1 Формирование алфавитного оператора

1.2 Приведение оператора к автоматному виду

1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата

1.4 Минимизация абстрактного автомата

2. Структурный синтез конечного автомата

2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов

2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата

Заключение

Список литературы

В
ВЕДЕНИЕ

Теория автоматов – это теория, на которой основаны экспериментальные методы исследования в кибернетике. При подходе к теории автоматов, как к части теории алгоритмов, центральной проблемой является изучение возможностей автоматов в терминах множеств слов, с которыми работают автоматы.

Можно выделить два основных аспекта работы автомата.

1. Автоматы-распознаватели, которые распознают входные слова, т.е. отвечают на вопрос, принадлежит ли поданное на вход слово данному множеству.

2. Автоматы-преобразователи, которые преобразуют входные слова в выходные, т.е. реализуют автоматные отображения.

Одной из задач теории автоматов является задача описания автомата и его реализации, т.е. представления автомата как структуры, состоящей из объектов фиксированной сложности. В этом отношении теория автоматов оказалось наиболее развитой ветвью теории алгоритмов.

Общая теория автоматов подразделяется на абстрактную теорию и структурную теорию автоматов. Абстрактная теория автоматов занимает промежуточное положение между алгеброй и логикой. С точки зрения приложений значение абстрактной теории автоматов отнюдь не сводится к удовлетворению запросов одной лишь вычислительной техники. Современная теория автоматов представляет собой математический аппарат для решения широкого класса комбинаторных проблем.

Структурная теория автоматов позволяет реализовать абстрактный автомат на элементах, принадлежащих к заранее заданному классу.

Для преобразования дискретной информации в различных областях техники используются цифровые автоматы. К цифровым автоматам относятся отдельные узлы и блоки специализированных и универсальных ЦВМ и ЦВМ в целом. Цифровыми автоматами могут быть названы также устройства, в автоматике, телемеханике, радиолокации и других областях техники, в которых требуется выполнять преобразование над сигналами, представленные в дискретной (цифровой) форме.

Первое правило функционирования автоматов заключается в следующем. Автомат необязательно должен запоминать входные истории. Вполне достаточно, чтобы автомат запомнил класс эквивалентностей, к которому приходится данная история.

Второе правило функционирования автоматов состоит в том, что на один и тот же входной сигнал конечный автомат может реагировать по-разному, в зависимости от того, в каком состоянии он находится в настоящий момент.

Конечный автомат - это устройство, работающее в дискретные моменты времени, или такты. На вход конечного автомата в каждом такте поступает один из возможныхвходных сигналов, а на его выходе появляется выходной сигнал, являющийся функцией его текущего состояния и поступившего входного сигнала.

Внутренние состояния автомата также меняются. Моменты срабатывания (такты), определяются либо принудительно тактирующими синхросигналами, либо асинхронно, наступлением внешнего события, то есть приходом сигнала.

Существует два вида реализации конечного автомата - аппаратная и программная. В первую очередь, реализация конечного автомата требует построения устройства памяти для запоминания текущего состояния автомата. Обычно используются двоичные элементы памяти, или триггеры, запоминающие значение одного двоичного разряда.

1. А
БСТРАКТНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

1.1 Формирование алфавитного оператора

Для определения параметров задания необходимо ввести первичную информацию:

- порядковый номер в журнале;

- год поступления;

- номер группы;

Для данного задания это соответственно:

21, 08, 02.

Из этих цифр необходимо составить правильную десятичную дробь, в которой эти цифры следуют сразу после запятой:

Y1= 0,210802

Вторичная информация Y,Y3 ,Y4 получаются путем возведения 1 в степени 2, 3, 4 и удалением в дроби всех нулей между запятой и первой значимой цифрой.

Y2 = 0,444374

Y3 = 0,93675

Y4 = 0,19747

Для получения значений входных и выходных сигналов автомата необходимо полученные десятичные дроби преобразовать в двоичный код до шестнадцатого знака.

В результате преобразований получены следующие значения заданных сигналов.

Y1 = 0011010111110111

Y2 = 0111000111000010

Y3= 1110111111001110

Y4 = 0011001010001101

Полученные значения записываются в столбцах: первые 8 значений в левой части, вторые 8 – в правой части. Алфавитный оператор соответствия представлен в таблице 1.

Таблица 1. Алфавитный оператор соответствия

Входные сигналы	Выходные сигналы
0010	1111
0110	1110
1111	1000
1101	1000
0010	0011
1010	1011
0011	1110
1110	1001

1.2 Приведение оператора к автоматному виду

Для того чтобы оператор преобразовался к автоматному виду, необходимо выполнение трех условий:

1. Любым двум одинаковым начальным отрезкам входных слов должны соответствовать одинаковые начальные отрезки выходных слов;

2. Длина входного слова должна равняться длине выходного слова;

3. Последний символ должен возвращать автомат в начальное состояние.

Данный оператор уже выровнен, так как длина каждого из входных слов равна длине соответствующего выходного слова. Каждому входному слову здесь сопоставляются не более одного выходного слова, поэтому оператор однозначен. Однако он не удовлетворяет условию полноты.

Таким образом, автоматный вид оператора примет, следующий вид:

Таблица 2. Автоматный вид

Входные сигналы	Выходные сигналы
0010	1111
0110	1110
1111	1000
1101	1000
00100000	11110011
1010	1011
0011	1110
1110	1001

1.3 Построение графа переходов абстрактного автомата

Построим по таблице 2 граф переходов автомата. При этом предполагается, что последний символ каждого входного слова должен переводит автомат в начальное состояние.

Граф переходов абстрактного автомата представлен в приложении 1.

1.4 Минимизация абстрактного автомата

По графу переходов построим таблицу переходов-выходов заданного автомата (таблица 3).

Таблица 3. Таблица переходов-выходов автомата

a(t-1)	0	1
a0	a1 /1	a2 /1
a1	a3 /1	a4 /1
a2	a10 /0	a11 /0
a3	-	a5 /1
a4	-	a6 /1
a5	a8 /1	a9 /0
a6	a8 /0	-
a7	a0 /-	a0 /-
a8	a0 /-	a0 /-
a9	a0 /-	a0 /-
a10	-	a12 /1
a11	a14 /0	a15 /0
a12	a13 /1	-
a13	a0 /-	a0 /-
a14	-	a16 /0
a15	a17 /1	a18 /0
a16	a0 /-	a0 /-
a17	a0 /-	a0 /-
a18	a0 /-	a0 /-

Один из алгоритмов минимизации полностью определенных автоматов заключается в следующем. Множество состояний исходного абстрактного автомата разбивается на попарно пересекающиеся классы эквивалентных состояний, далее каждый класс эквивалентности заменяется одним состоянием. В результате получается минимальный автомат, имеющий столько же состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются исходные состояния автомата.

0 класс эквивалентности:

a0, a1	b0
a2, a11	b1
a14	b2
a3, a4, a10	b3
a5, a15	b4
a6	b5
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18	b6
a12	b7

1 класс эквивалентности:

a0	c0
a1	c1
a2	c2
a3	c3
a4	c4
a5, a15	c5
a6	c6
a10	c7
a11	c8
a12	c9
a14	c10
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18	c11

2 класс эквивалентности:

a0	d0
a1	d1
a2	d2
a3	d3
a4	d4
a5, a15	d5
a6	d6
a10	d7
a11	d8
a12	d9
a14	d10
a7, a8, a9, a13, a16, a17, a18	d11

Из разбиения видно, что классы 1 и 2 совпадают, значит, продолжать не имеет смысла.

Таблица переходов-выходов минимизированного автомата представлена в таблице 4:

Таблица 4. Таблица переходов-выходов минимизированного автомата

d(t-1)	0	1
d0	d1 /1	d2 /1
d1	d3 /1	d4 /1
d2	d7 /0	d8 /0
d3	-	d5 /1
d4	-	d6 /1
d5	d11 /1	d11 /0
d6	d11 /0	-
d7	-	d9 /1
d8	d10 /0	d5 /0
d9	d11 /1	-
d10	-	d11 /0
d11	d0 /-	d0 /-

Граф переходов минимизированного автомата представлен в приложении 2.

2.
С
ТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА

2.1 Кодирование состояний, входных и выходных сигналов

Для кодирования состояний, входных и выходных сигналов конечного автомата, необходимо вычислить число элементов памяти:

а) рассчитаем число элементов памяти: Н = ] log2
h [, где h - число состояний после минимизации D = {}

H = ] log2
12 [ = 4

б) рассчитаем число входных (L) и выходных (М) шин: L = ] log2
n[

М =] log2
m [,

где n, m - число букв входного и выходного алфавитов

Z = {0, 1} L = ] log2
2 [ = 1

W = {0, 1} M = ] log2
2 [ = 1

Из приведённого выше следует, что для кодирования состояний необходимо 4 элемента памяти, обозначим их Q
0
, …, Q
3
. Закодируем состояния (таблица 5) случайными кодами.

Таблица 5. Таблица кодированных состояний

d(t-1)	Q0	Q1	Q2	Q3
d0	0	0	0	0
d1	0	0	0	1
d2	0	0	1	0
d3	0	0	1	1
d4	0	1	0	0
d5	0	1	0	1
d6	0	1	1	0
d7	0	1	1	1
d8	1	0	0	0
d9	1	0	0	1
d10	1	0	1	0
d11	1	0	1	1

2.2 Формирование функций возбуждения и выходных сигналов структурного автомата

По минимизированному графу переходов абстрактного автомата (Приложение 2) можно составить таблицу переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения D
-триггеров автомата Мили (таблица 6), Т
-триггеров автомата Мили (таблица 7), RS
-триггеров (таблица 8), JK
-триггеров (таблица 9).

D
-триггер – элемент задержки – имеет один информационный вход D и один выход Q и осуществляет задержку поступившего на его вход сигнала на один такт. Состояние, в которое переходит триггер, совпадает с поступившим на его вход сигналом D(t).

Таблица 6. Таблица переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения D
-триггеров

Номер перехода	Исходное состояние	Код исходного состояния	Следующее состояние	Код следующего состояния	Входной набор	Выходные сигналы		Сигналы возбуждения
						0	1	D3	D2	D1	D0
1	d0	0000	d1 d2	0001 0010	0 1	d0 0 d0 1	d0 1	d0 0
2	d1	0001	d3 d4	0011 0100	0 1	d1 0 d1 1	d1 1	d1 0	d1 0
3	d2	0010	d7 d8	0111 1000	0 1	d2 0 d2 1	d2 1	d2 0	d2 0	d2 0
4	d3	0011	d5	0101	1	d3 1	d3 1	d3 1
5	d4	0100	d6	0110	1	d4 1	d4 1	d4 1
6	d5	0101	d11	1011	0Ú1	d5 0	d5 1	d5 0Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1
7	d6	0110	d11	1011	0	d6 0	d6 0	d6 0	d6 0
8	d7	0111	d9	1001	1	d7 1	d7 1	d7 1
9	d8	1000	d10 d5	1010 0101	0 1	d8 0 d8 1	d8 0	d8 1	d8 0	d8 1
10	d9	1001	d11	1011	0	d9 0	d9 0	d9 0	d9 0
11	d10	1010	d11	1011	1	d10 1	d10 1	d10 1	d10 1
12	d11	1011	d0	0000	-	-	-	-	-	-	-

Из таблицы следует, что выходные сигналы автомата Мили описываются следующими выражениями:

= d2
0 Úd2
1 Úd5
0 Úd6
0 Úd8
0 Úd8
1 Úd10
1= d2
Úd5
0 Úd6
0 Úd8
Úd10
1

= d0
0 Úd0
1 Úd1
0 Úd1
1 Úd3
1 Úd4
1 Úd5
1 Úd7
1 Úd9
0= d0
Úd1
Úd3
1 Úd4
1 Úd5
1 Úd7
1 Úd9
0

Также следует, что сигналы возбуждения D-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

D3
= d2
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd8
0 Úd9
0 Úd10
1= d2
1 Úd5
Úd6
0 Úd7
1 Úd8
0 Úd9
0 Úd10
1

D2
= d1
1 Úd2
0 Úd3
1 Úd4
1 Úd8
1

D1
= d0
1 Úd1
0 Úd2
0 Úd4
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd8
0 Úd9
0 Úd10
1=

=d0
1 Úd1
0 Úd2
0 Úd4
1 Ú d5
Úd6
0 Úd8
0 Úd9
0 Úd10
1

D0
= d0
0 Úd1
0 Úd2
0 Úd3
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1 Úd9
0 Úd10
1=

=d0
0 Úd1
0 Úd2
0 Úd3
1 Úd5
Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1 Úd9
0 Úd10
1

Функциональная схема автомата Мили на D-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 3.

Таблица 7. Таблица переходов, выходных сигналов и сигналов возбуждения T
-триггеров

Номер перехода	Исходное состояние	Код исходного состояния	Следующее состояние	Код следующего состояния	Входной набор	Выходные сигналы		Сигналы возбуждения
						0	1	T3	T2	T1	T0
1	d0	0000	d1 d2	0001 0010	0 1	d0 0 d0 1	d0 1	d0 0
2	d1	0001	d3 d4	0011 0100	0 1	d1 0 d1 1	d1 1	d1 0	d1 1
3	d2	0010	d7 d8	0111 1000	0 1	d2 0 d2 1	d2 1	d2 0	d2 1	d2 0
4	d3	0011	d5	0101	1	d3 1	d3 1	d3 1
5	d4	0100	d6	0110	1	d4 1	d4 1
6	d5	0101	d11	1011	0Ú1	d5 0	d5 1	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1
7	d6	0110	d11	1011	0	d6 0	d6 0	d6 0	d6 0
8	d7	0111	d9	1001	1	d7 1	d7 1	d7 1	d7 1
9	d8	1000	d10 d5	1010 0101	0 1	d8 0 d8 1	d8 1	d8 1	d8 0	d8 1
10	d9	1001	d11	1011	0	d9 0	d9 0
11	d10	1010	d11	1011	1	d10 1	d10 1
12	d11	1011	d0	0000	-	-	-	-	-	-	-

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения T-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

T3
= d2
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1= d2
1 Ú d5
Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1

T2
= d1
1 Úd2
0 Úd3
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1= d1
1 Úd2
0 Úd3
1 Úd5
Úd6
0 Úd7
1 Úd8
1

T1
= d0
1 Úd1
0 Úd2
1 Úd3
1 Úd4
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd7
1 Úd8
0 Úd9
0= d0
1 Úd1
0 Úd2
1 Úd3
1 Úd4
1 Úd5
Úd7
1 Úd8
0 Úd9
0

T0
= d0
0 Úd2
0 Úd6
0 Úd8
1 Úd10
1

Функциональная схема автомата Мили на T-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 4.

Таблица 8. Таблица переходов и сигналов возбуждения RS
-триггеров

Номер перехода	Сигналы возбуждения
	R3	S3	R2	S2	R1	S1	R0	S0
1	d0 1	d0 0
2	d1 1	d1 0	d1 1
3	d2 1	d2 0	d2 1	d2 0
4	d3 1	d3 1
5	d4 1
6	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1
7	d6 0	d6 0	d6 0
8	d7 1	d7 1	d7 1
9	d8 1	d8 1	d8 0	d8 1
10	d9 0
11	d10 1
12	-	-	-	-	-	-	-	-

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

R3
= d8
1

S3
= d2
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd9
0= d2
1 Úd5
Úd6
0 Úd7
1 Úd9
0

R2
= d5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1= d5
Úd6
0 Úd7
1

S2
= d1
1 Úd2
0 Úd3
1 Úd8
1

R1
=d2
1Úd3
1Úd7
1

S1
= d0
1 Úd1
0 Úd4
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd8
0= d0
1 Úd1
0 Úd4
1 Úd5
Úd8
0

R0
=d1
1

S0
=d0
0Úd2
0Úd6
0Úd8
1Úd10
1

Функциональная схема автомата Мили на RS-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 5.

Таблица 9. Таблица переходов и сигналов возбуждения JK
-триггеров

Номер перехода	Сигналы возбуждения
	J3	K3	J2	K2	J1	K1	J0	K0
1	d0 1	d0 0
2	d1 1	d1 0	d1 1
3	d2 1	d2 0	d2 1	d2 0
4	d3 1	d3 1
5	d4 1
6	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1	d5 0 Ú d5 1
7	d6 0	d6 0	d6 0
8	d7 1	d7 1	d7 1
9	d8 1	d8 1	d8 0	d8 1
10	d9 0
11	d10 1
12	-	-	-	-	-	-	-	-

Из таблицы следует, что сигналы возбуждения RS-триггеров автомата Мили описываются следующими выражениями:

J3
= d2
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1 Úd9
0= d2
1 Úd5
Úd6
0 Úd7
1 Úd9
0

K3
= d8
1

J2
= d1
1 Úd2
0 Úd3
1 Úd8
1

K2
= d5
0 Úd5
1 Úd6
0 Úd7
1= d5
Úd6
0 Úd7
1

J1
= d0
1 Úd1
0 Úd4
1 Úd5
0 Úd5
1 Úd8
0= d0
1 Úd1
0 Úd4
1 Úd5
Úd8
0

K1
= d2
1 d3
1 d7
1

J0
= d0
0 Úd2
0 Úd6
0 Úd8
1 Úd10
1

K0
= d1
1

Функциональная схема автомата Мили на JK-триггерах, построенная по выражениям, описывающим выходные сигналы, приведена в Приложении 6.

З
АКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы мной были закреплены знания о синтезе конечных автоматов и получена практика в построении комбинационных схем.

В данной работе мной было выполнено проектирование конечного автомата по алфавитному отображению с использованием канонического метода структурного синтеза автоматов. Построены граф переходов абстрактного автомата с 17 состояниями и таблицы переходов-выходов. Минимизация состояний автомата выполнена путем разбиения на группы эквивалентных между собой состояний. После чего был построен минимальный граф Мили с 11 состояниями. Выполнен структурный синтез конечного автомата. Построены функциональные схемы автомата Мили на D, T, RS и JK-триггерах.

С
ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов (граф-схемы и автоматы). – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергия, 1979. – 232 с., ил.

2. Дегтярев В.М., Ерош И.Л., Михайлов В.В. Проектирование цифровых автоматов.-Л.:ЛИАП, 1974г.

3. Козин И.В., Иванов Н.М., Лупал А.М. Проектирование управляющих автоматов по алфавитному отображению. Учебное пособие по курсовому проектированию/ЛИАП. – Л., 1991. – 82 с., ил.

4. Лупал А.М. Теория автоматов. Учебное пособие/СПбГУАП. – СПб., 2000. – 120 с., ил.

5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. Учебник для вузов по спец. «Электронные вычислительные машины». – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Выш. школа, 1980. – 336 с., ил.

6. Конспект лекций по дисциплине «Теория автоматов», преподаватель Глебов Е.А., 2005-2006 уч.г.