В современных сложных объектах, как правило, выходной сигнал объекта зависит не от одного входного сигнала, как в случае с кривой разгона, а от нескольких входных сигналов, т.е. объект управления имеет сложное переплетение взаимосвязей входных и выходных сигналов.
Рис. 1. Схема объекта, состоящего из нескольких взаимосвязанных входных-выходных сигналов
Для идентификации таких сложных объектов используется метод регрессионного анализа с проведением активного эксперимента на базе теории математического планирования эксперимента.
Назначение этой теории – значительно сократить количество экспериментальных опытов и упростить расчеты, необходимые для получения уравнения взаимосвязи выходного сигнала с несколькими входными сигналами – уравнения регрессии.
Сокращение числа необходимых экспериментов в теории математического планирования эксперимента достигается за счет одновременного изменения всех входных сигналов (факторов), а упрощение расчетов получается за счет того, что изменение входных сигналов (факторов) нормируется, т.е. величины . Пусть – зависит от 2-х входных факторов.
Рис. 2. Схема исследования объекта методом регрессионного анализа для двух входных сигналов (факторов)
Точка О – номинальный режим работы объекта. Нормализация происходит за счет того, что начало координат переносится в точку О на .
Рис. 3. Схема центрального плана полного факторного эксперимента для двух входных сигналов (факторов)
Здесь (рис. 3) изображен план проведения опытов для изучения зависимости . Число опытов равно 4=22
– полный факторный эксперимент; Для k входных факторов число опытов в факторном эксперименте: N=2k
. При k=3 N=8; k=4, N=16 и т.д.
На приведенном выше рис. 3. изображен центральный (точка О – в центре) ортогональный полный факторный план эксперимента для 2-х входных факторов.
Таблица 1. Полный факторный эксперимент для k=2.
| № опыта | |||
| 1 | +1 | +1 | |
| 2 | -1 | +1 | |
| 3 | -1 | -1 | |
| 4 | +1 | -1 |
Свойство плана, когда, называется ортогональностью плана.
Таблица 2. Полный факторный эксперимент для k=3.
| № опыта | ||||
| 1 | +1 | +1 | +1 | |
| 2 | -1 | +1 | +1 | |
| 3 | -1 | -1 | +1 | |
| 4 | +1 | -1 | +1 | |
| 5 | +1 | +1 | -1 | |
| 6 | -1 | +1 | -1 | |
| 7 | -1 | -1 | -1 | |
| 8 | +1 | -1 | -1 |
В полном факторном плане экспериментов число опытов резко возрастает в зависимости от числа входных факторов: k=4 N=16; k=5, N=32; k=6, N=64 опыта. Поэтому для сокращения числа опытов с минимальной потерей информации применяются сокращенные планы – дробные реплики. Если планы содержат половину опытов полного факторного эксперимента, то такой план носит название полуреплики.
Таблица 3. Пример полуреплики для k=4 (ПФЭ=16)
| № опыта | ||||
| 1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
| 2 | +1 | -1 | +1 | -1 |
| 3 | -1 | +1 | +1 | -1 |
| 4 | -1 | -1 | +1 | +1 |
| 5 | +1 | +1 | -1 | -1 |
| 6 | +1 | -1 | -1 | +1 |
| 7 | -1 | +1 | -1 | +1 |
| 8 | -1 | -1 | -1 | -1 |
Используют также ¼ реплики от полного факторного эксперимента.
Уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов – уравнение регрессии – записывается в виде алгебраического полинома 1-ой и 2-ой степени в следующем виде:
1-ой степени:
xвых
= b0
+b1
x1
+b2
x2
;
с учетом взаимодействия входных факторов для 2-х входных факторовx1
и x2
:
xвых
= b0
+ b1
x1
+ b2
x2
+ b12
x1
x2
.
Полином второй степени – уравнение регрессии:
Естественно, это уравнение более точно описывает взаимосвязь xвых
– функции отклика – с входными факторами (сигналами) объекта.
Задача идентификации объекта управления (ОУ) методом регрессивного анализа сводится к выбору порядка математической модели – уравнения регрессии – и определению коэффициентов b0,
b1
, b2
, b12
и т.д. в этом уравнении регрессии. При определении этих коэффициентов используется метод наименьших квадратов, в котором определяется наименьшая сумма отклонений в квадрате (2-ой степени) между реально полученным в эксперименте выходным сигналом и выходным сигналом, рассчитанным (предсказанным) по уравнению регрессии, т.е. ищут минимум функции:
Минимум функции Ф достигается в том случае, когда первая частная производная (тангенс угла наклона к впадине) равна нулю, т.е.
.
Пример
Рассмотрим пример использования метода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция отклика) зависит от одного фактора (входного сигнала). Активно проведено n экспериментов. Задана и получена – результатов экспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го порядка для примера:
xвых
= b0
+ b1
x1
Методом наименьших квадратов ищем минимум функции Ф:
Для получения минимума этой Ф приравниваем к нулю частные производные
.
Для удобства получения частных производных введем фиктивную переменную x0
=1 и функцию Ф запишем:
x0
=1 можно убрать. Тогда
Решая эту систему алгебраических уравнений (можно методом Крамера), находим:
Проверка идентичности математической модели – уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по нескольким критериям адекватности и идентичности модели.
Поскольку результаты опытов в эксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и сами результаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяется в пределах: 0 – события быть не может, 1 – событие произойдет обязательно (день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытов вероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис. 4.):
Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей
На практике чаще всего используется так называемое нормальное (гауссовское) распределение вероятностей.
Случайная величина () имеет несколько числовых характеристик, наиболее важные из которых – это математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание – это среднее взвешенное значение случайной величины
Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
.
Проверка значимости уравнения регрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию. Проверка заключается в определении, значимо ли (больше ошибки измерения) полученное уравнение отличается от уравнения . Для этого вычисляют дисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:
,
где f1
– число степеней свободы,
.
А также остаточную дисперсию:
,
f2
– число степеней свободы.
Величину критерия Фишера (F-критерий) определяют по формуле:
(должно быть).
Значимость коэффициентов bi
уравнения регрессии определяют по t-критерию (критерии Стьюдента):
,
.
Идентификация объектов управления методом корреляционного анализа
Метод корреляционного анализа используется для идентификации объектов управления в том случае, если входные и выходные сигналы являются случайными величинами.
Рис. 5. Схема исследования объекта корреляционным методом
При корреляционном анализе используются:
– автокорреляционная функция (АКФ) и
– взаимокорреляционная функция (ВКФ).
АКФ характеризует зависимость последующих значений случайной величины от предыдущих, находящихся на расстоянии Dt.
Рис. 6. График изменения входной случайной величины – входного сигнала
АКФ:
.
При Dt®0 – точнее.
Взаимокорреляционная функция связывает две величины, отстоящие друг от друга на Dt.
ВКФ:
.
С АКФ и ВКФ связаны (через преобразование Фурье, когда входной-выходной сигнал раскладывается в ряд Фурье, состоящий из суммы синусоидальных колебаний с различной w – ряд гармоник) спектральные плотности случайных величин.
– для АКФ,
– для ВКФ.
Физически показывает, какая доля мощности случайной величины приходится на данную частоту.
Через спектральную плотность находим АФЧХ объекта:
.
Техническая диагностика систем
Техническая диагностика – наука о распознавании состояния технической системы. Диагнозис (гр.) – распознавание.
Объект технического диагностирования – изделие и его составные части, техническое состояние которых подлежит определению с заданной точностью.
Техническое с
Техническое состояние может быть:
– исправное-неисправное;
– работоспособное-неработоспособное;
– функционирующее правильно и неправильно.
Диагностирование по алгоритму – это совокупность предписаний с использованием диагностических признаков.
Система технического диагностирования – совокупность средств и объекта диагностирования, а также и исполнителей, осуществляющих диагностирование по правилам, установленным соответствующей документацией. Система технической диагностики определяет состояние технического объекта, характер его изменения с течением времени, по определенным диагностическим признакам.
Теоретический фундамент технической диагностики – теория распознавания образов, разработка алгоритмов распознавания, создание диагностических математических моделей, устанавливающих связь между состояниями технической системы и их отображением в пространстве диагностических признаков (сигналов). Диагнозы – классы типичных (типовых) состояний.
Важная часть распознавания – правила принятия решений (решающие правила).
Диагностика в режиме работы объекта называется функциональным техническим диагностированием.
Диагностика, когда проводятся тестовые воздействия – тестовая техническая диагностика.
В технической диагностике введено понятие глубины поиска дефекта, задаваемое указанием составной части объекта диагностики, с точностью, до которой определяется место дефекта. Обычно это модуль или блок, иногда даже микросхема (ЛОМИКОНТ).
Актуальность технической диагностики подтверждается следующими цифрами: в США исследования показали техническое обслуживание и ремонт самолета в 3-4 раза больше его стоимости, ремонт и обслуживание радиотехнического оборудования – 1200% от его стоимости. В СССР (по 181 г.) ремонтом и обслуживанием металлорежущих станков занимались в 4 раза больше рабочих, чем изготовлением этого оборудования. Стоимость заводского ремонта в ВВС США в 187 г. составила 15 млрд. долл., что в 2 раза больше, чем в 180 г.
Тенденция роста убытков, связанных с отказами техники, имеет место во всех развитых странах. Отказы, неисправности, поломки, сбои, ошибки и даже катастрофы – неизбежные факторы, дестабилизирующие процесс нормального функционирования объекта и системы управления. Имеется 3 причины отказов и катастроф:
а) применение малоизученных физических явлений для создания изделий;
б) несоблюдение принципа системности при проектировании изделий; применение несовершенных и неадекватных расчетных схем;
в) "человеческий фактор" в разработке, производстве и эксплуатации изделий ("защита от дурака").
Так, например, недостаточная изученность свойств материалов и несовершенство расчетов привели к катастрофе в США реактивного пассажирского самолета "Комета", который развалился в воздухе. Причина – прямоугольные иллюминаторы, в углах которых возникла концентрация напряжений, что привело к разрушению корпуса самолета. Второй пример. В 167 г. во время наземных испытаний космического корабля "Аполлон" США возникло короткое замыкание в проводе под креслом космонавта – мгновенный пожар в избытке кислорода – погибли 3 человека. В США подсчитано в 156 г., что из-за ошибок рабочих и служащих возникло 2 млн. отказов промышленного оборудования, что стоило 2 млрд. долл. Причина большинства авиакатастроф – "человеческий фактор".
Объективность "человеческого фактора" и необходимость его учета отражена в шуточных законах Мэрфи:
1. Инструмент падает туда, где может нанести наибольший вред.
2. Любая трубка при укорачивании оказывается слишком короткой.
3. После разборки и сборки какого-либо устройства несколько деталей оказываются лишними.
4. Количество имеющихся в наличии запчастей обратно пропорционально потребности в них.
5. Если какая-либо часть устройства может быть смонтирована неправильно, то всегда найдется кто-нибудь, кто так и сделает.
6. Все герметические стыки протекают.
7. При любом расчете число, правильность которого для всех очевидна, становится источником ошибок.
8. Необходимость внесения в конструкцию принципиальных изменений возрастает непрерывно по мере приближения к завершению проекта.
Необходимость в разработке научно обоснованных методов технической диагностики и технических средств для реализации диагностических систем и комплексов подтверждают результаты исследований, по которым установлено, что специалист 25% времени тратит на определенные части изделия, где произошла неисправность, 62% – на определение неисправной детали и только 13% времени – на восстановление отказавшей детали. Техническое диагностирование использует технические математические модели. Отличие диагностических моделей от обычных математических моделей, которые отражают номинальный режим функционирования объекта или системы управления состоит в том, что диагностическая модель описывает существенные свойства аварийных режимов, вызванных различными отказами. Объект или система при разработке диагностической модели рассматриваются по следующей схеме (рис. 3.):
Рис. 7. Схема разработки диагностической модели объекта или системы управления
Иерархия диагностических моделей (ДМ)
Рис. 8. Иерархия диагностических моделей
Из схемы видно, что диагностические модели могут быть различной сложности: от простых описательных (текст) до математических моделей высокого уровня.
Классификация отказов
а) по степени влияния: полные, частичные;
б) по характеру проявления: окончательные, перемежающиеся;
в) по степени связи: зависимые, независимые;
г) по частоте проявления: однократные, многократные;
д) по характеру возникновения: внезапные, постепенные;
е) по математическим моделям: параметрические, сигнальные;
ж) по видам проявления: обрывы, короткие замыкания, дрейф, переориентация, изменение эффективности.
Задачи диагностирования по следующей схеме (рис. 9.):
Рис. 9. Схема диагностирования по отказам
Для диагностики моделей используется (см. классификацию) множество физических видов отказов – диагностических признаков.
В качестве прямых диагностических признаков соответствующего отказа используют Dli
= li
- li
ном
– отклонение диагностического параметра li
от номинального значения. Косвенные диагностические признаки оценивают через отклонение величины xвых
– выходного сигнала объекта (системы).
Разработка диагностического обеспечения системы управления или объекта идет по следующей схеме (рис. 10.):
Рис. 10. Схема разработки диагностического обеспечения системы управления или объекта
Математическая постановка задачи технического диагностирования объекта (системы управления)
Пусть:
а) задана система линейная с постоянными характеристиками на отдельном отрезке времени стационарная, работающая в номинальном режиме;
б) задано множество контрольных точек;
в) задано множество физических отказов с характеристикой отказов;
г) задано множество тестовых и рабочих сигналов управления;
д) задано время диагностирования ОУ (СУ).
Требуется:
Провести техническое диагностирование ОУ (СУ) в целях контроля технического состояния – обнаружение отказов, поиск места и определение причин отказа.
При вероятностных методах распознавания технического состояния системы вероятность постановки диагноза , где Ni
– число состояний объекта из общего числа состояний N, у которых имел место диагноз Di
, а P(kj
/Di
) – вероятность появления диагностического признака kj
у объекта с диагнозом Di
. Если среди Ni
состояний объектов, имеющих диагноз Di
, у Nij
появился признак kj
, то
Вероятность появления диагностического признака kj
во всех состояниях объекта N независимо от их диагноза с учетом того, что kj
появляется только в Nj
состояниях объекта, равна:
.
Из изложенного выше вытекает, что вероятность совместного появления следующих событий: наличия у объекта диагноза Di
и диагностического признака kj
– равна:
.
Отсюда:
– формула Байеса.
Формула Байеса неточно отражает реальное положение при постановке диагноза Di при наличии диагностического признака kj. Дело в том, что в этой формуле априорно (без доказательства, заранее) принято, что все диагностические признаки имеют равную вероятность появления в реальных условиях работы системы, при этом не учитывается информационная ценность того или иного диагностического признака.
Информационная ценность диагностического признака определяется количеством информации, которое вносит данный диагностический признак в описание технического состояния объекта управления (ОУ) или системы управления (СУ).
Количество информации связано с энтропией (степенью неопределенности) состояния системы, чем выше определенность состояния системы (меньше энтропия), тем меньше информации мы получим, изучая (диагностируя) эту систему (о ней и так почти все известно).
Энтропия (степень неопределенности) системы по Шеннону (разработчик теории информации) находят по формуле:
где H(A) – энтропия системы A; P(Ai
) – вероятность Ai
состояния системы А.
Количество информации определяется как разность энтропии системы в 2-х различных состояниях:
J = H(A1
) – H(A2
),
где J– количество информации, H(A1
) – энтропия 1-го состояния, H(A2
) – энтропия 2-го состояния системы.
Список литературы
1. Льюнг Леннарт. Идентификация систем. – М.: Наука, 191.
2. Интеллектуальные системы автоматического управления. / Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина – М.: Физматпит, 2001.
3. В.О. Толкачев, Т.В. Ягодкина. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. – М.: МЭИ, 197.
4. К.А. Алексеев. Моделирование и идентификация элементов и систем автоматического управления. – Пенза, 2002.
5. Дочф Ричард, Вишоп Роберт. Современные системы управления. – М.: Юнимедиастайп, 2002.
6. С.В. Шелобанов. Моделирование и идентификация систем управления. – Хабаровск, 199.
7. К.В. Егоров. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 167.