Метод вейвлет-перетворення

АНОТАЦІЯ

В даній роботі представлений один із перспективних методів математичного аналізу – вейвлет-перетворення, застосування якого дозволяє оброблювати сигнали будь-якого виду (в даному випадку медико-біологічний, а саме – фотоплетизмограма). Проводиться порівняння з Фур′є-аналізом і обґрунтовано доведено переваги вейвлет-перетворення. Розроблено програмний комплекс для обробки фотоплетизмограми.

ВСТУП

Сьогодні в медичну діагностику впроваджується все більша кількість методів, основаних на застосуванні лазерних та оптико-електронних приладів. До них відноситься і фотоплетизмографічний метод (ФПМ), що дозволяє вимірювати кровонаповнення та кровострум як в потужних венах і артеріях, так і в периферійних судинах і капілярах.

ФПМ у порівнянні з іншими методами діагностики біологічного об'єкту (БО) за оптичними показниками, наприклад з фотоакустичним методом, дозволяє підвищити достовірність реєстрації гемодинамічних показників кровонаповнення, а також те, що введенням в прилади, які реалізують даний метод, елементів світловолоконної техніки і джерел з різноманітними довжинами хвиль зондуючого випромінювання можна достатньо точно вирішувати задачі фотодинамічних досліджень, дистанційних вимірів тих або інших гемодинамічних показників БО.

Розробка нових більш ефективних лазерних та оптико-електронних комп'ютеризованих систем та комплексів та методів диференціальної діагностики стоматологічних захворювань залишається однією із актуальних задач сьогодення.

Оптичний метод діагностики мікроциркуляції судин характеризується достатньо широким діапазоном можливостей реєстрації найрізноманітніших фізіологічних функцій тканин, органів і систем організму. Також відмінною рисою параметрів є їх висока вибірність і точність. Оптичний метод також дозволяє використовувати поряд з лазерними та оптико-електронними датчиками гнучкі скловолоконні світловоди для дослідження мікроциркуляції.

Даний метод дозволяє проводити комплексну оцінку мікроциркуляторного русла по двох важливих показниках: морфологічним ознакам і функціональним характеристикам. Комплексний аналіз дозволяє одержати досить повну інформацію про стан мікроциркуляторного русла в нормі і патології.

За допомогою оптичного методу дослідження визначають ряд функціональних показників, що властиві усередині судин (рівень кровонаповнення, швидкість і характер кровопотоку, тромбоутворення).

Широке розповсюдження серцево-судинних захворювань підтверджує актуальність розробок сучасних приладів діагностики та моніторингу, спрямованих на підвищення ефективності методів та розвиток технічних засобів діагностики таких захворювань.

За останні роки на основі досягнень медичної фізики сформувався новий напрямок - біоінженерія, основною задачею якої є розробка технічних систем і нових високоефективних технологій для діагностики, профілактики, лікування патологічних станів, і реабілітації. Біотехнізація сучасної медицини вимагає нової взаємодії між фізико-технічними і медико-біологічними науками. В багатьох країнах чітко проглядається тенденція до формування біонженерних (медико-технічних) центрів [1].

У даній роботі приводиться огляд одного із сучасних напрямків розвитку вейвлет-аналіза. Насамперед, актуальність даної роботи варто розглядати в контексті бурхливого розвитку вейвлет-аналіза й найширшого кола сфер його застосування. Так, уже зараз вейвлет-аналіз зарекомендував себе як один з ефективних методів кодування сигналів, обробки зображень будь-якої природи, супутникові зображення, рентгенограми внутрішніх органів, архівації даних, аналізу складних особливостей сигналів, об'єднання й поділи сигналів, створення множинного доступу, прихованого зв'язку, спільного кодування джерела й каналу зв'язку, виділення сигналів на фоні шумів, а також інтерес викликає його застосування й у сфері контролю якості передачі інформації.[2]

Взагалі, реально працюючі у додатках математичні методи завжди (чомусь) опираються на чисту математику - це експериментальний факт. А от прикладна сторона вейвлетів проста на стільки, що далі нікуди. При цьому вейвлет-перетворення не тільки працює швидко, але і його програмна реалізація незрівнянно проста[3].

1.
ОСОБЛИВОСТІ ВЗАЄМОДІЇ ОПТИЧНОГО ТА ЛАЗЕРНОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ З БІОЛОГІЧНИМИ СИСТЕМАМИ

Використання лазерів у біології та медицині може здійснюватися в кількох напрямках, одним з яких можна вважати розробку на основі лазерної техніки приладів та методів для виявлення, ідентифікації, дослідження будови біологічних об’єктів, а також для вивчення природи процесів, що відбуваються в них [4].Застосування лазерів у біології і медицині засновано на використанні широкого кола явищ, пов'язаних із різноманітними проявами взаємодії світла з біологічними об'єктами. Лазерне випромінювання, так само як і звичайне світло, може відбиватися, поглинатися, розсіюватися, перевипромінюватися біологічним середовищем, і кожний із цих процесів несе інформацію про мікро- і макроструктуру цього середовища, рух і форму окремих його складових. Червоне, інфрачервоне (ІЧ) та ультрафіолетове (УФ) світло можуть надавати фотобіохімічну дію. Яскравими прикладами цього є фотосинтез рослин і бактерій, а також механізм зору. Високоінтенсивне світлове випромінювання ультрафіолетового (УФ), видимого червоного та інфрачервоного (ІЧ) діапазонів довжин хвиль робить руйнівну (деструктивну) дію на біологічні об'єкти. Необхідні інтенсивності можна створити і не тільки за допомогою лазерів [3,4]. Таким чином, процеси, що характеризують види взаємодій лазерного випромінювання з біооб'єктами, можна розділити на три групи. До першої відносять усі неспотворювальні взаємодії (принаймні, у межах похибок вимірів, що не здійснюють помітної дії на біооб'єкт), до другого - процеси, у яких виявляється фотохімічна дія, і до третього - процеси, що призводять до фотодеструкції. На рисунку 1 подана класифікація основних принципів застосування лазерів у біології і медицині, що враховує зазначені групи процесів.

Оскільки ми маємо справу з живими об'єктами, то крім фізико-хімічних проявів дії лазерного випромінювання необхідно враховувати його вплив і на функціонування живої матерії. Цей вплив визначається ступенем гомеостазу живого об'єкта [5].

Ступінь гомеостазу характеризує стани і процеси, що забезпечують стабільність організму до зовнішніх втручань, вона є функцією еволюційного розвитку і виявляється найнижчою у біологічних молекул і найвищою в хребетних тварин.

Світло малої інтенсивності не запускає адаптаційні механізми біосистеми, з ростом інтенсивності спочатку це стосується гомеостазу живої системи на локальному рівні, потім включаються загальні адаптаційні і регуляційні механізми системи, що повністю її відновлюють, далі вони вже не справляються з повним відновленням і частково відбуваються необоротні процеси, що наростають і призводять до руйнацій у системі. Проте об'єкт можна ще вважати «живим». При високих інтенсивностях руйнації виявляються настільки значними, що об'єкт уже не може вважатися «живим» [5,6].

У дослідах по порівнянню поглинання червоного випромінювання з різними фізичними властивостями було встановлено, що просторова когерентність не впливає на поглинання, а поляризоване випромінювання поглинається менш активно ніж неполяризоване. Встановлено також, що розсіювання видимого світла при проходженні його через біотканину значно перевищує поглинання. Це означає, що лазерне світло має досить високу здатність проникнення в тканини. Якщо врахувати можливість транспортування випромінювання вглиб тканини при допомозі волоконної оптики і можливе наступне його розсіювання то можна сподіватися на подальше розширення сфери клінічного використання лазерів [6].

1.
1 Принципи розповсюдження оптичного та лазерного випромінювання в багатошарових тканинах

Вплив лазерного випромінювання на біологічний матеріал або реакція живої тканини на це випромінювання обумовлені взаємодією фотонів і молекул, або з'єднань молекул тканини. Атомарні і молекулярні процеси і наступні біологічні реакції вияснені ще не цілком. Відомі процеси можуть бути підрозділені на фотохімічну взаємодію, термічну взаємодію і нелінійні процеси.

Ступінь того або іншого впливу залежить:

а) від властивостей лазерного випромінювання (довжина хвилі, густота енергії, тривалість опромінення і частота повторення);

б) від властивостей біологічного матеріалу (коефіцієнт поглинання, коефіцієнт розсіювання, густота і т.д.).

У залежності від довжини хвилі, густоти енергії і часу впливу лазерного випромінювання ефект визначається в основному двома внутрішніми параметрами тканини: з одного боку, оптичними властивостями тканини, що опромінюється і, з іншого боку, її термічними властивостями.

При попаданні лазерного променя на тканину можуть спостерігатися три процеси: відбиття, поглинання і/або пропускання - тільки незначний відсоток випромінювання відбивається безпосередньо від поверхні (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Оптичні властивості прошарку матерії. Падаючий променевий потік розділяється на три частини: відбита частина Rф, поглинена частина Аф і пропущена частина Тф: Рф+Аф+Тф=1

Промені, що проникають в тканину, частково поглинаються, частково розсіюються і частково пропускаються (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Оптичні властивості лазерного променя на шкірі

В залежності від довжини хвилі випромінювання, що падає, відбивається до 60% випромінювання. Розсіювання залежить від негомогенних структур тканини і визначається різними показниками заломлення в різних шарах і різницею між шарами і їх навколишнім середовищем. Хвилі з довжиною набагато більшою, ніж діаметр шару (³ 10 мкм), розсіюються клітинними структурами лише в незначній мірі. Але тому, що електромагнітний спектр широко використовуваних лазерів простягається від ІЧ (1 мм-0,78 мкм) до УФ (0,38-0,10 мкм) діапазону довжин хвиль, ми практично завжди маємо справу з розсіюванням. Глибину проникнення для довжини хвиль більше 1,0 мкм можна розрахувати на основі закону Ламберта-Бера в першому наближенні [7].

Інтенсивність I випромінювання, що пройшло через прошарок товщиною d визначається співвідношенням:

I
=
I
0
e
-
a
d
,
(1.1)

де I0
- інтенсивність при вході в речовину і a - коефіцієнт поглинання.

При застосуванні монохроматичного випромінювання довжиною хвилі l для коефіцієнта поглинання дійсне таке співвідношення:

a
= 4
p
nk/
l
, (1.2)

причому показники переломлення n і поглинання k є константами для даного середовища. Співвідношення Ламберта-Бера справедливе в тому випадку, коли поглинання набагато перевищує розсіювання [8].

Частіше всього пропонується рішення опису взаємодії лазерного випрмінювання з біотканинами з позицій теорії радіаційного переносу [9], при цьому бiотканина аналізується як випадково-неоднорідне середовище, яке розсіює та поглинає, а випромінювання, що розповсюджується в ній, – як потік енергії, тобто всі ефекти, зв'язані з хвильовою природою світла (дифракція, iнтерференція, поляризація ), не приймаються до уваги.

Основне рівняння теорії радіаційного переносу може бути записане в вигляді

, (1.3)

де I (z, q) – потужність випромінювання, що розповсюджується на глибині z через одиничний майданчик і в одиничному тілесному куті в напрямку, який складає з нормаллю до цього майданчика кут, конус якого рівний q, Вт×м-2
×стер-1
; mа
тams
– коефіцієнти поглинання і розсіювання, м-1
; Р ((q', q) – фазова функція розсіювання, що описує вірогідність того, що світло розповсюджується в напрямку q.

Найкращим чином співвідношення поглинання і розсіювання описане в теорії Кубелки-Мунка [8,9]. Рівняння, що описує поширення випромінювання в середовищах з врахуванням поглинання і розсіювання має вигляд:

dLc
(r,z)/dz = -
g
Lc
(r,z),
(1.4)

деLc(r,z) -
щільністьпотужностівипромінювання [Вт/м2] колімованогопроменявмісцір (вектормісця) унапрямку z, g - коефіцієнтослаблення (сумакоефіцієнтіврозсіювання [м-1
] іпоглинання [м-1
]).

Розсіювання в біологічній тканині залежить від довжини хвилі лазерного променя. Випромінювання ексимерного лазера УФ діапазону (193, 248, 308 і 351 мкм), а також ІЧ-випромінювання 2,9 мкм ErYAG-лазера і 10,6 мкм СО2
-лазеру мають глибину проникнення від 1 до 20 мкм [10,11]. Тут розсіювання грає другорядну роль. Для світла з довжиною хвилі 450-590 нм, що відповідає лініям аргону, глибина проникнення складає в середньому 0,5-2,5мм. Як поглинання так і розсіювання грають тут значну роль. Лазерний промінь цієї довжини хвилі хоча і залишається в тканині колімованим у центрі, але він оточений зоною з високим розсіюванням. Від 15% до 40% енергії падаючого пучка світла розсіюється. У області спектра між 590 і 1500 нм, у яку входять лінії Nd:YAG лазера 1,06 і 1,32 мкм, домінує розсіювання. Глибина проникнення складає від 2,0 до 8,0 мм.

1.2 Аналіз оптико-електронних ІІС для аналізу гемодинамічних показників

Реанімаційно-хірургічні монітори ЮМ-300
мають вбудовану систему автоматизованого кардіо- і реоаналізу. В основу аналізу покладений метод математичної обробки плетизмограми і кардіоінтервалів, зареєстрованих протягом визначеного часу.

У результаті аналізу ритму серця будуються такі графіки:

· РИТМОГРАМА -
це послідовність вертикальних ліній, висота яких відповідає тривалості відповідного RR-інтервалу (в секундах). На осі абсцис відкладаються порядкові номери RR-інтервалів;

· ГІСТОГРАМА (варіаційна пульсометрія) - східчаста функція розподілуRR-інтервалів у
досліджуваному ряді їхніх значень;

· СКАТТЕРГРАМА -
послідовне нанесення на графік у прямокутній системі координат двох сусідніх RR-інтервалів. Скаттерграма особливо ефективна, при діагностиці аритмії.

· Крім того, проводиться спектральний аналіз ритму серця, будується відповідний графік (спектр ритму) і визначаються частотні складові спектра.

Система кардіоаналізу дозволяє визначати наступні параметри:

ДХ =
RRmax - RRmin - варіаційний розмах; Мо -
мода (значення RR-інтервалу, що найчастіше зустрічається); АМо
- амплітуда моди (число реалізації (у відсотках) даної моди стосовно загального числа аналізованих кардіоінтервалів); RR
- середня тривалість (мс) синусових RR-інтервалів за 5 хв: SDNN
-
середньоквадратичне відхилення від середньої тривалості всіх синусових RR-інтервалів (за 5 хв.); Cv
-
коефіцієнт варіації (%) - відношення SDNN до RR; SDANN
-
середньоквадратичне відхилення від середніх тривалостей синусових інтервалів, розрахованих на всіх 5-хвилинних інтервалах запису; PNN
50 -
частка сусідніх синусових інтервалів, що розрізняються більш ніж на 50 мс; RMSSD
-
середньоквадратичне відхилення між тривалістю сусідніх синусових інтервалів; ULF
-
потужність (енергія) складової спектра ультранизької частоти (0-0,04 Гц); LF
- потужність низькочастотної складової спектра (0,04-0,15 Гц); HF
-
потужність високочастотної складової спектра (0,15-0,4 Гц); LF
/
HF
- відношення потужностей низькочастотної і високочастотної складових спектра.

З аналізу плетизмографічних даних визначаються наступні параметри: t1 - тривалість RR-інтервалу; t2 - анакротична фаза; t3 - катакротична фаза; t4 - період швидкого кровонаповнення; t5 - період повільного кровонаповнення; t6 - період венозного відтоку; Vsf - сфігмографічна швидкість; 11 - дикротичний індекс; 12 - діастолічний індекс; 13 - індекс периферійного опору; 14 - інтегральний гідравлічний індекс; 15 - інтегральний артеріальний індекс; 16 - інтегральний венозний індекс;

Всі накопичені дані можна передати в комп'ютер і роздрукувати за допомогою спеціального програмного забезпечення [10].

2
. ВИКОРИСТАННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є ДЛЯ АНАЛІЗУ ПУЛЬСОВОЇ ХВИЛІ

Програма обчислення миттєвого значення частоти ударів пульсу входить у склад спеціалізованого програмного забезпечення (СПЗ) та проводить обробку аналогових сигналів, що надходять з датчиків пульсової хвилі різного типу (оптоелектронних, ємнісних, тензометричних і т.д.), з метою обчислення періоду пульсової хвилі та перерахунка миттєвого значення частоти ударів пульсу за хвилину. Задача ускладнюється тим, що пульсовій хвилі, як і іншим біомедичним сигналам, що повторюються, притаманний квазіперіодичний характер [5]. Це означає, що кожний наступний період сигналу лише приблизно відповідає попередньому, особливо за амплітудою відповідних ділянок (наприклад, екстремальних значень). Крім того, форма сигналу може різко змінюватись від періоду до періоду у зв'язку із загальним хвилюванням дослідженого хворого, що був поміщений у незвичну для нього обстановку. Тому неможливо використовувати прості методи обчислення періоду сигналу, що полягають у пошуку екстремальних точок з однаковою амплітудою. Хороші результати отримують при використанні перетворення Фур'є та аналізі періоду першої гармоніки розкладеної у спектр сигналу, однак дані методи потребують значних обчислювальних витрат за часом та об'ємом оперативної пам'яті.

В результаті моделювання запропонований достатньо простий швидкодіючий засіб обчислення миттєвого значення частоти пульсу, що використовує прості операції складання, віднімання та порівняння.Алгоритм обчислення миттєвого значення частоти ударів пульсу

Запропонований алгоритм обчислення миттєвого значення частоти ударів пульсу складається з таких етапів:

- виконується настройка таймера ТО ОМЕВМ на заданий дискрет часу t у нс роботи АЦП;

- виконується установка коефіцієнта перерахунка лічильника для коректування правильної роботи системних годинників;

- виконується установка максимального розміру місця у ОЗП, що відводиться під буфер відліків з АЦП N буфера;

- виконується установка програмного флага роботи АЦП, тобто дозволяється робота АЦП, що виконується програмою обробки переривання від таймера;

- відбувається циклічний аналіз стану програмного флага переповнення таймера ТО. Якщо підпрограма обробки переривання від таймера, то ще не заповнений весь буфер відліків у ОЗП, програмний флаг роботи зберігає одиничне значення. Таким чином, відбувається зупинка роботи основної програми до повного заповнення буферів відліку, коли підпрограма обробки переривання спрацьовує програмний флаг роботи та зупиняє запис відліків у буфер;

- відбувається перегляд всього буфера підрахунків та пошук максимального за величиною відліку Аmax
, наповнення суми відліків та обчислення середнього за буфером відліку

A = sum [Aі
, де i=0...Nбуф
-1] / Nбуф

де і - номер відліку,

Аі
- і-й відлік буфера,

Nбуф
- розмір буфера відліків.

Якщо розмір буфера обліку Nбуф
обраний кратним степеню двійки, тобто Nбуф
= 2^j
, де j=1,
2,3..., то операція поділу накопичення суми замінюється на просте відкидання j молодших розрядів накопиченої суми відліків за буфером;

- відбувається обчислення величини порога Ф, який дозволяє виділити характерні фрагменти буфера відліку

Ф = A + (Amax
- A)/2 = (Amax
+A)/2
;

- відбувається порогова обробка вихідного масиву відліку та занулення тих відліків, у яких величина менша порога, тобто порогових відліків Аі:

Аі, якщо Аі>P

Аі' =

0, якщо Аі<=P

Дана обробка дозволяє впустити лише ті фрагменти, які містять систолічний/діастолічний піки пульсової хвилі, а виключає невірні та випадкові викидає;

- відбувається пошук найближчого від початку буфера фрагмента A1
= {A1', де i=m...n}
для якого А1'<>0
та у даному фрагменту визначається координата Хмах за величиною відліку А'(x) = max [A'].
Якщо існує декілька розташованих поряд та рівних за величиною екстремальних відліків, тобто є у наявності горизонтальна "поличка" хвилі, відбувається обчислення ширини полички d та корекції координати Х
на половину ширини полички Х1 = Х + d/2;

- координата Х1 записується як координата першої хвилі пульсу;

- відбувається обнуління знайденого фрагмента А1
, тобто А1'=0
для всіх i=m...n;

- відбувається повторний пошук найближчого від початку буфера нульового фрагмента А11 = {Ai', i=k...1}
, причому використовується одна й та ж підпрограма пошуку, що й у попередньому випадку;

-у фрагменту А11
, як і раніше, визначається координата Х11
максимального за величиною відліку з урахуванням можливої наявності горизонтальної полички. Координата Х11
запам'ятовується як координата наступної пульсової хвилі;

- вираховується період Т пульсової хвилі шляхом визначення різниці Х11-Х1
та множення його на тривалість одного такту роботи АЦП.

T = (X11 - X1) Xt;

- оскільки тривалість такту t вимірюється в одиницях мілісекунд, то миттєва частота ударів пульсу за хвилину F визначається як

F = 60 000 / T

Оскільки результат обчислень F представлений у загальному двійковому форматі, відбувається його перетворення у двійково-десяткову форму, зручну для людського сприйняття, та вивід результату обчислень на дисплей, тобто запис кодів Семи-сегментних індикаторів у буферний ЗП контролера клавіатури та дисплея.

Але під час виконання роботи був знайдений більш ефективний метод для аналізу пульсової хвилі – вейвлет-аналіз, якому і присвячений наступний розділ.

3. СУТНІСТЬ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗУ

Вейвлет-перетвореня сигналів є узагальненням спектрального аналізу, типовий представник якого - класичне перетворення Фур'є. Застосовувані для цієї мети базиси названі вейвлетами. Термін “вейвлет” пішов від англійського wavelet, що на українську мову переводиться як “коротка хвиля''. У математичній літературі поняття “вейвлет” позначають іноді словом “сплеск”, що звужує саме поняття, тим більше, що вейвлети й призначені для аналізу сплесків - сигналів нестаціонарного характеру.

Введені порівняно недавно, в 80-х роках, вони в наступні роки одержали швидкий теоретичний розвиток і широке застосування в різних областях обробки сигналів і зображень. На відміну від традиційного перетворення Фур'є, вейвлет-перетворення забезпечує двовимірне подання досліджуваного сигналу в частотній області в площині частота-положення. Аналогом частоти при цьому є масштаб аргументу базисної функції (найчастіше часу), а положення характеризується її зрушенням. Це дозволяє розділити великі й дрібні деталі сигналів, одночасно локалізуючи їх на тимчасовій шкалі. Іншими словами вейвлет-аналіз можна охарактеризувати як локалізований спектральний аналіз або - спектральний аналіз локальних збурювань. Апаратурним аналогом одного з видів вейвлет-аналіза є багато канальна смугова фільтрація сигналу при постійному відношенні ширини смуги фільтра до центральної частоти.

Вейвлет-аналіз розроблений для рішення завдань, які виявилися занадто складними для традиційного аналізу Фур'є. Перетворення Фур'є представляє сигнал, заданий у тимчасовій області, у вигляді розкладання по ортогональних базисних функціях (синусам і косинусам) з виділенням частотних компонентів. Недолік перетворення Фур'є полягає в тому, що частотні компоненти не можуть бути локалізовані в часі, його застосовують тільки в аналізі стаціонарних сигналів, у той час як багато сигналів мають складні частотно-часові характеристики. Як правило, такі сигнали складаються із близьких за часом, коротких високочастотних компонентів і довгих, близьких по частоті низькочастотних компонентів. Для аналізу таких сигналів необхідний метод, здатний забезпечити одночасний дозвіл як по частоті, так і за часом. Перше необхідно для локалізації низькочастотних складових, друге - для виділення компонентів високої частоти. Існує два підходи до аналізу нестаціонарних сигналів такого типу. Перший заснований на локальному перетворенні Фур'є. Прямуючи цим шляхом, нестаціонарний сигнал зводиться до стаціонарного шляхом його попереднього розбиття на сегменти (фрейми), статистика яких не змінюється з часом. Другий підхід полягає у використанні вейвлет-перетворення.

Всім відомо, що будь-який сигнал можна розкласти в суму гармонік (синусоїд) різної частоти. Але синусоїдальні хвилі нескінченні, і не дуже добре відслідковують зміни сигналу в часі. Щоб вловити ці зміни, замість нескінченних хвиль можна взяти зовсім однакові, але розподілені за часом короткі "сплески". Однак, як виявилося, цього недостатньо, треба додати ще їхні стислі копії. От тепер сигнал можна розкласти на суму таких сплесків різного розміру й місця розташування. Коефіцієнти розкладу, які несуть інформацію про еволюції сигналу, залежать від вибору початкового сплеску. Для кожного прикладного завдання можна підібрати найбільш пристосований (саме для неї) сплеск, що і називається вейвлетом. Математична сторона вейвлет-аналіза – річ досить тонка, хоча й достатньо наочна[11].

4. АНАЛІЗ ВЕЙВЛЕТ-ПЕРТВОРЕННЯ. ПОРІВНЯННЯ З ФУР
’
Є-АНАЛІЗОМ

Протягом багатьох десятиліть і по теперішній час основним засобом аналізу реальних фізичних процесів був гармонійний аналіз. Математичною основою аналізу є перетворення Фур'є. Перетворення Фур'є розкладає довільний процес на елементарні гармонійні коливання з різними частотами, а всі необхідні властивості й формули виражаються за допомогою однієї базисної функції exp(j
w
t
) або двох дійсних функцій sin(w
t) і cos(w
t). Гармонійні коливання мають широке розповсюдження в природі, і тому зміст перетворення Фур'є інтуїтивно зрозумілий незалежно від математичної аналітики.

Перетворення Фур'є володіє рядом чудових властивостей. Оператор зворотного перетворення Фур'є збігається з вираженням для комплексно - сполученого оператора. Областю визначення перетворення є простір L2
інтегрувальних із квадратом функцій, і багато реальних фізичних процесів, спостережувані в природі, можна вважати функціями часу, що належать цьому простору. Для застосування перетворення розроблені ефективні обчислювальні процедури типу швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). Ці процедури входять до складу всіх пакетів прикладних математичних програм і реалізовані апаратно в різних процесорах обробки сигналів.

Вейвлетне перетворення має багато спільного з перетворенням Фур'є. У той же час є ряд досить істотних відмінностей.Як приклад розглянемо застосування вейвлет-аналіза до синусоїд f(t)=sin(2πt/T1
)+α sin(2πt/T2
) , що дозволяє легко порівняти з результатами звичайного перетворення Фур'є.

На рисунку 4.1 показаний сигнал у вигляді суми синусоїд, що відрізняються частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).

Рисунок 4.1 - Сума синусоїд , що відрізняються частотами

Вейвлет-перетворення такого сигналу виявляє періодичну структуру не гірше й не краще перетворення Фур'є. На рисунку 4.2 видні дві широких смуги, що відповідають двом різним частотам.

Рисунок 4.2 - Вейвлет перетворення суми синусоїд з різними частотами

Однак відмінність цих двох спектральних аналізів проявляється, коли сигнал являє собою дві послідовні синусоїди з різними частотами ( рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 - Дві послідовні в часі синусоїди з різними частотами

Як видно з рисунку 4.3 вейвлет-перетворення в цьому випадку дозволяє простежити еволюцію частоти сигналу в часі, тоді як Фур'є-спектр (рисунок 4.5) в обох випадках дасть нам тільки два піки й ніяк не відіб'є сам момент зміни частоти сигналу[12].

Рисунок 4.4 - Вейвлет-перетворення двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

Рисунок 4.5 - Спектр Фур'є двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

4.1
Перетворення Фур'є (ПФ)

В основі спектрального аналізу сигналів лежить інтегральне перетворення й ряди Фур'є. Нагадаємо деякі математичні визначення.

У просторі функцій, заданих на кінцевому інтервалі (0,T),
норма, як найбільш загальна числова характеристика довільної функції s(t),
по визначенню обчислюється як корінь квадратний зі скалярного добутку функції. У загальному випадку, для комплексних функцій, квадрат норми (енергія сигналу) відповідає виразу:

||s(t)||2
=
á
s(t), s(t)
ñ
= s(t)·s*
(t) dt,
(4.1.1)

де s
*
(
t
)
– функція, комплексно сполучена з s
(
t
).

Якщо норма функції має кінцеве значення (інтеграл сходиться), то говорять, що функція належить простору функцій L
2
[
R
],
R
=[0,
T
],
інтегрувальних із квадратом (простір Гильберта), і, відповідно, має кінцеву енергію. У просторі Гильберта на основі сукупності ортогональних функцій з нульовим скалярним добутком

á
v(t), w(t)
ñ
= v(t)·w*
(t) dt = 0
(4.1.2)

завжди може бути, створена система ортонормованих "осей" (базис простору), при цьому будь-який сигнал, що належить цьому простору, може бути представлений у вигляді вагової суми простих складових, проекцій сигналу на ці "осі" - базисних векторів. Значення проекцій визначаються скалярними добутками сигналу з відповідними функціями базисних "осей".

Базис простору може бути утворений будь-якою ортогональною системою функцій. Найбільше застосування в спектральному аналізі одержала система комплексних експонентних функцій. Проекції сигналу на даний базис визначаються виразом:

Sn
= (1/
T
)
s
(
t
)
exp
(-
jn
··
t
)
dt
,
n
Î
(-∞, ∞),
(4.1.3)

де =2/T –
частотний аргумент векторів. При відомих виразах базисних функцій сигнал s(t)
однозначно визначається сукупністю коефіцієнтів Sn
і може бути абсолютно точно відновлений (реконструйований) по цих коефіцієнтах:

s(t) =Sn
exp(jn·
Dw
·t).
(4.1.4)

Рівняння (4.1.3) і (4.1.4) називають прямим і зворотним перетворенням Фур'є сигналу s(t).
Таким чином, будь-яка функція гильбертова простору може бути представлена у вигляді комплексного ряду Фур'є (4.1.4), що називають спектральним представленням сигналу або його Фур'є-образом.

На практиці ряд Фур'є обмежується певною кількістю членів N.
Обмеження числа членів ряду значенням N
означає апроксимацію нескінченного сигналу N
- мірною системою базисних функцій спектра сигналу з певною погрішністю залежно від фактичного спектра сигналу. Ряд Фур'є рівномірно сходиться до s(t)
по нормі (4.1.1):

||s(t) -Sn
exp(jn
Dw
t)|| = 0.
(4.1.5)

Таким чином, ряд Фур'є - це розкладання сигналу s(t)
по базисі простору L2
(0,T)
ортонормированных гармонійних функцій exp(jn
Dw
t)
зі зміною частоти, кратним частоті першої гармоніки w
1
=
Dw
..
Звідси, ортонормований базис простору L2
(0,T)
побудований з однієї функції v(t) = exp(j
Dw
t) = cos(
Dw
t)+j·sin(
Dw
t)
за допомогою масштабного перетворення незалежної змінної так, що vn
(t) = v(nt).

Для коефіцієнтів ряду Фур'є справедлива рівність Парсеваля збереження енергії сигналу в різних представленнях:

(1/T) |s(t)|2
dt = |Sn
|2
.
(4.1.6)

Розклад в ряд Фур'є довільної функції y
(
t
)
коректно, якщо функція y
(
t
)
належить цьому ж простору L
2
(0,
T
),
тобто квадратично інтегрувальна з кінцевою енергією:

|y(t)|2
dt <
¥
, t
Î
(0,T),
(4.1. 7)

при цьому вона може бути періодично розширена й визначена на всій тимчасовій осі простору R(-
¥
,
¥
)
так, що

y(t) = y(t-T), t
Î
R,

за умови збереження кінцівки енергії в просторі R(-
¥
,
¥
).

З позицій аналізу довільних сигналів і функцій у частотній області й точному відновленні після перетворень можна відзначити ряд недоліків розкладання сигналів у ряди Фур'є, які привели до появи віконного перетворення Фур'є й стимулювали розвиток вейвлетного перетворення. Відзначимо основні з них:

· Обмежена інформативність аналізу нестаціонарних сигналів і практично повна відсутність можливостей аналізу їхніх особливостей (сингулярностей), тому що в частотній області відбувається «розмазування» особливостей сигналів (розривів, сходів, піків і т.п.) по всьому частотному діапазоні спектра.

· Гармонійні базисні функції розкладу не здатні в принципі відображати перепади сигналів з нескінченною крутістю типу прямокутних імпульсів, тому що для цього потрібно нескінченно велика кількість членів ряду. При апроксимації стрибків нелокалізованими в часі базисними функціями необхідно, щоб суперпозиція цих функцій не тільки відновила стрибок, але й знищила один одного за межами стрибка, що робить рівнозначними всі компоненти його спектра. При обмеженні числа членів ряду Фур'є на околицях стрибків і розривів відновленого сигналу виникають осцилляции (явище Гіббса).

· Перетворенням Фур'є відображаються глобальні відомості про частоти досліджуваного сигналу, оскільки базисні функції перетворення визначені на нескінченному тимчасовому інтервалі. ПФ не дає представлення про локальні властивості сигналу при швидких тимчасових змінах його спектрального складу. Так, наприклад, перетворення Фур'є не розрізняє сигнал із сумою двох синусоїд. Перетворення Фур'є в принципі не має можливості аналізувати частотні характеристики сигналу в довільні моменти часу.

4.2
Віконне перетворення Фур'є

Частковим виходом із цієї ситуації є так зване віконне перетворення Фур'є з віконною функцією, що рухається по сигналі, що має компактний носій. Повний часовий інтервал сигналу, особливо при великій його тривалості, розділяється на підінтервали, і перетворення Фур'є виконується послідовно для кожного вікна окремо. Тим самим здійснюється перехід до частотно-тимчасового (частотно-координатному) поданню сигналів і результатом віконного перетворення є сімейство спектрів, яким відображається зміна спектра сигналу по інтервалах зрушення вікна перетворення. Це якоюсь мірою дозволяє виділяти на координатній осі й аналізувати особливості нестаціонарних сигналів. Розмір носія віконної функції w(t)
звичайно встановлюється порівнянним з інтервалом стаціонарності сигналу. Власне кажучи, таким перетворенням один нелокалізований базис розбивається на певну кількість базисів, локалізованих у межах функції w(t),
що дозволяє представляти результат перетворення у вигляді функції двох змінних - частоти й тимчасового положення вікна. Віконне перетворення виконується відповідно до виразу:

S
(
w
,
bk
) =
s
(
t
)
w
(
t
-
bk
)
exp
(-
j
w
t
)
dt
.
(4.2.8)

Функція w
(
t
-
b
)
являє собою функцію вікна зрушення перетворення по координаті t
, де параметром b
задаються фіксовані значення зрушення. При зрушенні вікон з рівномірним кроком bk
=
k
D
b
.
В якості вікна перетворення може використовуватися як найпростіше прямокутне вікно ( w
(
t
)=1
у межах вікна й 0
за його границями), так і спеціальні вагові вікна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера та ін.), що забезпечують малі перекручування спектра за рахунок граничних умов вирізки віконних відрізків сигналів і нейтралізуюче явище Гіббса.

4.3
Приклад віконного перетворення

Приклад віконного перетворення для нестаціонарних сигналів на великому рівні шуму наведений на рисунку , наведеного у додатку А. По спектрі сигналу в цілому можна судити про наявність у його складі гармонійних коливань на трьох частотах. Віконне перетворення не тільки підтверджує даний висновок, але й показує конкретну локальність коливань по інтервалі сигналу й співвідношення між амплітудами цих коливань.

Координатна розв'язна здатність віконних перетворень визначається шириною віконної функції й, у силу принципу невизначеності Гейзенберга, обернено пропорційна частотній розв'язній здатності. При ширині віконної функції, рівної b, частотна розв'язна здатність визначається значенням Dw
= 2
p
/
b
. При необхідній величині частотного дозволу Dw
відповідно ширина віконної функції повинна, бути дорівнює b
= 2
p
/
Dw
.
Для віконних перетворень Фур'є ці обмеження є принциповими. При розмірі масиву даних N
= 300
і ширині віконної функції D
b