Министерство образования и науки Российской Федерации
Тольяттинский филиал Московского государственного университета пищевых производств
Кафедра Менеджмента пищевых производств
Курсовая работа
по дисциплине «Методы и средства измерений, испытаний и контроля»
на тему «Разработка программы определительных испытаний»
Студентка группы:
Преподаватель:
Тольятти 2008
Содержание
Введение
1 Разработка программы испытаний
1.1Общие положения
1.2 Объект испытаний
1.3 Цель испытаний
1.4 Место проведения и обеспечения испытаний
1.5 Объем и методика испытаний
1.6 Обработка результатов испытаний
1.6.1 Постановка задачи
1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки
1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей
1.6.5 Определение показателей надежности объекта испытаний
1.6.6 Протокол испытаний
2 Пример обработки результатов испытаний для восстанавливаемого объекта испытаний
2.1 Постановка задачи
2.2 Вычисление основных характеристик выборки
2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей
2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний
Заключение
Список использованных источников
Введение
Испытанием – это экспериментальное определение количественных и качественных характеристик свойств объекта как результата воздействия на него при его функционировании или моделировании.
Испытания опытных образцов, установочных и первых промышленных партий, контрольные периодические испытания серийной продукции – это основа построения всей системы разработки и постановки продукции на производство.
Постоянное повышение требований к качеству выпускаемой продукции, рост сложности современной техники, создание новых видов продукции с использованием последних достижений науки и техники определили значительное расширение видов испытаний, увеличение их сложности и трудоемкости.
Испытания являются неотъемлемой частью взаимоотношений заказчика и изготовителя продукции, предприятия-изготовителя конечной продукции и предприятий-смежников, поставщика и потребителя при внутреннем и международном товарообмене.
Все испытания по своему назначению разделяют на четыре группы: исследовательские, контрольные, сравнительные и определительные.
Целью данной курсовой работы является определение реального уровня надежности выбранного объекта испытаний – электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40, предназначенный для привода различных бытовых приборов.
1. Разработка программы испытаний
Программа испытаний – это обязательный для выполнения организационно-методический эксперимент.
Программа устанавливает цели испытаний, объект испытаний, объем и методику проводимых экспериментов, порядок, условия, место и сроки проведения испытаний, ответственность за обеспечение и проведение испытаний, ответственность за оформление протоколов и отчетов по испытаниям.
Немаловажную роль в программе испытаний играет план проведения испытаний. В плане указываются работы необходимые для проведения испытаний, изготовления образцов, приемка образцов, измерение и определение параметров образцов объекта испытаний, подготовка испытательного оборудования, оформление результатов испытаний, согласование утверждения протокола испытаний и др.
Основной задачей определительных испытаний является определение характеристик изделия или материала. Существенным является правильно сформулировать цели испытания.
Цель испытания раскрывает его назначение, которое должно отображаться в наименовании испытаний.
1.1 Общие положения
Настоящая программа испытаний составлена на основании следующих нормативно-технических документов:
- ГОСТ 27.410-87 «Методы контроля показателей надежности и планы контрольных испытаний на надежность»;
- ГОСТ 11828-86 «Машины электрические вращающиеся. Общие методы испытаний»;
- ГОСТ 10159—79 «Машины электрические вращающиеся коллекторные. Методы испытаний»
1.2 Объект испытаний
Главным признаком объекта испытаний является то, что по результатам его испытаний принимается то или иное решение, а именно его годность или выбраковывание, предъявление на следующие испытания, возможность серийного выпуска и т.д.
Объектом испытаний является электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.
Таблица 1 – Габаритные установочные и присоединительные размеры электродвигателей
№ |
Наименование параметра | Тип двигателя |
| ДК 60 - 40 - 15 УХЛ4 | ||
| 1 | Напряжение питания, В | 220±22 |
| 2 | Частота питания, Гц | 50±1 |
| 3 | Вращаюший момент, Нхм | 0,026±0,003 |
| 4 | Частота вращения, об./мин. | +3000 15000 -1500 |
| 5 | Ток, А не более | 0,48 |
| 6 | Коэффициент полезного действия, % | 45 -6,8 |
| 7 | Масса двигателя, кг не более | 0,35 |
| 8 | Lmax, мм | 90 |
| 9 | L1, мм | 19,5 |
| 10 | L2, мм | 4,5+0,5 |
| 11 | d, мм | 4-0,012 |
| 12 | Средняя наработка до отказа, не менее, ч | 100 |
| 13 | Средний срок службы двигателя, не менее, лет | 10 |
Электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40 применяется для привода кофемолок и других бытовых приборов.
1.3 Цель испытаний
Целью испытаний является определение фактических показателей надежности объекта исследования, таких как: среднее время безотказной работы T(средняя наработка до отказа), вероятность безотказной работы объекта в течение времени P(t), вероятность отказа Q(t), плотность распределения времени до отказа f(t), интенсивность отказа λ(t) в момент времениt.
1.4 Место проведения и обеспечение испытаний
Испытательный центр ОАО «ПЭМЗ», аккредитованный Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии для проведения испытаний с целью сертификации.
1.5 Объем и методика испытаний
Испытания проводятся по плану [NUN], согласно которому испытывают одновременно N=100
объектов, отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло N
=100.
1.6 Обработка результатов испытаний
1.6.1 Постановка задачи
Требуется определить показатели надежности объекта испытаний по опытным данным определительных испытаний.
На испытания поставлено N = 100 объектов. Моменты отказов объекта испытаний представлены в таблице 2. Все объекты работают до своего отказа и после отказа не ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели надежности объекта: T
, P
(
t
),
Q
(
t
)
, f
(
t
)
, λ(
t
).
Таблица 2 –
Моменты отказов объектов, в часах
| 350 | 244 | 69 | 234 | 145 | 196 | 389 | 23 | 251 | 127 |
| 226 | 118 | 219 | 204 | 120 | 180 | 406 | 182 | 74 | 240 |
| 206 | 257 | 181 | 104 | 130 | 341 | 245 | 9 | 226 | 161 |
| 147 | 71 | 219 | 361 | 162 | 112 | 67 | 182 | 34 | 76 |
| 143 | 60 | 119 | 190 | 281 | 437 | 226 | 307 | 41 | 148 |
| 228 | 37 | 296 | 51 | 254 | 44 | 190 | 143 | 795 | 117 |
| 191 | 14 | 392 | 157 | 16 | 203 | 89 | 346 | 303 | 40 |
| 377 | 319 | 258 | 37 | 68 | 235 | 385 | 128 | 111 | 640 |
| 136 | 224 | 174 | 601 | 35 | 71 | 345 | 132 | 197 | 35 |
| 331 | 83 | 97 | 178 | 328 | 194 | 110 | 120 | 106 | 109 |
1.6.2 Вычисление основных характеристик выборки
Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности является: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшие и наибольшие значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.
Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.
Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например А1:J10.
Значения вычисляемых характеристик будет располагаться в ячейках F12 по F19.
Таблица 3 – Расчет выборочных характеристик
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
|||
| 1
|
99 | 91 | 104 | 114 | 97 | 91 | 99 | 101 | 99 | 95 | ||
| 2
|
109 | 98 | 119 | 84 | 102 | 120 | 107 | 97 | 110 | 102 | ||
| 3
|
88 | 99 | 99 | 104 | 103 | 110 | 96 | 85 | 109 | 89 | ||
| 4
|
79 | 100 | 111 | 103 | 89 | 92 | 109 | 99 | 91 | 86 | ||
| 5
|
100 | 90 | 102 | 91 | 89 | 95 | 98 | 87 | 117 | 100 | ||
| 6
|
95 | 98 | 97 | 107 | 90 | 112 | 85 | 101 | 94 | 87 | ||
| 7
|
99 | 93 | 104 | 90 | 90 | 109 | 89 | 95 | 102 | 88 | ||
| 8
|
100 | 98 | 93 | 104 | 107 | 98 | 104 | 112 | 100 | 105 | ||
| 9
|
115 | 113 | 94 | 110 | 93 | 94 | 82 | 100 | 94 | 102 | ||
| 10
|
90 | 94 | 102 | 110 | 90 | 99 | 93 | 87 | 115 | 97 | ||
| 11
|
||||||||||||
| 12
|
Выборочное среднее | 98,68 | ||||||||||
| 13
|
Выборочная дисперсия | 76,86626 | ||||||||||
| 14
|
Выборочное ср. квадр. отклонение | 8,767341 | ||||||||||
| 15
|
Наименьшее значение | 79 | ||||||||||
| 16
|
Наибольшее значение | 120 | ||||||||||
| 17
|
Размах выборки | 41 | ||||||||||
| 18
|
Асимметрия | 0,282254 | ||||||||||
| 19
|
Эксцесс | -0,38419 | ||||||||||
Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:
- выборочное среднее F12 = СРЗНАЧ (A1:J10);
- выборочная дисперсия F13 = ДИСП (A1:J10);
- выборочное среднее квадратическое отклонение
F14 = СТАНДОТКЛОН (A1:J10) или F14 = КОРЕНЬ (F13);
- Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:J10);
- Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:J10);
- Размах выборки: F17 = F16-F15;
- Асимметрия: F18 = СКОС(A1:J10);
- Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:J10).
1.6.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Числовая ось при этом разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:
наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее – в большую сторону до «хороших» чисел хmin
и хmax
;
выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству; иногда оно определяется по формуле k=[5lgn]. Если объем выборки n=100, то k=10;
находится шаг по формуле:
,
где R = хmax
- хmin
– длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;
определяются границы частичных интервалов:
а0
= х
min
, а1
= а0
+
h
,
a
2
=
a
1
+
h
, … ,
ak
=
ak
-1
+
h
= х
max
;
в каждом интервале вычисляются средние значения
;
для каждого интервала [ai
-1
,ai
], i = 1,2, …,k находятся:
– частоты ni
, т.е. число выборочных значений, попавших в интервал;
– относительные частоты ;
– накопленные частоты wi
=
n
1
+
n
2
+ … +
ni
;
– накопленные относительные частоты .
Для выборочной совокупности (таблица 2) результаты группировки представим в таблице 4. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:
А22 = 100, В22 = 120, С22 = 70, D22 = B22 – C22, E22 = 10, F22 = D22/E22.
В ячейках А24:H24 укажем заголовки будущей таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить соответствующими формулами, представленными выше, для определения границ интервалов. Колонку D заполним по формуле: D30 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.
Таблица 4 – Группировка статистических данных
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
|
| n
|
Xmax
|
Xmin
|
R
|
k
|
h
|
|||
| 22
|
100 | 120 | 70 | 50 | 10 | 5 | ||
| 23
|
||||||||
| 24
|
Группа | Левая граница | Правая граница | Середина | Частота | Относ. частота | Накоп. частота | Накоп. относ. частота |
| 25
|
1 | 70 | 75 | 72,5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 26
|
2 | 75 | 80 | 77,5 | 1 | 0,01 | 1 | 0,01 |
| 27
|
3 | 80 | 85 | 82,5 | 4 | 0,04 | 5 | 0,05 |
| 28
|
4 | 85 | 90 | 87,5 | 16 | 0,16 | 21 | 0,21 |
| 29
|
5 | 90 | 95 | 92,5 | 18 | 0,18 | 39 | 0,39 |
| 30
|
6 | 95 | 100 | 97,5 | 24 | 0,24 | 63 | 0,63 |
| 31
|
7 | 100 | 105 | 102,5 | 16 | 0,16 | 79 | 0,79 |
| 32
|
8 | 105 | 110 | 107,5 | 11 | 0,11 | 90 | 0,9 |
| 33
|
9 | 110 | 115 | 112,5 | 7 | 0,07 | 97 | 0,97 |
| 34
|
10 | 115 | 120 | 117,5 | 3 | 0,03 | 100 | 1 |
Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:J10; C25:C34)}
Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.
Колонку F заполним с помощью формулы:
F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34
Колонку G заполним с помощью формулы:
G25 = E25, G26 = G25 + E26, с последующим копированием в ячейки G32:G39
Колонку H заполним с помощью формулы:
H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34
Данные, собранные в таблице 4 наглядно представим с помощью:
полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 1).
Рисунок 1 – Полигон частот
кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 2).
Рисунок 2 – Кумулята частот
1.6.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей
Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как экспоненциальное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.
Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно гамма-распределение.
Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 5).
Определим параметры экспоненциального (λ), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение) и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:
, ,
B5 = 1/A2;
B8 = A2;
B9 = B2;
B12 = (A2/B2)^2;
B13 = B2^2/A2.
Таблица 5 – Значения плотностей распределения
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
| 1
|
Матем. ожидание | Ср. кв. отклон. | |||
| 2
|
98,68 | 8,767340682 | |||
| 3
|
|||||
| 4
|
Параметры экспоненциального распределения | ||||
| 5
|
λ | 0,0101 | |||
| 6
|
|||||
| 7
|
Параметры нормального распределения | ||||
| 8
|
m
|
98,6800 | |||
| 9
|
σ | 8,767340682 | |||
| 10
|
|||||
| 11
|
Параметры гамма-распределения | ||||
| 12
|
α | 126,6842 | |||
| 13
|
β | 0,7789 | |||
| 14
|
|||||
| 15
|
Середина | Плотность относит. частот | Плотность экспоненц. распред. | Плотность нормал. распред. | Плотность гамма- распред. |
| 16
|
72,5000 | 0 | 0,0049 | 0,0005 | 0,0003 |
| 17
|
77,5000 | 0,002 | 0,0046 | 0,0025 | 0,0019 |
| 18
|
82,5000 | 0,008 | 0,0044 | 0,0083 | 0,0080 |
| 19
|
87,5000 | 0,032 | 0,0042 | 0,0202 | 0,0213 |
| 20
|
92,5000 | 0,036 | 0,0040 | 0,0355 | 0,0374 |
| 21
|
97,5000 | 0,048 | 0,0038 | 0,0451 | 0,0456 |
| 22
|
102,5000 | 0,032 | 0,0036 | 0,0414 | 0,0399 |
| 23
|
107,5000 | 0,022 | 0,0034 | 0,0274 | 0,0259 |
| 24
|
112,5000 | 0,014 | 0,0032 | 0,0131 | 0,0128 |
| 25
|
117,5000 | 0,006 | 0,0031 | 0,0045 | 0,0049 |
В ячейках В16:В25 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 4.
Плотности экспоненциального, нормального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С16 = ЭКСПРАСП (А16;$B$5;ЛОЖЬ);
D16 = НОРМРАСП (А16;$B$8;$B$9;ЛОЖЬ);
E16 = ГАММАРАСП (А16;$B$12;$B$13;ЛОЖЬ).
Затем копируем их в блок ячеек С17:Е25.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 3- 5.
Рисунок 3 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Рисунок 4 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 5 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Используя критерий χ2
, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются нормальному распределению.
Для применения критерия χ2
необходимо, чтобы частоты ni
, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi
– теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai
-1
,ai
].
Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi
= F(ai
) – F(ai
-1
).
Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для экспоненциального распределения:
D31 = ЭКСПРАСП (B31; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А31; $B$5; ИСТИНА);
Для нормального распределения:
D40 = НОРМРАСП (В40; $B$8; $B$9; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А40; $B$8; $B$9; ИСТИНА);
Для гамма-распределения:
D49 = ГАММАРАСП (В49; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А49; $B$12; $B$13$ ИСТИНА).
В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е31 = (С31-100*В31)^2/(100*D31), которая копируется в другие ячейки колонки Е.
После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е38 = СУММ(E34:E39);
Е47 = СУММ(E42:E47);
Е56 = СУММ(Е50:Е55).
Которые равны соответственно 659,6862; 5,2199 и 3,8740.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2
выч
достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2
кр
, которое определяется по распределению χ2
в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’
– s – 1. где k’
– количество интервалов после объединения; s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 2
Критическое значение рассчитывается по формуле:
Е57 = ХИ2ОБР(0,05;4), из таблицы 6 видно, оно равно 9,4877.
Поскольку 5,2199<9,4877, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрами α = = 98,68и σ = 8,7673 соответственно.
Таблица 6 – Подбор распределения на основе критерия χ2
| А
|
B
|
С
|
D
|
E
|
|
| 29
|
Левая граница | Правая граница | Частота | Вероятности | χ² |
| 30
|
Экспоненциальное распределение | ||||
| 31
|
70 | 85 | 5 | 0,069374468 | 0,5411 |
| 32
|
85 | 90 | 16 | 0,020878363 | 92,7028 |
| 33
|
90 | 95 | 18 | 0,019846835 | 129,2349 |
| 34
|
95 | 100 | 24 | 0,018866271 | 259,1934 |
| 35
|
100 | 105 | 16 | 0,017934153 | 112,5378 |
| 36
|
105 | 110 | 11 | 0,017048088 | 50,6805 |
| 37
|
110 | 120 | 10 | 0,031610928 | 14,7957 |
| 38
|
Сумма | 659,6862 | |||
| 39
|
Нормальное распределение | ||||
| 40
|
70 | 85 | 5 | 0,058804812 | 0,1318 |
| 41
|
85 | 90 | 16 | 0,101737571 | 3,3365 |
| 42
|
90 | 95 | 18 | 0,176260064 | 0,0079 |
| 43
|
95 | 100 | 24 | 0,222500256 | 0,1376 |
| 44
|
100 | 105 | 16 | 0,204663183 | 0,9747 |
| 45
|
105 | 110 | 11 | 0,137173828 | 0,5383 |
| 46
|
110 | 120 | 10 | 0,090811892 | 0,0930 |
| 47
|
Сумма | 5,2199 | |||
| 48
|
Гамма-распределение | ||||
| 49
|
70 | 85 | 5 | 0,053672643 | 0,0251 |
| 50
|
85 | 90 | 16 | 0,107072418 | 2,6163 |
| 51
|
90 | 95 | 18 | 0,185399233 | 0,0157 |
| 52
|
95 | 100 | 24 | 0,224931406 | 0,1009 |
| 53
|
100 | 105 | 16 | 0,197757868 | 0,7209 |
| 54
|
105 | 110 | 11 | 0,129724735 | 0,2999 |
| 55
|
110 | 120 | 10 | 0,090713209 | 0,0951 |
| 56
|
Сумма | 3,8740 | |||
| 57
|
Критическое значение критерия | 9,4877 | |||
1.6.5 Определение характеристик надежности системы
После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим характеристики надежности системы. Ббыло установлено, что случайная величина имеет плотность распределения
Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются вероятность безотказной работы, и вероятность отказа в течение времени t
.
Данные характеристики вычисляются по формулам:
В64 = 1 - НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ИСТИНА);
С64 = 1 - В64;
Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:
D64 = НОРМРАСП (А64; $B$8; $B$9; ЛОЖЬ);
E64 = D64/B64.
Далее скопируем формулы в ячейки В64:В74, С64:С74, D64:D74, E64:E74 соответственно.
В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 7) и построены их графики (рисунки 6,7,8).
Таблица 7 – Значения показателей надежности объекта испытаний
| А
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
| 63
|
t | P(t) | Q (t) | f (t) | λ (t) |
| 6
4 |
63,611 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 6
5 |
74,000 | 0,998 | 0,002 | 0,001 | 0,001 |
| 6
6 |
84,000 | 0,953 | 0,047 | 0,011 | 0,012 |
| 6
7 |
94,000 | 0,703 | 0,297 | 0,039 | 0,056 |
| 6
8 |
104,000 | 0,272 | 0,728 | 0,038 | 0,139 |
| 6
9 |
114,000 | 0,040 | 0,960 | 0,010 | 0,245 |
| 70
|
124,000 | 0,002 | 0,998 | 0,001 | 0,363 |
| 71
|
134,000 | 0,000 | 1,000 | 0,000 | 0,485 |
Рисунок 6 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа
Рисунок 7 – График плотности распределения вероятности
Рисунок 8 – График интенсивности отказа
1.6.6 Протокол испытаний
ИСПЫТАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
«ПЭМЗ-электро»
аттестат № РОСС RU.0004.13ЛРН02
| 445030. Тольятти, ул. Свердлова 19
|
телефон (8482) 33-77-88
|
e-mail: pemz-elektro@tlt.ru
|
ПРОТОКОЛ ИСПЫТАНИЙ № 13
ЗАКАЗЧИК:
ОАО «Старт», 445028, г. Тольятти, ул. Революционная 72а.
ПРОИЗВОДИТЕЛЬ ПРОДУКЦИИ:
ООО «Электротех», г. Самара, ул. Новосадовая 3.
ВИД ИСПЫТАНИЯ:
Определение фактических показателей надежности электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40.
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИЙ:
10.09.2008 г. – 25. 12. 2008 г.
ДОГОВОР №:
По заявке от 01.09.2008 г.
ТЕКСТ:
2 стр.
ЦЕЛЬ ИСПЫТАНИЯ:
Определение реального уровня надежности у предъявляемых объектов по опытным данным определительных испытаний.
ОТБОР ОБРАЗЦОВ:
Дата отбора: 15.09.2008 г.
Место отбора: склад
Другие сведения: отбор образцов и их подготовка к испытаниям по ГОСТ Р 11828-86.
ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦОВ:
Вид продукции: электродвигатель однофазный коллекторный переменного тока типа ДК 60 – 40.
Другие сведения: средняя наработка до отказа не менее 90 ч.
МЕТОДИКА ИСПЫТАНИЙ:
Испытания проводились по плану [NUN], согласно которому испытывались одновременно 100 объектов, отказавшие во время испытаний объекты не подлежали восстановлению и не заменялись, испытания прекращались, когда число отказавших объектов достигло также 100.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ:
Значения показателей надежности объекта испытаний приведены в таблице.
| t | P(t) | Q (t) | f (t) | λ (t) |
| 63,611 | 1,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
| 74,000 | 0,998 | 0,002 | 0,001 | 0,001 |
| 84,000 | 0,953 | 0,047 | 0,011 | 0,012 |
| 94,000 | 0,703 | 0,297 | 0,039 | 0,056 |
| 104,000 | 0,272 | 0,728 | 0,038 | 0,139 |
| 114,000 | 0,040 | 0,960 | 0,010 | 0,245 |
| 124,000 | 0,002 | 0,998 | 0,001 | 0,363 |
| 134,000 | 0,000 | 1,000 | 0,000 | 0,485 |
Заключение:
Результаты испытаний: электродвигатели соответствуют требованиям по средней продолжительности горения.
Руководитель ИЦ «ПЭМЗ-электро» Д.В. Айдаров
Руководитель группы испытаний ИЦ «ПЭМЗ-электро» А. А. Телепова
2. Пример обработки результатов испытаний для невосстанавливаемого объекта испытаний
Постановка задачи
На испытаниях находится N
= 56 объектов с восстановлением. В течение периода Т
= 600 часов регистрируются моменты времени отказов элементов (таблица 8). Предполагается, что отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности элементами. Требуется определить показатели надежности элемента, характеризующие время его работы между соседними отказами: Т,
P
(
t
),
Q
(
t
)
, f
(
t
), λ(
t
).
Испытания проводятся по плану [NRT], согласно которому одновременно начинают испытания N=56 объектов, отказавшие во время испытаний объекты заменяют новыми, испытания прекращают при истечении времени испытаний или наработки T.
Обработка статистических данных предусматривает их группировку в 10 частичных интервалах (классах). Уровень значимости принять равным 0,05.
Таблица 8 – Время между отказами элементов
| Номер элемента | Моменты отказа на периоде времени 600 часов |
| 1 | 104; 93; 107; 118; 89; 86 |
| 2 | 86; 98; 116; 82; 110; 103 |
| 3 | 106; 112; 94; 83; 98; 91 |
| 4 | 94; 106; 102; 107; 89; 91 |
| 5 | 117; 96; 103; 117; 83 |
| 6 | 94; 92; 107; 108; 106 |
| 7 | 90; 96; 84; 107; 99; 99 |
| 8 | 104; 106; 99; 103; 94; 82 |
| 9 | 99;95; 106; 119; 111 |
| 10 | 109; 118; 104; 95; 98 |
2.2 Вычисление основных характеристик выборки
Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.
Значения вычисляемых характеристик расположим в ячейках с F12 по F19, как показано в таблице 9.
Таблица 9 – Расчет выборочных характеристик
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
| 1
|
104 | 93 | 107 | 118 | 89 | 86 |
| 2
|
86 | 98 | 116 | 82 | 110 | 103 |
| 3
|
106 | 112 | 94 | 83 | 98 | 91 |
| 4
|
94 | 106 | 102 | 107 | 89 | 91 |
| 5
|
117 | 96 | 103 | 117 | 83 | |
| 6
|
94 | 92 | 107 | 108 | 106 | |
| 7
|
90 | 96 | 84 | 107 | 99 | 99 |
| 8
|
104 | 106 | 99 | 103 | 94 | 82 |
| 9
|
99 | 95 | 106 | 119 | 111 | |
| 10
|
109 | 118 | 104 | 95 | 98 | |
| 11
|
||||||
| 12
|
Выборочное среднее | 100,0892857 | ||||
| 13
|
Выборочная дисперсия | 100,7373377 | ||||
| 14
|
Выборочное ср. квадр. отклонение | 10,03679917 | ||||
| 15
|
Наименьшее значение | 82 | ||||
| 16
|
Наибольшее значение | 119 | ||||
| 17
|
Размах выборки | 37 | ||||
| 18
|
Асимметрия | 0,012585618 | ||||
| 19
|
Эксцесс | -0,711512555 | ||||
Вычислим числовые характеристики выборочной совокупности по формулам:
Выборочное среднее: F12 = CРЗНАЧ(A1:F10);
Выборочная дисперсия: F13 = ДИСП(A1:F10);
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
F14 = СТАНДОТКЛОН(A1:F10);
Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:F10);
Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:F10);
Размах выборки: F17 = F16-F15;
Асимметрия: F18 = СКОС(A1:F10);
Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:F10).
2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Группировка данных производится в той же последовательности, что и в пункте 1.6.2 данной работы.
Для выборочной совокупности (таблица 8) результаты группировки представим в таблице 10. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:
А22 = 56, В22 =120, С22 = 80, D22 = B22 – C22, E22 =10, F22 = D22/E22
В этой таблице колонки В и С заполним левыми и правыми границами соответственно. Колонку D заполним по формуле:
D25 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.
Таблица 10 – Группировка статистических данных
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
|
| 2
1 |
n
|
Xmax
|
Xmin
|
R
|
k
|
h
|
||
| 2
2 |
56 | 120 | 80 | 40 | 10 | 4 | ||
| 2
3 |
||||||||
| 2
4 |
Группа | Левая граница | Правая граница | Середина | Частота | Относ. частота | Накоп. частота | Накоп. относ. частота |
| 2
5 |
1 | 80 | 84 | 82 | 5 | 0,0892 | 5 | 0,0892 |
| 2
6 |
2 | 84 | 88 | 86 | 2 | 0,0357 | 7 | 0,125 |
| 27
|
3 | 88 | 92 | 90 | 6 | 0,1071 | 13 | 0,2321 |
| 28
|
4 | 92 | 96 | 94 | 9 | 0,1607 | 22 | 0,3928 |
| 29
|
5 | 96 | 100 | 98 | 7 | 0,125 | 29 | 0,5178 |
| 30
|
6 | 100 | 104 | 102 | 7 | 0,125 | 36 | 0,6428 |
| 31
|
7 | 104 | 108 | 106 | 10 | 0,1785 | 46 | 0,8214 |
| 32
|
8 | 108 | 112 | 110 | 4 | 0,0714 | 50 | 0,8928 |
| 33
|
9 | 112 | 116 | 114 | 1 | 0,0178 | 51 | 0,9107 |
| 34
|
10 | 116 | 120 | 118 | 5 | 0,0892 | 56 | 1 |
Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:F10; C25:C34)}
Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.
Колонку F заполним с помощью формулы:
F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34
Колонку G заполним с помощью формулы:
G25 = E25, G26 = G25 + E26 с последующим копированием в ячейки G27:G34
Колонку H заполним с помощью формулы:
H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34
Данные, собранные в таблице 10 наглядно представим с помощью:
полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 9).
Рисунок 9 – Полигон частот
кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 10).
Рисунок 10 – Кумуляты частот
2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей
Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.
Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.
Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).
Определим параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:
, , , ,
B5 = 1/A2;
B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);
B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);
B12 = (A2/B2)^2;
B13 = B2^2/A2;
B16 = (A2/B2)^2;
B17 = B2^2/A2.
Таблица 11 – Значения плотностей распределения
| A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
|
| 1
|
Матем. ожидание | Ср. кв. отклон. | ||||
| 2
|
100,0892 | 10,0367 | ||||
| 3
|
||||||
| 4
|
Параметры экспоненциального распределения | |||||
| 5
|
λ | 0,0100 | ||||
| 6
|
||||||
| 7
|
Параметры равномерного распределения | |||||
| 8
|
а
|
82,7050 | ||||
| 9
|
b
|
117,4735 | ||||
| 10
|
||||||
| 11
|
Параметры нормального распределения | |||||
| 12
|
m
|
100,0893 | ||||
| 13
|
σ | 10,0367 | ||||
| 14
|
||||||
| 15
|
Параметры гамма-распределения | |||||
| 16
|
α | 99,4454 | ||||
| 17
|
β | 1,0065 | ||||
| 18
|
||||||
| 19
|
Середина | Плотность относит. частот | Плотность экспоненц. распред. | Плотность нормал. распред. | Плотность гамма- распред. | Плотность равномер. распред. |
| 20
|
82 | 0,0223 | 0,0044 | 0,0078 | 0,0076 | 0 |
| 21
|
86 | 0,0089 | 0,0042 | 0,0148 | 0,0156 | 0,0287 |
| 22
|
90 | 0,0267 | 0,0041 | 0,0240 | 0,0257 | 0,0287 |
| 23
|
94 | 0,0401 | 0,0039 | 0,0331 | 0,0349 | 0,0287 |
| 24
|
98 | 0,0312 | 0,0038 | 0,0389 | 0,0397 | 0,0287 |
| 25
|
102 | 0,0312 | 0,0036 | 0,0390 | 0,0383 | 0,0287 |
| 26
|
106 | 0,0446 | 0,0035 | 0,0334 | 0,0317 | 0,0287 |
| 27
|
110 | 0,0178 | 0,0033 | 0,0244 | 0,0229 | 0,0287 |
| 28
|
114 | 0,0044 | 0,0032 | 0,0152 | 0,0145 | 0,0287 |
| 29
|
118 | 0,0223 | 0,0031 | 0,0081 | 0,0081 | 0 |
В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.
Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);
D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);
E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).
F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));
Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.
Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Используя критерий χ2
, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).
Для применения критерия χ2
необходимо, чтобы частоты ni
, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Для этого при необходимости объединим рядом стоящие интервалы, а их частоты суммируем. Далее вычислим следующую сумму:
,
где pi
– теоретическая вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [ai
-1
,ai
].
Предположим, что случайная величина t имеет функцию распределения F(t), поэтому pi
= F(ai
) – F(ai
-1
).
Образец расчетов по предыдущей формуле для трех распределений представлен в таблице 6.
В колонке А содержатся левые, а в колонке В – праве границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения.
Для экспоненциального распределения:
D35 = ЭКСПРАСП (B35; $B$5; ИСТИНА) – ЭКСПРАСП (А35; $B$5; ИСТИНА);
Для равномерного распределения:
D65 = ЕСЛИ (B65<$B$8; 0; ЕСЛИ (B65<=$B$9; (B24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1)) – ЕСЛИ (A24<$B$8; 0; ЕСЛИ (A24<=$B$9; (A24-$B$8) / ($B$6-$B$9); 1));
Для нормального распределения:
D45 = НОРМРАСП (В45; $B$12; $B$13; ИСТИНА) – НОРМРАСП (А45; $B$12; $B$13; ИСТИНА);
Для гамма-распределения:
D55 = ГАММАРАСП (В55; $B$16; $B$17; ИСТИНА) – ГАММАРАСП (А55; $B$16; $B$17; ИСТИНА).
В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения по формуле:
Е35 = (С35-56*D35)^2/(56*D35), которая копируется в другие ячейки колонки Е.
После чего для каждого рассмотренного распределения определим итоговые суммы:
Е43 = СУММ(E35:E42);
Е53 = СУММ(E45:E52);
Е63 = СУММ(Е55:Е62);
Е73 = СУММ(Е65:Е72).
Которые равны соответственно 349,8344; 14,8995; 15,1459; 16,7324.
Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение χ2
выч
достаточно мало, а именно не превосходит критического значения χ2
кр
, которое определяется по распределению χ2
в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы r=k’
– s – 1.
где k’
– количество интервалов после объединения;
s – число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке.
В данном примере r = 7 – 2 – 1 = 5
Критическое значение рассчитывается по формуле:
Е74 = ХИ2ОБР(0,05;5), из таблицы 12 видно, оно равно 16,7496.
Поскольку 16,7324<16,7496, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют равномерное распределение с параметрами a = 82,7050 и b = 117,4735 соответственно.
Таблица 12 – Подбор распределения на основе критерия χ2
| А
|
B
|
С
|
D
|
E
|
|
| 33
|
Левая граница | Правая граница | Частота | Вероятности | χ² |
| 34
|
Экспоненциальное распределение | ||||
| 35
|
80 | 84 | 5 | 0,0176 | 16,3293 |
| 36
|
84 | 92 | 8 | 0,0331 | 20,2945 |
| 37
|
92 | 96 | 9 | 0,01562 | 75,4446 |
| 38
|
96 | 100 | 7 | 0,01501 | 45,1229 |
| 39
|
100 | 104 | 7 | 0,01442 | 47,4663 |
| 40
|
104 | 108 | 10 | 0,01385 | 109,6166 |
| 41
|
108 | 116 | 5 | 0,02611 | 8,5589 |
| 42
|
116 | 120 | 5 | 0,01229 | 27,0014 |
| 43
|
Сумма | 349,8344 | |||
| 45
|
Нормальное распределение | ||||
| 46
|
80 | 84 | 5 | 0,0317 | 5,8201 |
| 47
|
84 | 92 | 8 | 0,1556 | 0,0590 |
| 48
|
92 | 96 | 9 | 0,1317 | 0,3576 |
| 49
|
96 | 100 | 7 | 0,1546 | 0,3175 |
| 50
|
100 | 104 | 7 | 0,1551 | 0,3280 |
| 51
|
104 | 108 | 10 | 0,1331 | 0,8698 |
| 52
|
108 | 116 | 5 | 0,1588 | 1,7057 |
| 53
|
116 | 120 | 5 | 0,03281 | 5,4419 |
| 54
|
Сумма | 14,8995 | |||
| 55
|
Гамма-распределение | ||||
| 56
|
80 | 84 | 5 | 0,0310 | 6,1243 |
| 57
|
84 | 92 | 8 | 0,1652 | 0,1697 |
| 58
|
92 | 96 | 9 | 0,1388 | 0,1927 |
| 59
|
96 | 100 | 7 | 0,1576 | 0,3788 |
| 60
|
100 | 104 | 7 | 0,1522 | 0,2729 |
| 61
|
104 | 108 | 10 | 0,1265 | 1,1969 |
| 62
|
108 | 116 | 5 | 0,1497 | 1,3685 |
| 63
|
116 | 120 | 5 | 0,03281 | 5,4421 |
| 64
|
Сумма | 15,1459 | |||
| 65
|
Равномерное распределение | ||||
| 66
|
80 | 84 | 5 | 0,03727 | 4,0719 |
| 67
|
84 | 92 | 8 | 0,2300 | 1,8522 |
| 68
|
92 | 96 | 9 | 0,1150 | 1,0151 |
| 69
|
96 | 100 | 7 | 0,1150 | 0,0482 |
| 70
|
100 | 104 | 7 | 0,1150 | 0,0482 |
| 71
|
104 | 108 | 10 | 0,1150 | 1,9643 |
| 72
|
108 | 116 | 5 | 0,2300 | 4,8254 |
| 73
|
116 | 120 | 5 | 0,0423 | 2,9070 |
| 74
|
Сумма | 16,7324 | |||
| 75
|
Критическое значение критерия | 16,74960237 | |||
2.5 Определение показателей надежности объекта испытаний
После подтверждения гипотезы о виде закона распределения, определим показатели надежности объекта.
Таким образом, было установлено, что случайная величина принадлежит множеству с плотностью распределения вероятностей:
Найдем основными показатели надежности. Они вычисляются по формулам:
В78 = ($B$6-А50)/($B$6-$B$5);
С78 = 1 – В78;
Плотность распределения и интенсивность отказа рассчитаем по следующим формулам:
D78 = 1/($B$9-$B$8);
E78 = D78/B78.
Далее скопируем формулы в ячейки В79:В84, С79:С84, D79:D84, E79:E84 соответственно.
В результате будет получена таблица вычисленных ранее значений (таблица 13) и построены их графики (рисунки 14,15,16).
Таблица 13 – Значения показателей надежности объекта испытаний
| А
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
| 78
|
82,7050 | 1 | 0 | 0,028761673 | 0,028761673 |
| 79
|
88 | 0,847708081 | 0,152291919 | 0,028761673 | 0,033928747 |
| 80
|
93 | 0,703899717 | 0,296100283 | 0,028761673 | 0,040860469 |
| 81
|
98 | 0,560091352 | 0,439908648 | 0,028761673 | 0,051351753 |
| 82
|
103 | 0,416282988 | 0,583717012 | 0,028761673 | 0,069091636 |
| 83
|
108 | 0,272474623 | 0,727525377 | 0,028761673 | 0,105557253 |
| 84
|
113 | 0,128666259 | 0,871333741 | 0,028761673 | 0,223537026 |
| 85
|
Рисунок 14 – График вероятности безотказной работы и вероятности отказа
Рисунок 15 – График плотности распределения вероятности
Рисунок 16 – График интенсивности отказа
Заключение
Поставленные перед нами цели курсовой работы по определению фактических показателей надежности невосстанавливаемого объекта испытания – электродвигателя однофазного коллекторного переменного тока типа ДК 60 – 40 – выполнены.