Типовые динамические звенья и их характеристики
Динамическим звеном
называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.
Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:
(1)
Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.
Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:
1. Усилительное (безынерционное).
2. Дифференцирующее.
3. Форсирующее звено 1-го порядка.
4. Форсирующее звено 2-го порядка.
5. Интегрирующее.
6. Апериодическое (инерционное).
7. Колебательное.
8. Запаздывающее.
При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.
Рассмотрим основные звенья и их характеристики.
Усилительное звено
(безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
(2)
или передаточной функцией:
(3)
При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:
а) б)
Рис. 1
Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:
.
Рис. 2
Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .
Рис. 3
Примеры звена:
1. Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).
2. Потенциометр (рис. 4б).
а) б)
Рис. 4
3. Редуктор (рис. 5).
|
Рис. 5
Апериодическое (инерционное) звено
. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:
(4)
или передаточной функцией:
(5)
где Т
– постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k
– коэффициент передачи.
При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:
|
|||
Рис. 6
Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:
а) б) в)
Рис. 7
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле
При
Рис. 8
Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k
и T
) характеристики перемещаются параллельно самим себе.
Примеры звена:
1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).
ÆÆ
Рис. 9
2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).
|
|
|
|
|
ÆÆÆÆ
|
||
|
||
|
||
ÆÆÆÆ
Рис. 10
4. Механические демпферы (рис. 11).
|
||
Рис. 11
Интегрирующее звено.
Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:
(6)
или передаточной функцией:
(7)
При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:
Рис. 12
Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:
Рис. 13
Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:
Рис. 14
Пример звена.
Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).
|
ÆÆ
Рис. 15
Дифференцирующее звено.
Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:
(8)
или передаточной функцией:
(9)
При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:
Рис. 16
Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:
а) б) б)
Рис. 17
Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.
Логарифмические час
Рис. 18
Примеры звена:
1. Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).
ÆÆ
Рис. 19
2. Тахогенератор (рис. 20).
Æ
|
Æ
Рис. 20
Колебательное звено.
Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:
(10)
или передаточной функцией:
(11)
где x – демпфирование (0 £x£ 1).
Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:
(12)
а) б)
Рис. 21
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением
Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений x имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением
Частотные характеристики колебательного звена имеют вид
а) б) в)
Рис. 22
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:
При k = 1
Рис. 23
Примеры звена.
Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).
Рис. 24
Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).
|
|
|||
Рис. 25
В приведенной схеме:
С – накапливает энергию электрического поля;
L – накапливает энергию электромагнитного поля;
R – на сопротивлении происходит потеря энергии.
Запишем передаточную функцию цепи:
– затухание (демпфирование).
4. Механические демпферы (рис. 26).
Рис. 26
Форсирующее звено.
Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:
(13)
или передаточной функцией
(14)
где k
– коэффициент передачи звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:
Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:
1
а) б) в)
Рис. 27
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:
Рис. 28
Форсирующее звено 2-го порядка.
Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:
(15)
Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:
Запаздывающее звено.
Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:
(16)
(17)
где t – время запаздывания.
В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:
Рис. 30
Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:
а) б) в)
Рис. 31
Устойчивые и неустойчивые звенья.
В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на ±20 дБ/дек соответствует изменение фазы на ±p/2, а ±40 дБ/дек – на ±p.
Пример 1.
Построить частотные характеристики для звеньев
Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):
Рис. 32
Идеальные и реальные звенья.
Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат инерционности.
реальное интегрирующее звено;
реальное дифференцирующее звено;
реальное форсирующее звено.
АФХ этих звеньев имеют вид (рис. 33а-в):
а) б) в)
|
|
|
Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.
1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.
2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.
3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(l-m) 20] дБ/дек (где l – количество дифференцирующих, а m- интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.
4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.
Пример 2.
Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:
Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения
|
|
||
Пример 4.
Построить АФХ соединения звеньев, передаточная функция которого имеет вид
Решение:
Выполнив подстановку p = j
w
и умножив на комплексно сопряженное выражение, получим
Строим характеристику рис. 36.
|
+j
|
+
Рис. 36
Литература
1. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Машиностроение, 1990. -332 с.
2. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. – К.: Тэхника, 1989. –182 с.
3. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.
4. Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. – Харьков: ХГПУ, 2000. –272 с.
5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.