Практична корисність будь-якого вимірювання визначається вказанням його похибки, тобто кількісної характеристики відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної фізичної величини. Виникнення похибок вимірювань обумовлено впливом різноманітних за фізичною природою факторів, що супроводжують вимірювання. Традиційний аналітичний підхід до визначення похибок полягає в поділі їх на складові, кожна з яких зумовлена певними факторами. Це дозволяє досліджувати джерела складових похибки, проводити необхідні експерименти, в тому числі допоміжні вимірювання, і, як наслідок, визначити властивості похибки та з необхідною точністю оцінити її складові. Знаючи властивості й оцінки складових, можна правильно урахувати їх при оцінці повної похибки, а також при необхідності ввести поправку в результат вимірювання й (або) організувати вимірювальний експеримент так, щоб звести окремі складові, а з ними й повну похибку до допустимого значення. Для підвищення об’єктивності оцінки похибок вимірювань і визначення шляхів їх зменшення, з метою покращання якості вимірювань, необхідно знати джерела (причини) виникнення різних складових повної похибки вимірювань і закономірності їх змінювання.
Похибки вимірювань розрізняють за такими ознаками (рис.1):
1) за джерелом виникнення;
2) за закономірністю або характером змінювання (в часі або за ансамблем);
3) за формою або способом відображення кількісних характеристик похибки вимірювань.
Різновиди похибок вимірювань за джерелом виникнення
Цілком природно виділити складові похибки та їх джерела відповідно до основних структурних елементів процесу вимірювання. Виходячи з цього, як джерела похибок вимірювань слід розглядати метод вимірювання і ЗВТ, а також оператора (суб’єкта). Згідно з цим виділяють методичну, інструментальну та суб’єктивну складові похибки вимірювань.
Методична складова похибки вимірювання у загальному випадку зумовлена недосконалістю методу вимірювання, вона не залежить від властивостей ЗВТ.
Конкретизуємо джерела методичних похибок для прямих і непрямих (опосередкованих, сукупних і сумісних) вимірювань.
До найбільш поширених методичних похибок прямих вимірювань належать:
1. Похибка, обумовлена неадекватністю фізичної моделі об’єкта вимірювання реальному об’єкту та задачі вимірювання. Експериментатор мусить чітко відрізняти фактично вимірювану величину за прийнятою фізичною моделлю ОВ від тієї фізичної величини, що реально відтворює досліджувану властивість ОВ і підлягає вимірюванню.
Наприклад, при вимірюванні на виході будь-якого ОВ змінної напруги її форма прийнята синусоїдною, у той час як реальний сигнал не є синусоїдним і містить вищі гармоніки. Тому якщо відповідно до прийнятої фізичної моделі ОВ для вимірювання амплітуди або змінної напруги на виході ОВ використати вольтметр, призначений для вимірювання синусоїдної напруги, то в результат вимірювання буде внесена методична похибка, обумовлена дією вищих гармонік, присутніх у реальному сигналі ОВ.
Рис.1. Класифікація похибок вимірювань.
Невідповідність прийнятої фізичної моделі ОВ, що називають пороговою невідповідністю, викликає одну з принципово неусувних складових методичної похибки, яка обмежує досяжну точність вимірювання. Це спричиняється тим, що фізична модель ОВ визначає вимірювану величину, а звідси - вибір методу вимірювання і засобу (засобів) вимірювальної техніки.
2. Похибка, яка зумовлена зміною залежності між вимірюваною і проміжною величинами, якщо при вимірюваннях використовується проміжне перетворення ЗВТ.
3. Похибка передавання розміру вимірюваної величини від ОВ до ЗВТ, тобто фізичне з’єднання ЗВТ з ОВ не завжди здійснюється так, щоб розмір вимірюваної величини був однаковий на виході ОВ і на вході ЗВТ. Наприклад, таку похибку можуть вносити з’єднувальні проводи між ОВ і ЗВТ.
До характерних методичних похибок, які є специфічними для непрямих вимірювань, належать:
1. Похибка обчислювань, у тому числі похибка алгоритмів або програм обчислювань.
2. Похибка, обумовлена тим, що функції (функціонали) обчислюються, як безперервні, а реально вони є дискретними (вимірювання здійснюються при дискретних значеннях фізичної величини - аргументу).
Відмітною особливістю методичних похибок вимірювань є те, що вони, як правило, неконкретні і тому не можуть бути одержані будь-які узагальнені кількісні оцінки. Враховуючи це, методичні похибки звичайно не нормуються і не вказуються в технічній документації, а повинні оцінюватися експериментатором при реалізації вибраного методу вимірювань з урахуванням конкретних умов експлуатації ЗВТ. Така оцінка досить складна і часто потребує ґрунтовного експериментального дослідження прийнятого методу вимірювань. Якщо метод апробований протягом тривалого часу, то його похибки можуть бути встановлені і записані в паспорт методу. Складання подібних атестаційних паспортів похибок стандартних методів вимірювань є одним з важливих завдань сучасної метрології.
Інструментальна (приладова, апаратурна) складова похибки вимірювання обумовлена властивостями (або недосконалістю) ЗВТ, які використовуються при вимірюванні, що призводить до різних складових похибки. Детальному розгляду інструментальних похибок вимірювань присвячується глава 3.
Суб’єктивна (або особиста) складова похибки вимірювання залежить від індивідуальних властивостей експериментатора (суб’єкта), що виконує вимірювання, а точніше від його психофізіологічних якостей, зокрема, від недосконалості органів чуттів, які беруть участь у визначенні результату вимірювання (зору, слуху, швидкості реакції на сигнал), від здатності до концентрації уваги, від ступеня стомленості і т. ін. Велику роль відіграє кваліфікація експериментатора.
Суб’єктивна похибка вимірювання характерна тільки для аналогових вимірювальних приладів. Вона має два різновиди.
Першим різновидом суб’єктивної похибки вимірювань є похибка відліку, яка обумовлена округленням показів під час їх відліку оператором зі шкали аналогового вимірювального приладу. Вона проявляється в тому, що однаковий показ приладу, який, наприклад, дорівнює 84,3 поділки, один оператор зчитує правильно, другий - як 84,0, третій - як 84,5 і т.д.
Другим різновидом суб’єктивної похибки вимірювань є похибка паралакса, обумовлена взаємним розташуванням ока експериментатора, стрілки вказівника і шкали аналогового вимірювального приладу.
Очевидно, такі похибки не можуть бути заздалегідь передбачені і вказані в технічній документації аналогових вимірювальних приладів. У цифрових вимірювальних приладах операція округлення виконується автоматично, а похибка округлення, що виникає при цьому, називається похибкою квантування, вона нормується і вказується в технічному описі приладу.
Зменшення або виключення суб’єктивної складової похибки вимірювання досягають застосуванням спеціальних типів шкал, наприклад дзеркальних, використанням цифрового відліку і автоматизацією одержання результату вимірювання.
Таким чином, суб’єктивні похибки вимірювань поки що не можуть бути оцінені кількісно, а тому вони не входять у математичну модель повної похибки вимірювань. Їх треба зменшувати або виключити, але про них слід завжди пам’ятати під час відліку оператором показів зі шкали аналогового вимірювального приладу.
Різновиди похибок вимірювань за закономірністю їх змінювання
Похибки вимірювань відрізняються закономірністю або характером змінювання при повторних вимірюваннях (у часі та за ансамблем реалізацій) і за цією ознакою їх поділяють на випадкові та систематичні. Ця кваліфікаційна ознака поділу похибок вимірювання на складові має дві мети.
Перша і визначальна мети: придатність тих або інших математичних методів підсумовування (об’єднання) складових похибки вимірювання для аналітичного розрахунку його повної похибки. Так, якщо складові похибки вимірювання залишаються постійними або закономірно змінюються, то для їх розрахунку і підсумовування придатні методи функціонального аналізу. Якщо ж складові похибки вимірювання змінюються стохастично (випадково), то для їх розрахунку та підсумовування використовуються методи теорії ймовірностей і математичної статистики.
При досягненні першої мети можна забезпечити і другу мету розподілу похибки вимірювання на систематичну і випадкову - визначення раціональних методів зменшення цих складових.
Випадкова похибка - це складова похибки вимірювання, що змінюється випадково (непередбачено за значенням і знаком) при повторних вимірюваннях того самого розміру фізичної величини.
Поява випадкових похибок зумовлена в основному дією на метрологічні характеристики ЗВТ великої кількості внутрішніх і зовнішніх факторів, що змінюються випадково, тобто випадкові похибки є, як правило, інструментальними. Крім того, випадкову похибку може вносити і недосвідчений оператор, який не володіє стійкими навичками відліку показів аналогових вимірювальних приладів.
У силу непередбаченості випадкова складова похибки не може бути виключена з результату вимірювання, але вона може бути зменшена при статистичній обробці багаторазових спостережень.
Окремий вид випадкових похибок складають грубі похибки. До них належать ті похибки, реальні значення яких істотно перебільшують очікувані значення, відповідні основним компонентам процесу вимірювання (застосованим методу і ЗВТ, а також умовам вимірювання). Причинами грубих похибок є помилки оператора, несправність і неправильне застосування ЗВТ, короткочасні і різкі змінювання умов вимірювання, наприклад, короткочасна втрата живлення в будь-якому електричному колі, збій від імпульсних завад, механічний удар та ін. Особливо великі за значенням грубі похибки називають надмірними. Вони викликаються, як правило, невірними діями оператора (порушенням правил експлуатації ЗВТ, помилками при відліку та записі результатів вимірювань). Грубі похибки доцільно виявляти і виключати з розгляду, для їх виявлення існують статистичні методи (див. § 2.7). Результат вимірювання, який одержаний з надмірними похибками, називають промахом (або аномальним результатом вимірювання). Промахи настільки очевидні, що є досить помітними для досвідченого оператора на етапі попереднього аналізу результатів вимірювань. Вони повинні бути обов’язково вилучені з подальшого розгляду.
Систематична похибка - це складова похибки вимірювання, яка при повторних вимірюваннях того самого розміру фізичної величини залишається постійною або змінюється за певним законом.
Систематичні похибки за причинами, що їх викликають, можуть бути методичними, інструментальними і суб’єктивними. Окремі інструментальні похибки ЗВТ, будучи систематичними для конкретного зразка ЗВТ, переходять у розряд випадкових для групи однакових ЗВТ, наприклад, неточність градуювання їх шкал. Це стосується і методичних похибок вимірювань.
За характером змінювання від вимірювання до вимірювання розрізняють постійні і змінні систематичні похибки вимірювань.
Постійні систематичні похибки вважаються незмінними за значенням у будь-який час вимірювань. До них належать методичні похибки, такі інструментальні похибки, як неточність міри, вхідного подільника напруги і градуювання приладу, а також суб’єктивні похибки досвідчених операторів зі стійкими навичками.
Постійні систематичні похибки є найбільш небезпечними, оскільки їх присутність у результатах вимірювань дуже важко виявити. Це пов’язано з тим, що така похибка, на відміну від випадкових та інших видів систематичних похибок, ніяк себе не проявляє при повторних вимірюваннях. Для її виявлення часто потрібно проводити спеціальні метрологічні дослідження, простим прикладом яких може бути звірення показів робочого ЗВТ з показами зразкового ЗВТ (повірка).
Основною відмінністю та особливістю постійних систематичних похибок є те, що вони можуть бути передбачені і завдяки цьому майже повністю усунені введенням відповідних поправок, знайдених один раз на весь термін служби або, принаймні, на міжповірочний інтервал даного ЗВТ.
Змінні систематичні похибки змінюються в процесі вимірювання за певним законом у функції часу (або від вимірювання до вимірювання), тобто детерміновано. За характером змінювання їх поділяють на прогресуючі, періодичні й змінювані за складним законом.
Прогресуючими (або дрейфовими) називають систематичні похибки, які монотонно збільшуються або зменшуються в часі. Вони, як правило, викликаються процесами старіння тих чи інших вузлів і елементів ЗВТ: розрядженням автономних джерел живлення, старінням резисторів і конденсаторів, деформацією механічних деталей, усадкою паперової стрічки в самописних приладах і т.д.
Першою особливістю прогресуючих похибок є те, що вони можуть бути скореговані введенням поправок у результати вимірювань лише в задані моменти часу. Це означає, що прогресуючі похибки потребують безперервної корекції і тим частіше, чим меншим повинно бути їх залишкове значення. Друга особливість прогресуючих похибок полягає в тому, що їх змінювання в часі являє собою, строго кажучи, нестаціонарний випадковий процес, і тому їх належність до систематичних похибок є досить умовною.
За складним законом систематична похибка змінюється в тому випадку, коли вона викликається декількома факторами, кожний з яких змінюється за певним законом, властивим цьому фактору.
Отже, особливою ознакою систематичних похибок є можливість передбачення їх значень і в ідеальному випадку повного вилучення з результатів вимірювань.
Окремі фахівці до систематичних похибок зараховують тільки постійні похибки, при цьому основною ознакою є
На противагу систематичній похибці випадкова похибка не може бути заздалегідь передбачена і вилучена з результату вимірювання, вона може бути тільки зменшена.
Таким чином, у загальному випадку повна похибка результату вимірювання складається з систематичної і випадкової складових, тому її слід розглядати в цілому як випадкову величину. Математичне сподівання повної похибки вимірювань являє собою її абсолютну систематичну складову , центрована складова повної похибки вимірювань - її абсолютну випадкову складову . Тоді за будь-яким законом розподілу абсолютну повну похибку вимірювань можна подати у вигляді:
, (2.1)
де M - знак математичного сподівання.
Якщо постійна систематична складова похибки вимірювання відома, її вилучають з результату вимірювання X (або вводять поправку) і тим самим переходять до виправленого результату вимірювання
. (2.2)
Виправленим називається результат вимірювання , з якого введенням поправки вилучена систематична складова похибки вимірювання. У противному разі результат вимірювання X є невиправленим, але цей термін звичайно не вживають.
Форми (способи) відображення кількісних характеристик похибок вимірювань
Кількісні характеристики похибок вимірювань відображають у двох формах (двома способами): абсолютній і відносній. Відповідно розрізняють абсолютну і відносну похибки вимірювань.
Абсолютна похибка вимірювання - різниця між результатом вимірювання X та істинним значенням вимірюваної величини . Якщо істинне значення вимірюваної величини невідоме, то замість нього використовують умовно істинне (дійсне) значення Xy. Таким чином,
DХ = Х - Хі = Х - Хy. (2.3)
З абсолютною похибкою пов’язано поняття "поправка".
Поправка - значення величини, однорідної з вимірюваною, що алгебраїчно додається до результату вимірювання з метою вилучення систематичної похибки вимірювань Dc = DХ. З рівності (2.3) маємо
Xy = X + (-DX) = X + П. (2.4)
З виразу (2.4) можна зробити висновок: якщо до результату вимірювання X додати абсолютну похибку з протилежним знаком , то одержимо більш точне, умовно істинне (дійсне) значення вимірюваної величини Xy або виправлений результат . Тим самим здійснюється певною мірою уточнення результату вимірювання X. Отже, величина є поправкою П до результату вимірювання X: . Абсолютна похибка вимірювання і поправка виражаються в одиницях вимірюваної фізичної величини.
Відзначимо, що постійна систематична похибка "зсуває" всі результати вимірювань на однакову величину, що призводить до певних труднощів її виявлення і введення відповідної поправки.
На відміну від поправки як адитивної величини вводиться поняття "коригувальний коефіцієнт".
Коригувальний коефіцієнт - це числовий коефіцієнт, на який помножують невиправлений результат вимірювання X з метою вилучення мультиплікативної систематичної похибки:
,
де- коригувальний коефіцієнт.
Абсолютна похибка характеризує лише якість результату вимірювання, але не може бути мірою точності вимірювання. Так, абсолютна похибка вимірювання напруги, що дорівнює 0,1 B, ні про що не говорить, якщо її не співвіднести з результатом вимірювання напруги, залежно від якого вона має різний зміст. Нехай, наприклад, маємо результати вимірювань двох значень напруги: 10 B і 100 B. Очевидно, при однаковій абсолютній похибці 0,1 B якість вимірювань при значенні напруги 100 В вища, ніж при значенні напруги 10 В, оскільки на рівні 100 В похибка в 0,1 В відбивається менше, ніж на рівні 10 В.
Таким чином, про точність вимірювань не можна судити на основі порівняння абсолютних похибок результатів вимірювань. Для цього ще необхідно порівняти і значення вимірюваних фізичних величин, що є досить незручним для практики: порівняти дві кількісні характеристики - значення і похибку вимірюваної величини. Усунути цей недолік дозволяє перехід до похибки вимірювань, яка виражається у відносних одиницях і називається тому відносною похибкою вимірювань. Вона об’єднує обидві вказані вище кількісні характеристики вимірювань: результат вимірювання і абсолютну похибку.
Відносна похибка вимірювання - відношення абсолютної похибки вимірювання до істинного чи умовно істинного (дійсного) значення вимірюваної фізичної величини або до результату вимірювання X.
Відносна похибка вимірювання виражається у відносних одиницях
, (2.5)
або у відсотках
.
З відносною похибкою вимірювання зв’язане кількісне визначення точності вимірювань, яку іноді оцінюють величиною, зворотною модулю відносної похибки. Наприклад, відносній похибці вимірювань відповідає точність вимірювань , тобто точність вимірювання тим вища, чим менша відносна похибка. Проте цей термін використовується рідко і краще завжди говорити про відносну похибку вимірювання.
Одночасно при проведенні вимірювання обов’язково повинна обчислюватися його абсолютна похибка, бо вона потрібна для правильного запису результату вимірювання. Разом з тим, при необхідності провести порівняння точності результатів вимірювань, визначається відносна похибка вимірювань.
Показники якості вимірювань. Невизначеність вимірювань
Для кількісної оцінки впливу повної похибки, а також її систематичної і випадкової складових на результат вимірювання, використовують показники якості вимірювань: точність, правильність, збіжність, відтворюваність.
Про точність вимірювань говорилось вище (див. § 2.1). Нагадаємо, що точність вимірювань звичайно характеризується відносною похибкою вимірювань: чим менша відносна похибка, тим вища точність вимірювань.
Правильність вимірювань - це показник якості вимірювань, що відбиває близькість до нуля систематичних похибок у результатах вимірювань. Тобто правильність характеризує вплив систематичної похибки на результат вимірювання.
Збіжність вимірювань - це показник якості вимірювань, що відбиває близькість між собою результатів вимірювань того самого розміру фізичної величини, які виконуються повторно тими самими методами вимірювань і засобами вимірювальної техніки в однакових умовах.
Таким чином, збіжність результатів вимірювань відображає близькість до нуля випадкової похибки.
Відтворюваність (або повторюваність у встановлених границях похибки) вимірювань визначається близькістю між собою результатів вимірювань того самого розміру фізичної величини, які отримують у різних містах і в різний час виконання експерименту, різними методами вимірювань і засобами вимірювальної техніки, але приводять до однакових умов виконання вимірювань (температури, тиску, вологості та інших впливних величин).
Збіжність і відтворюваність можуть бути оцінені кількісно дисперсією результатів вимірювань.
У вітчизняних нормативних документах для оцінювання точності вимірювань зберігається традиційний підхід, що ґрунтується на понятті "похибка вимірювань". Новий підхід рекомендується МКМВ, МОЗМ, Міжнародною електротехнічною комісією (МЕК) та іншими міжнародними організаціями. Цей підхід ґрунтується на оцінюванні точності вимірювань за допомогою поняття "невизначеність вимірювань" (або просто "невизначеність).
У відомій літературі з метрології та в будь-яких міжнародних документах нема досить переконливих обґрунтувань щодо відмови від терміна "похибка" і заміни його новим терміном "невизначеність". Більш того рекомендовані оцінки для відображення кількісних характеристик невизначеності мають або той самий, або дещо модифікований вигляд, як і для похибок, зберігаючи в основному фізичний зміст. Тому заміна вказаних термінів обумовлена не принципово якісними, фундаментальними обґрунтуваннями, а асоціативністю їх розуміння. Так, термін "похибка" асоціюється з визначеною величиною, а термін "невизначеність" - з сумнівом, невпевненістю, що нібито більше відображає фізичний зміст результату вимірювання.
Невизначеність вимірювань - це параметр, зв’язаний з результатами вимірювань, який характеризує розсіяння значень, що можуть бути обґрунтовано приписані вимірюваній величині.
Отже, невизначеність вимірювань означає сумнів відносно вірогідності результатів вимірювань.
Для кількісного представлення пропонується три її види: стандартна невизначеність (типи А і В), сумарна стандартна невизначеність і розширена невизначеність.
Стандартна невизначеність - це невизначеність результату прямих вимірювань, яка виражена через середнє квадратичне відхилення (див. § 2.5).
За способом обчислення і представлення розрізняють два типи стандартної невизначеності: тип А і тип В.
Стандартна невизначеність типу А - це невизначеність, яка обчислюється статистичними методами обробки результатів багаторазових вимірювань (спостережень).
Стандартна невизначеність типу В - це невизначеність, яка обчислюється за деякою апріорною інформацією: даними попередніх вимірювань величин, що входять в рівняння; даними вимірювань, що ґрунтуються на досвіді експериментатора або загальних знаннях про поведінку відповідних об’єктів і засобів вимірювальної техніки, даними їх повірки, атестування і калібрування; невизначеності констант і довідкових даних тощо. Невизначеність усіх цих даних звичайно відображають границями відхилення результату вимірювання фізичної величини від оцінки її істинного значення. Тому невизначеність вимірювань типу В залежить від закону розподілу можливих значень вимірюваної величини.
Сумарна стандартна невизначеність - це стандартна невизначеність результату непрямих вимірювань. Вона має фізичний зміст дисперсії результату непрямих вимірювань і обчислюється через дисперсії (квадрати стандартних невизначеностей) інших фізичних величин (аргументів), через які визначається шукана фізична величина (див. § 4.3. - для опосередкованих вимірювань).
Розширена невизначеність - це величина, що визначає інтервал, у границях якого знаходиться більша частина результатів непрямих вимірювань, які з достатньою підставою можуть бути приписані вимірюваній величині. Розширена невизначеність вимірювань обчислюється через сумарну стандартну невизначеність (див. § 4.3. - для опосередкованих вимірювань).
Поняття й області використання ймовірнісних та статистичних характеристик похибок вимірювань
Наявність випадкових похибок призводить до того, що при повторних вимірюваннях того самого розміру фізичної величини, як би старанно і на якому б науковому рівні вони не виконувались, результати цих вимірювань будуть відрізнятися, а їх розсіяння (розкид) мати випадковий характер. При кожному окремому вимірюванні його випадкова похибка викликається численними причинами і урахувати їх всі при вимірюваннях неможливо. Оскільки за результатами вимірювань завжди приймаються конкретні рішення або робляться певні практичні висновки, то для підвищення їх обґрунтування виключно важливо вміти оцінювати випадкові похибки вимірювань.
Для оцінки випадкових похибок вимірювань, як випадкових процесів чи величин, використовується апарат або теорії ймовірностей, або математичної статистики. Тим самим вводиться відмінність між цими групами характеристик похибок вимірювань: імовірнісними і статистичними.
Імовірнісні характеристики похибки вимірювань - це параметри функції розподілу ймовірностей похибки вимірювань, які відображають властивості генеральної сукупності похибок усіх результатів вимірювань, одержаних за даною методикою виконання вимірювань у відомих умовах. Вони є детермінованими величинами. Область використання ймовірнісних характеристик похибок вимірювань - технічні вимірювання.
Статистичні характеристики похибки вимірювань - випадкові величини, які являють собою оцінки ймовірнісних характеристик параметрів розподілу ймовірностей похибки вимірювань. Їх визначають експериментально по деякій скінченій кількості (серії, виборці) результатів вимірювань (а не з генеральної сукупності), і вони є предметом вивчення математичної статистики.
Статистичні характеристики лише наближаються до характеристик генеральної сукупності похибки вимірювань. Чим більше об’єм вибірки, тобто чим більша кількість вимірювань (спостережень) у серії, тим ближче обчислені статистичні характеристики до детермінованих імовірнісних характеристик генеральної сукупності, випадковими оцінками яких вони є. При нескінченній кількості вимірювань (спостережень) у серії, статистичні характеристики стають такими, що дорівнюють імовірнісним характеристикам, тобто детермінованими, а не випадковими величинами.
Отже, статистичні характеристики похибки вимірювань відображають ступінь близькості до істинного значення вимірюваної величини тільки того єдиного результату вимірювання, який обчислено за даними конкретної серії вимірювань. Область використання статистичних характеристик похибки вимірювань - лабораторні (експериментальні) вимірювання.
Таким чином, імовірнісні характеристики похибки вимірювань справедливі для будь-якого результату вимірювання, а статистичні характеристики властиві конкретному результату вимірювання, одержаному для конкретного досліджуваного об’єкта за даних конкретних умов.