Пензенский государственный университет
Кафедра «РТ и РЭС»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы»
на тему
«Определение спектра
амплитудно-модулированного колебания»
Задание выполнил студент
группы 01РР2
Чернов С. В.
Задание проверил
Куроедов С. К.
Пенза 2003
Содержание
1. Формулировка задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Шифр задания и исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Аналитическая запись колебания UW
(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Определение коэффициентов аn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Определение коэффициентов bn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6. Определение постоянной составляющей А0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7. Определение амплитуд An
и начальных фаз Yn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму
найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник
колебания uW
(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра
колебания uW
(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10. Аналитическая запись АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания . . . . . . . . . . . . . . 11
12. Определение ширины спектра АМ колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Формулировка задания
Определить спектр АМ колебания u(t) =Um
(t)cos(w0
t+y0
), огибающая амплитуды которого связана линейной зависимостью с сигналом сообщения Uc
(t), т.е. Um
(t).=U0
+ Uc
(t)
(коэффициент пропорциональности принят равным единице).
Сигнал сообщения Uc
(t) представляет собой сумму первых пяти гармоник периодического колебания uW
(t) (см. раздел 3). Найденный аналитически спектр сигнала сообщения и АМ колебания должен быть представлен в форме амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик. Необходимо кроме того определить парциальные коэффициенты глубины модуляции mn
. Несущая частота определяется как w0
=20W5
, где W5
– частота пятой гармоники в спектре колебания uW
(t). Значение амплитуды U0
несущей частоты w0
принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un
– амплитудное значение гармоники спектра колебания uW
(t).
2. Шифр задания и исходные данные
Шифр задания: 17 – 3
Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1.
U1
|
U2
|
T, мкс |
t1
|
3 |
3 |
250 |
60 |
Временная диаграмма исходного колебания
3. Аналитическая запись колебания U
W
(t)
Сначала выполним спектральный анализ заданного колебания uΩ
(t). Для этого, пользуясь графической формой колебания и заданными параметрами, запишем его аналитически. Весь период Т колебания разбиваем на три интервала: [0;t1
], [t1
;t2
] и [t2
; T] (точка является серединой интервала [t1
; T]). Первый интервал представлен синусоидой, второй и третий – линейными функциями. В общем виде аналитическая запись сигнала будет выглядеть так:
при ,
uΩ
(t)= при , (1)
при .
Частота синусоиды (в знаменателе записан период этой синусоиды).
Значения k1
и b1
определяем из системы уравнений
;
,
получаемой путем подстановки во второе уравнение системы (1) значений времени t1
и и соответствующих им значений колебания uΩ
(t) (uΩ
(t1
)=0, uΩ
(t)=-U2
). Решение указанной системы уравнений дает , . Аналогично определяем k2
и b2
. В третье уравнение системы (1) подставляем значения t2
и T и соответствующие им значения колебания uΩ
(t) (uΩ
(t2
)=-U2
, uΩ
(T)=0).
;
.
Решив систему, получаем ,
В результате изложенного система уравнений (1) принимает вид
при ,
uΩ
(t)= при , (2)
при .
Для дальнейших расчетов определим:
мкс;
рад/с
рад/с
Для разложения сигнала в ряд Фурье вычислим значения аn
, bn
, Аn
и φn
первых пяти гармоник.
4. Определение коэффициентов an
Посчитаем каждый из интегралов отдельно:
;
,
, ,
, .
;
аналогично интегрируем:
.
Запишем выражение для аn
, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW
(t):
.
Подставляя ранее вычисленные значения k1
b1
, k2
, b2
, заданное значение U1
и значения n
=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов an
:
В
В
В
В
В.
Заносим полученные результаты в таблицу 2.
5. Определение коэффициентов bn
.
Расчет каждого из интегралов произведём отдельно:
;
, ,
, .
;
.
Запишем выражение для bn
, как функции порядкового номера n гармоник колебания UW
(t):
.
Подставляя ранее вычисленные значения k1
b1
, k2
, b2
, заданное значение U1
и значения n
=1,2,…, находим численные значения пяти коэффициентов bn
:
В
В
В
В
В.
Занесём полученные данные в таблицу 2.
6. Определение постоянной составляющей А0
В.
7. Определение амплитудAn
и начальных фаз Yn
Значения An
и Ψn
вычисляем с помощью полученных ранее коэффициентов an
и bn
.
,
.
В,
В,
В,
В,
В;
рад,
рад,
рад,
рад,
рад.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| an
|
1.641 | 0.033 | -0.368 | -0.237 | -0.128 |
| bn
|
1.546 | 0.548 | 0.442 | 0.028 | -0.093 |
| An
|
2.254 | 0.549 | 0.575 | 0.239 | 0.159 |
| Ψn
|
0.756 | 1.511 | 2.264 | 3.023 | -2.512 |
8. Временная диаграмма колебания, представляющего собой сумму найденной постоянной составляющей и первых пяти гармоник
|
u(t) – заданноеколебание,
S(t)=S1(t)+ S2(t)+ S3(t)+ S4(t)+ S5(t)+A0,
S1(t) – первая гармоника,
S2(t) – вторая гармоника,
S3(t) – третья гармоника,
S4(t) – четвертая гармоника,
S5(t) – пятая гармоника,
A0 – постоянная составляющая.
9. Построение графиков АЧХ и ФЧХ ограниченного спектра колебания uW
(t)
Пользуясь данными таблицы 2, строим АЧХ и ФЧХ сигнала сообщения uc
(t), представляющего собой, в соответствии с заданием, сумму первых пяти гармоник колебания uW
(t).
АЧХ колебания uW
(t)
ФЧХ колебания uW
(t)
10. Аналитическая запись АМ колебания
В качестве модулирующего колебания (сигнала сообщения) используем только первые пять гармоник спектра колебания uW
(t) (постоянную составляющую А0
отбрасываем). В соответствии с этим искомое амплитудно-модулированное колебание запишем как
рад/с – несущая частота.
Значение амплитуды U0
несущей частоты w0
принимается равным целой части удвоенной суммы , где Un
– амплитудное значение гармоники спектра колебания UW
(t).
,
В.
– начальная фаза несущего колебания.
– парциальные коэффициенты глубины модуляции.
Вычислим значения парциальных коэффициентов:
,
,
,
,
.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Представим АМ колебание в форме суммы элементарных гармоник
.
Вычислим значения :
В,
В,
В,
В,
В.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| mn
|
0.3221 | 0.0784 | 0.0822 | 0.0341 | 0.0227 |
| Bn
, В |
1.127 | 0.274 | 0.288 | 0.119 | 0.079 |
11. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ колебания
Воспользовавшись численными значениями U0
, ω0
, Bn
, Ω, Ψ0
, Ψn
, построим графики АЧХ и ФЧХ амплитудно-модулированного колебания.
АЧХ АМ колебания
ФЧХ АМ колебания
12. Определение ширины спектра АМ колебания
Ширина спектра АМ колебания равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.
рад/с.