Шуми та чутливість приймальних пристроїв
Якість цифрового приймача оцінюється відношенням напруги сигналу, що є випадковою величиною з гауссовським законом розподілення, до стандартного відхилення, це відношення є аргументом функції помилок. Воно визначає при заданій швидкості передачі коефіцієнт помилок, що спостерігається на виході приймача у функції від оптичної потужності, що приймається. Таке визначення критерію якості приймача має перевагу в тому, що дозволяє безпосередньо оцінювати систему, але його недолік в тому, що він залежить від коду передачі. Тому при аналізі шумових властивостей цифрового оптичного приймального пристрою для виключення залежності від коду передачі робиться припущення, що одиниці кодуються імпульсами певної амплітуди, а нулі - паузою, тобто кодами без повертання до нуля. Крім того, припускається, що абсолютно точно проводиться синхронне детектування – тобто рішення приймається за половинним рівнем сигналу та всередині тактового інтервалу. Таке припущення дозволяє обмежитись дослідженням лише еквівалентної шумової схеми вхідних каскадів приймача, в якому виконується аналогова обробка сигналів (рис. 1).
Рис. 1 - Групи джерел шуму
На наведеній схемі (рис. 1) присутні дві групи джерел шуму: шумові джерела власне фотодетектора (це джерела струму ) та шумові джерела вхідного каскаду підсилювача (джерело струму , та джерело напруги у колі зворотного зв’язку e2
а
). Вхідний каскад підсилювача у цьому разі є таким, що не має шумів. Елементи схеми Rн
та Cg відповідають опору навантаження фотодетектора Rн
та ємності p-n-переходу фотодетектора Сg. Власний динамічний опір p-n-переходу ФД можна до уваги не приймати, тому що він значно менший від опору навантаження ФД. Rа
та Са
– елементи вхідного каскаду підсилювача, R0
, C0
– елементи кола зворотного зв’язку.
Струм на виході ФД є пропорційним оптичній потужності, що приймається, та може бути наведений виразом
,(1)
де h– ефективний квантовий вихід матеріалу, з якого виготовлено ФД (h<1); q – заряд електрона (1,6.
10-19
К); – енергія фотона ( -- постійна Планка, – частота оптичної несучої, М - коефіцієнт множення, якщо використовується лавинний фотодіод (ЛФД), М=1 в разі використання звичайного ФД, io
– темновий струм, Р – оптична потужність.
У загальному випадку оптична потужність є сумою двох складових
Р= Р~
+Рф
,(2)
де Р~
– змінна оптична потужність сигналу, Рф
– оптична потужність фону. У ВОСП потужність фону виникає внаслідок наявності струму постійного зміщення випромінювача. Оскільки обидві складові оптичної потужності діють на світлочутливу поверхню ФД, фотострум, що виникає цього разу, протікає через опір навантаження, в подальшому буде використовуватись сумарна потужність (2).
Темновий струм io
звичайно дуже малий (io
<<1 мкА для кремнієвих ФД) , крім того, він не передається приймальними пристроями, в яких використовується фільтр низьких частот. Отже, темновий струм майже не впливає на характеристики приймальних пристроїв.
Розглянемо тепер джерела шумів у оптичних приймальних пристроях. Усі шуми, незалежно від їх походження, характеризуються спектральною щільністю потужності, А2
/Гц.
Дробовий шум
. Цей шум зумовлений випадковим пуасонівським розподіленням фотонів у оптичній хвилі, що приймається. У разі використання лавинного фотодіода цей шум підсилюється, процес підсилення є також випадковим. Спектральна щільність цього шуму в подвоєній смузі частот приблизно може бути представлена виразом
,(3)
де М – коефіцієнт множення лавинного ФД, Р – оптична потужність, що приймається ФД, F(М) – коефіцієнт шуму фотодіода, який залежить від типу фотодіода, звичайно використовується приблизний вираз для F(M), q – заряд електрона.
F(M)=M X
,(4)
де х – постійна шуму, що приблизно дорівнює 0,5 для кремнієвих та 1 для германієвих фотодіодів. Таким чином, враховуючи (3), маємо
.(5)
Слід нагадати, що
де Si
– інтегральна струмова чутливість фотодетектора, і – фотострум.
Вирази (3) та (5) виявляють суттєву відзнаку приймальних пристроїв волоконно-оптичних систем передачі від класичних приймачів радіодіапазону. В оптичних приймачах шум залежить від оптичної потужності сигналу, що приймається. В цьому випадку не можна користуватися уявленнями теорії оптимального прийому, в якій вважається, що шум в приймачі є постійним та незалежним від потужності сигналу.
Для спрощення розрахунків при оцінці Nig
, береться середнє значення фотоструму i. Крім того, якщо зневажити темновим струмом ФД у порівнянні із струмом сигналу, то можна не враховувати й дробовий шум, що викликаний темновим струмом. Спектральна щільність дробового шуму пов’язана із середнім квадратом струму дробового шуму співвідношенням
, (6)
де DF – смуга пропускання приймача.
Тепловий шум.
Цей шум зумовлений резисторами RH
, RA
, R0
. Спектральна щільність теплового шуму має вираз
,(7)
де k – постійна Больцмана (1.38.
10-23
Дж/К), а Т – абсолютна температура,
(8)
Аналогічно (9) маємо
.
Власні шуми вхідного каскаду підсилювача.
Власні шуми вхідного каскаду підсилювача оцінюються шумовим струмом іа
та шумовою напругою eа
(рис. 1) та їх спектральними щільностями Nia
та Nea
(Nea
вимірюється у В2
/Гц).
На практиці майже завжди напруга на виході приймача та вхідний струм пов’язані співвідношенням,якщо коефіцієнт підсилення значно перевищує 1
.(9)
Звичайно опір резистора R0
вибирається, виходячи з вимоги забезпечення смуги пропускання підсилювача DF
.(10)
В цьому разі (9) матиме вигляд u=R0
i.
Середньоквадратичне відхилення випадкової величини u є потужністю шуму. Для частини загального шуму вхідного каскаду, що вноситься шумовими струмами, маємо
. (11)
Для оцінки частини від загального шуму, що вноситься шумовим генератором напруги у колі зворотного зв’язку (рис. 2), потрібно розрахувати співвідношення між ea
та вихідною напругою u при нульовому струмі сигналу
,(12)
де (з урахуванням 8), С=Сc
+Сo
, Cc
=Ca
+Cg
.
Враховуючи вимогу (10), (11) матиме вигляд
.
Знайдемо вираз для дисперсії напруги шуму (або ж потужності шуму)
(13)
На практиці виконується співвідношення , тому (13) матиме вигляд
,(14)
На основі припущення про статистичну незалежність джерел шуму, враховуючи (11), маємо вираз для повної дисперсії шуму
, (15)
Зважаючи на те, що дисперсія випадкової величини u на виході приймача є потужністю шуму, відношення сиг
. (16)
Отже, для оптимізації відношення сигнал/шум потрібно, щоб джерела шумів були слабкими, вхідний струм досить великим (це тривіальні вимоги), а повні опори навантаження та кола зворотного зв’язку – великими (Сс
та С0
– малі, Rc
та R0
– великі).
Спектральні щільності шумової напруги Nea
та шумового струму Nia
вхідного каскаду підсилювача залежать від виду транзистора, що використовується у вихідному каскаді (біполярний або польовий), це питання буде розглянуто надалі.
При проектуванні системи важливо знати мінімальну оптичну потужність на вході фотодетектора, що забезпечує потрібне відношення сигнал/шум (у разі аналогової системи). Введемо середнє у часі значення сигнального струму I та коефіцієнт модуляції m, тоді представимо вираз (16) у вигляді
.(17)
З (17) випливає, що відношення сигналу до шуму зростає із зростанням коефіцієнта модуляції. Вираз (3.26) дозволяє визначити порогову чутливість приймача (при =1), а при >1 – потрібну чутливість. Значення @100 є типовим для цифрових систем, а для аналогових систем необхідно ³104
. Для обчислення значення або необхідної чутливості оптичного приймального пристрою з конкретним фотодіодом та з вибраним резистором навантаження потрібні зведення про шумові властивості вхідного каскаду підсилювача.
При проектуванні ВОСП потрібно знати мінімальну оптичну потужність, що забезпечує потрібну якість зв’язку, а саме: відношення сигналу до шуму в аналогових системах. Цю потужність можливо визначити, користуючись (17). Введемо такі позначення
,(18)
.(19)
З урахуванням (17–18) отримаємо рівняння відносно струму І
.(20)
Вирішуючи (20), та враховуючи зв’язок між сигнальним струмом та оптичною потужністю, що падає на світлочутливу площадку фотодетектора (11), можливо знайти потрібну середню потужність на вході фотодетектора.
Для схем з p-i-n-фотодіодом середня оптична потужність дорівнює
.(21)
Для схем з лавинним фотодіодом середня оптична потужність дорівнює
.(22)
Щоб знайти аналогічні (21) та (22) вирази для цифрових систем передачі потрібно визначати зв’язок між відношенням сигнал/шум та ймовірністю помилки, для чого необхідно проаналізувати процедуру прийняття рішення (стробування) регенеруючим пристроєм. Ця процедура проста, але вона ускладнюється спотвореннями сигналу на виході приймального пристрою. Це явище виникає з двох причин. По-перше, внаслідок обмеження смуги пропускання приймача, а інколи і лінії зв’язку (в разі використання багатомодового світловода) форма імпульсу, що приймається, відрізняється від прямокутної форми. Спостерігаються "хвости" імпульсів поза робочим проміжком часу – міжсимвольна завада (рис. 2), рівні, що відповідають символам "0", не є нульовими.
На практиці приймається рішення про приймання одиниці (наявність імпульсу), якщо сигнал вище, ніж поріг, та про приймання нуля (відсутність імпульсу), якщо сигнал нижче, ніж поріг. Допустиме відхилення моменту прийняття рішення оцінюється безпосередньо окодіаграмою (рис. 2 в), що названа так за подібність її до ока людини. Вертикальне розкриття "ока" характеризує стійкість до шуму – чим ширше розкрите око, тим менше вплив шуму. Оптимальним моментом прийняття рішення є центр "ока". Контур "ока" показує чутливість системи відновлення імпульсної послідовності до положення моменту стробування. Чим крутіше контур "ока", тим менше момент стробування може віддалятися від центру "ока".
Рис. 2 – Моменти прийняття рішення
Другим фактором, що ускладнює процес прийняття рішення, є накладання на корисний сигнал паразитної напруги шуму, миттєва амплітуда якого може бути порівна з порогом.
На практиці звичайно не вдається зменшити вплив обох факторів одночасно. При звуженні смуги пропускання приймального пристрою шум зменшується, але при цьому розтягуються фронти імпульсів.
Спотворення сигналу призводить до прийняття помилкових рішень та одержання деякої кількості неправильних бінарних сигналів. Якість відновлення повідомлення характеризується коефіцієнтом помилок, під яким розуміють відношення кількості неправильних бітів на виході приймача до повної кількості прийнятих бітів.
Знайдемо залежність коефіцієнта помилок від відношення сигнал/шум. Припустимо, що напруга сигналу є випадковою величиною з гауссовським законом розподілення, стандартним відхиленням su
. Вона центрована на u, коли випромінюється символ "1", та на нуль коли передається "0". Тому умовна ймовірність прийняття символу "0" при передачі символу "1" дорівнюватиме ймовірності того, що напруга на виході приймача буде нижче порога US
. Отже, вираз для цієї ймовірності матиме вигляд
.(23)
Аналогічно умовна ймовірність прийому символу, "1" коли передається символ, "0" дорівнюватиме
.(24)
Скористаємося додатковою функцією помилок
.
Тоді заміна перемінних у (23), (24) призводить до таких виразів
(25)
Символи "0" та "1" апріорі вважаються рівноймовірними, а тому повна ймовірність появи помилки дорівнює
,
а якщо зважити, що ймовірність помилки однакова для кожного символу, то
.
З урахуванням (23) маємо таке значення порога
,
а вираз для ймовірності помилки (в разі довгої послідовності імпульсів) має вигляд
,(25)
де Q=US
/su
=U/2su
.
Таким чином, аналітично доведене інтуїтивне припущення, що поріг повинен дорівнювати половині амплітуди імпульсу (центр "ока" на рис. 3). Коефіцієнту помилок еквівалентне встановлення величини Q. Значення параметра Q є пропорційним до відношення синал/шум.
.(26)
Значення параметра Q, які відповідають значенням коефіцієнта помилок Р, наведені у таблиці .1
Таблиця 1 Значення параметра Q
| Q |
4,75 |
6,61 |
6,36 |
| Р |
10-6
|
10-8
|
10-10
|
Вирази для середньої мінімальної оптичної потужності на вході фотодетектора, при котрій коефіцієнт помилок Р не перевищує потрібного, не відрізняються від наведених вище, лише для коефіцієнта А береться інший вираз
А=Q2
DF.(27)
За наведеними формулами (27) проводяться розрахунки мінімальної потужності на вході фотодетектора, при заданому коефіцієнті помилок (цю потужність також називають чутливістю фотодетектора), або визначається коефіцієнт помилки, якщо звісна чутливість фотодетектора.