Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Линейные метрические, нормированные и унитарныепространства

Введение

При решении многих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: как объективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить "близость" двух сигналов.

Оказывается, что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированного пространства, позволяют ответить на эти вопросы.

Введем обозначения. Если R – некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R; или f Ï R означает, что f не принадлежит R.

Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначается символом например - множество точек, принадлежащих полукругу х2
+ y2
£ 1, x ³ 0.

Если M и N – два множества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующим образом

то есть представляет собой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.

1. Линейные метрические пространства

Множество R называется линейным пространством, если

1) в R определена операция "сложения", которая подчиняется всем правилам сложения: если f Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой, что 0 +f = f для всех f Î R;

2) в R определена операция умножения элемента f Î R на числа a из множества К (aÎ К, f Î R Þa f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.

В дальнейшем будем рассматривать только линейные пространства.

Рассмотрим отображение Т, которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейным пространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называется оператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения

T f = h (f Î R, h Î R*).

В частном случае, когда R* - пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.

Пусть уравнение

имеет единственное решение и каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1
. Таким образом можно записать

f = T-1
h.

Представим эту систему в матричном виде

Если ввести пространство матриц – столбцов R, то где

и Здесь оператор А – матрица размера nxn

Если матрица А невырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:

Определение. Линейное пространство R называется метрическим, если каждой паре элементов х, yÎR ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояние между x и y – удовлетворяющее условиям:

1. r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;

2. r (x, y) = r (y, x);

3. r (x, y) £r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).

Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.

В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.

1. С[
a
,
b
]
- пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:

y(t)

r(x,y)

2. L2
(
a
,
b
)
- пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) ÎL2
(
a
,
b
)
, если с метрикой

Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия

следует, что

a1
= a2
= . . . = an
= 0.

В противном случае элементы f1
, f2
, . . . , fn
считаются линейно зависимыми.

Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dimR пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dimR, то пространство обозначается Rm
.

2. Линейные нормированные пространства

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х ÎR ставится в соответствие вещественное число ("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:

1. , тогда х = 0;

2. (однородность нормы);

3. (неравенство треугольника).

Положив для

превращаем нормированное пространство R в метрическое.

Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:

положив

Рассмотренные ранее пространства сигналов С[
a
,
b
]
и L2
(
a
,