Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра РТС

«Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования»

Выполнил ст. гр. 511

Шмелёв А.О.

Проверил

Гришаев Ю.Н.

Рязань 2008

Задание

логарифмическая частотная разомкнутая система

1.Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы по заданным показателям качества.

2.Определить по построенным ЛАХ и ЛФХ запасы устойчивости по усилению и по фазе.

3.Записать передаточную функцию разомкнутой системы по построенной ЛАХ.

4.Рассчитать и построить АЧХ замкнутой системы.

Исходные данные

1.Постоянная ошибка: по укорению (δст
/х0
)·102
=0,5

2.Частота среза: ωср
(2+n)·10-2
=3, где n=1

3.Логарифмический коэффициент передачи L01
на частоте 0.1ωср
не менее 26дБ.

4.Запас устойчивости по фазе Δφ±100
=400

5.Постоянные времени обязательных инерционных звеньев: Тин1
·104
=7, Тин2
·105
=3

6.Частота гармонической помехи (ωп
/ωср
)·10-2
=3

7.Коэффициент подавления помехи Lп
не менее 80дБ

Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы

Построение ЛАХ начинается с низкочастотной асимптоты. Т.к. задана статическая ошибка то система будет статической , наклон ЛАХ для низкочастотной асимптоты будет нулевым и ошибка определяется выражением δст
= х0
/(1+k).

(δст
/х0
)·102
=0,5=> δст
/х0
=0,5*10-2
– относительная ошибка

k= х0
/ δст
-1 =2*102
-1=199 - коэффициент передачи разомкнутой системы

L1
=20lg(k)=20lg(199)=46 – логарифмический коэффициент передачи разомкнутой системы

Т.е. низкочастотная асимптота проводится через т.(1;46) параллельно оси частот.

Для обеспечения требуемого запаса устойчивости по фазе требуется, чтобы ЛАХ пересекала ось частот под наклоном -20дБ/дек на частоте среза.

ωср
(2+n)·10-2
=3=> ωср
=300/3=100 рад/с

Построенные участки ЛАХ соединяются прямой линией под наклоном -40дБ/дек, при этом для обеспечения п.3 исходных данных выбираем ωс1
=5рад/с, тогда т.(10;26) (т. (0.1 ωср
;L01
)) пройдёт ниже прямой с нулевым наклоном.

Сопрягающую частоту ωс2
выбираем из условия запаса устойчивости по фазе Δφ±100
=400
(т.к. последующие типовые и обязательные инерционные звенья будут вносить дополнительный фазовый сдвиг): ωс2
= ωср
/2=50 рад/с .

Построенная ЛАХ сформирована последовательным соединением следующих типовых звеньев: безынерционным k(p)=199, двумя инерционными k(p)=1/(1+Т1
р)2
и форсирующим k(p)=(1+ Т2
p). Т.о. передаточная функция соединения типовых звеньев будет иметь вид:

ЛФХ полученной передаточной функции строится сложением ЛФХ отдельных звеньев.

Из рис видно, что при соединении таких типовых линейных звеньев, ЛФХ системы не попадает в заданный интервал устойчивости по фазе. Для обеспечения этого условия в систему вводится дополнительное инерционное звено с сопрягающей частотой ωс3
лежащей выше частоты среза. Система с дополнительным инерционным звеном будет проходить внутри заданного интервала при ωс3
=333рад/с .

Достраиваем ЛАХ и ЛФХ системы с учетом введенного звена, обязательных инерционных звеньев, п.5 исходных данных, и проверяем требование к подавлению гармонической помехи п.6 и п.7 исходных данных:

Тин1
·104
=7 => Тин1
=7·10-4
с => ωин1
=1/Тин1
=1.43·103
рад/с

Тин2
·105
=3 => Тин2
=3·10-5
с => ωин2
=1/Тин2
=3.3·103
рад/с

(ωп
/ωср
)·10-2
=3 => ωп
=ωср
·3·102
=100·3·102
=30·103
рад/с

Lп
≥ 80дБ

На рис видно, что т.( 30·103
;-80) лежит выше ЛАХ разомкнутой системы, следовательно, требование к подавлению гармонической помехи выполняется.

Определение запасов устойчивости

Проведем графически по построенным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Запас устойчивости по усилению ΔL=24дБ.

Запас устойчивости по фазе Δφ=450
.

Запись передаточной функции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ

При частотах близких к 0 ЛАХ имеет нулевой наклони, значит, формируется безынерционным звеном с передаточной функцией k(p)=k. На ωс1
наклон изменяется на – 40 дб/дек – этот наклон обеспечивается 2 инерционными звеньями с k(p)=1/(1+Т1
р)2
, Т1
=1/ ωс1
. С таким наклоном ЛАХ идёт до ωс2
, а потом наклон становится равным – 20 дб/дек. Изменение наклона на + 20 дб/дек обеспечивается форсирующим звеном с k(p)=(1+Т2
р), Т2
=1/ ωс2
. На ωс3
наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 40 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т3
р). На ωин1
наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 60 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Тин1
р). На ωин2
наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 80 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Тин2
р).

При построении ЛАХ разомкнутой системы использовались типовые линейные звенья, поэтому передаточная функция этой системы может быть записана как совокупность таких звеньев.

,

где k=199

Т1
=1/ωс1
=1/5=0.2с,

Т2
=1/ωс2
=1/50=0.02с,

Т3
=1/ωс3
=1/333=0.003с,

Тин1
=7·10-4
с,

Тин2
=3·10-5
с.

Расчет АЧХ замкнутой системы

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы связана с частотными характеристиками разомкнутой следующим соотношением:

АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы можно найти двумя путями. Во-первых, по построенным J1AX и ЛФХ разомкнутой системы и, во-вторых, по комплексной частотной характеристике разомкнутой системы.

Первый способ: По ЛАХ находим значения Lp
(ω) в диапазоне от 24 до 450рад/с, по ЛФХ находим значения φр
(ω) в этом же диапазоне. Переходим от логарифмического коэффициента передачи к обычному

и строим АЧХ замкнутой системы по значениям Кз
(ω)

ω	24	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	450
Lp (ω)	20	15	10	6	4	3	2	1	0	-6	-9	-15	-20
Кр (ω)	10	5.6	3.2	1.9	1.5	1.4	1.3	1.1	1	0.5	0.4	0.17	0.1
φр (ω)	-140	-144	-143	-140	-140	-140	-135	-135	-135	-140	-153	-162	-171
Кз (ω)	1.1	1.16	1.29	1.46	1.53	1.55	1.41	1.35	1.3	0.7	0.6	0.2	0.1

Второй способ: Подставим в передаточную функцию разомкнутой системы p=jω, получим комплексную частотную характеристику

её модуль будет равен:

ФЧХ

ω	24	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	450
Кр(ω)	9.2	6.2	3.9	2.8	2.1	1.7	1.4	1.2	1.1	0.44	0.25	0.16	0.13
φр(ω)	-135.9	-136.5	-135.6	-134.2	-133	-132.2	-131.7	-131.6	-131.7	-140.5	-151.9	-162.2	-166.8
Кз (ω)	1.1	1.13	1.19	1.26	1.32	1.35	1.33	1.3	1.28	0.6	0.32	0.2	0.15

Генерирование независимых случайных процессов

1.Сформируем лицевую панель в соответствии с методическим указанием к лабораторной работе.

Далее в окне BlockDiagram добавим недостающие элементы: структуру ForLoop и создадим элемент гистограммы. После чего соединим все элементы надлежащим образом. Установим количество отсчетов равным 100 и запустим моделирование.

Произведем вычисление максимальной относительной ошибки вычисления вероятности для различного количества отсчетов N:

100,

1000,

10000,

100000

по следующей формуле: dмакс
= |pi
– ni
/
N
|макс
/ pi
= | pi
N
– ni
|макс
/ pi
N
.

N=100

dмакс
= | 10 –15|/ 10=0.5

N=1000

dмакс
= | 100 –124|/ 100=0.24

N=10000

dмакс
= | 1000 –945|/ 1000=0.065

N=100000

dмакс
= | 10000 –10129|/ 10000=0.0129

Считается, что N(количество экспериментов) и m(количество разрядов) должны находить в следующем соотношении:

m = 3,3lgN + 1

Такая взаимосвязь объясняется тем, что при увеличении количества разрядов необходимо увеличивать количество отсчетов. Иначе гистограмма распределения будет изрезанной и не позволит судить о распределении случайной величины с хорошей точностью.

2.Генерирование случайной последовательности с законом распределения, отличным от равномерного, методом обратной функции.

Скопировали структуру ForLoop – генератор равномерно распределенной случайной последовательности. В переключателе вариантов установили “Нелинейное преобразование”. В образовавшееся пустое поле вставили скопированную структуру ForLoop. Внутри структуры ForLoopcобрали блок-схему программы по формуле u
=
s(-2ln(1 - x
))1/2
.

Установили значение параметра в соответствии с вариантом – 0.5 и количество отсчетов – 1000.

Запустили моделирование. Составим таблицу зависимости ni
(x), pi
(x),:

x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8
ni	87	194	243	198	137	90	38	9	2	2
pi	0.087	0.194	0.243	0.198	0.137	0.09	0.038	0.009	0.002	0.002
	0.087	0.281	0.524	0.74	0.859	0.949	0.987	0.996	0.998	1

3.Генерирование случайных последовательностей сложением равномерно распределенных случайных последовательностей (количество складываемых случайных величин – от 2 до 6).

Добавим еще 6 вариантов: “Сумма двух равномерных”, “Сумма трех равномерных ”, “Сумма четырех равномерных ”, “Сумма пяти равномерных”, “Сумма шести равномерных ”, “Нормированная сумма шести равномерных”.

Для каждого варианта соберем соответствующие схемы в структуре Case.

1)Сумма двух равномерных:

2) Сумма трех равномерных

3)Сумма четырех равномерных

Полученные результаты объясняются тем, что происходит сложение первых и вторых моментов случайных величин. Т.е. при увеличении суммы на одно слагаемое мат ожидание увеличивается на 0.5 (значение мат. ожидания для равномерной случайной величины диапазона 0-1) и десперсия так же увеличивается на 1 (значение дисперсии для равномерной случайной величины диапазона 0-1).

4.Определение близости закона распределения нормированной суммы шести равномерно распределенных случайных величин к нормальному закону.

В окнах BlockDiagram и FrontPanel добавим новые элементы, необходимые для решения поставленной задачи:

Список литературы:

1. Н.А. Виноградова, Я.И. Листратов, Е.В. Свиридов. «
Разработка прикладного программного обеспечения в среде LabVIEW». Учебное пособие – М.: Издательство МЭИ, 2005.

2. http://www.automationlabs.ru/

3. http://digital.ni.com/

4. http://www.labview.ru/

5. http://ru.wikipedia.org/