2.1
Цель работы:
Изучить комбинированный метод для вычисления действительного корня уравнения, уметь использовать данный метод для решения уравнений с использованием ЭВМ.
2.2 Расчётные формулы
Расчётная формула вычисления -го приближения по методу касательных:
.
Расчётная формула вычисления -го приближения по методу хорд:
.
Начальное приближение для метода касательных выбирают в соответствии с условием:
, если ,
или , если .
Начальное приближение для метода хорд тогда принимается , или соответственно.
Процесс вычисления корня останавливается, когда выполняется условие:
,
где – заданная точность.
За приближенное значение корня уравнения принимается:
.
2.3 Подготовительная работа
Вычислить корень уравнения
с точность комбинированным методом.
Графически отделим корни. Для этого данное уравнение запишем в виде
. Строим графики функций
и
(рис. 2.1).
Рисунок 2.1
Точный корень уравнения , отрезок [0;1] – интервал изоляции корня.
Проверяем условия, гарантирующие единственность корня на [0;1] и сходимость метода:
непрерывна на [0;1] и не меняет знак:.
непрерывна на [0;1] и не меняет знак:.
За начальное приближение
Процесс вычисления корня:
.
Условие
не выполняется, процесс вычисления корня продолжается до достижения заданной точности .
Требуемая точность вычисления результата была достигнута за 2 итерации. Результат 0,607199.
2.4 Текст программной реализации
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double f(double x)
{
return 3*x-cos(x)-1;
}
double fw(double x)
{
return 3+sin(x);
}
void main()
{
double xk, xh, tochnost, otvet;
cout<<"Vvedite nachalnoe priblizhenie po metodu kasatelnih xk=";
cin>>xk;
cout<<"nVvedite nachalnoe priblizhenie po metodu hord xh=";
cin>>xh;
cout<<"nX-hordttX-kasatelnihtTochnostn-----------------------------------";
int n;
for(n=0; n<20; n++)
{
xh -= f(xh)*(xk-xh)/(f(xk)-f(xh));
xk -= f(xk)/fw(xk);
tochnost=fabs(xh-xk);
cout<<'n'<<xh<<'t'<<xk<<'t'<<tochnost;
if(tochnost<0.001) break;
};
n++;
otvet=(xh+xk)/2;
cout<<"nnKolichestvo iteraciy="<<n;
cout<<'n'<<'n'<<"Koren uravneniya="<<otvet;
cin>>xk;
}