Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування

ОКРЕМІ ВИПАДКИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

Функції і можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо як функція від є вимірною.

Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.

Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції і таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації : функції і , , повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини , а множини значень припустимих стратегій повинні бути компактними.

На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.

Позначимо через простір елементарних подій, що є довільною множиною, а – деяка система підмножин множини .

Математичним сподіванням випадкової величини , заданої на імовірнісному просторі , називається число , якщо інтеграл з правої частини існує.

Нехай і – борелівські простори, , є -алгеброю в . Функція називається -вимірною, якщо для будь-якої множини . Тут – борелівська -алгебра простору .

Для функції , () зовнішній інтеграл за мірою визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій (), що мажорують , тобто

, .

Тут – функція розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірнісній мірі .

Для довільної функції має місце співвідношення:

,

де , , і вважають, що .

Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції і накладати не треба.

Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.

Зовнішня міра множини визначається співвідношенням .

Для будь-якої множини

,

де – це індикатор множини , що визначається як

а) якщо , то ;

б) якщо і , то ;

в) якщо або , то ;

г) якщо задовольняє рівності , то для будь-якої функції має місце рівність ;

д) якщо , то для будь-якої функції ;

е) якщо і , то . Якщо при цьому хоча б одна з функцій або -вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.

Позначимо через дійсну пряму, а через – розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.

Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для , і припустимо, що і .

Позначимо через множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій , де – простір станів.

– банахів простір всіх обмежених дійсних функцій з нормою, що визначається за формулою

, .

Позначатимемо , якщо , , і , якщо , , .

Для будь-якої функції і будь-якого числа позначимо через функцію, що приймає значення в кожній точці , так, що

, .

Припущення монотонності. Для будь-яких станів , керування і функцій мають місце нерівності

якщо і ;

, якщо і ;

, якщо , і .

Для будь-якого стратегія називається -оптимальною при горизонті , якщо

і -оптимальною, якщо

Багато задач послідовної оптимізації, що становлять практичний інтерес, можуть розглядатися як окремі випадки задач загального виду. Розглянемо деякі з них:

· задачі детермінованого оптимального керування;