Анализ устойчивости САУ

Для исследования устойчивости замкнутой линейной САУ используется частотный критерий устойчивости Найквиста. Структурная схема системы показана на рисунке 2.

Рисунок 2 Замкнутая САУ

Здесь W(p) – передаточная функция разомкнутой САУ. Предположим, что разомкнутая система устойчива. Тогда для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики W(jw) разомкнутой системы (указанная характеристика получается из W(p) заменой p=jw) не охватывал точку с координатами (-1, j0). Частота, на которой |W(jw)| = 1, называется частотой среза (wср
). Для того, чтобы оценить, насколько далеко от границы устойчивости находится система, вводятся понятие запасов устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде (модулю) указывает, во сколько раз необходимо изменить длину радиуса-вектора годографа АФХ, чтобы, не меняя фазового сдвига, вывести систему на границу устойчивости. В свою очередь, запас устойчивости по фазе указывает, на сколько необходимо увеличить по абсолютной величине аргумент АФХ, чтобы, не меняя величину модуля, вывести систему на границу устойчивости. Для абсолютно устойчивых систем запас устойчивости по модулю DH вычисляется по формуле:

где частота w0
определяется из соотношения arg W(jw0
) = - 1800
.

Величина = 1800
+ arg W(jwср
) определяет запас устойчивости по фазе. Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает – 1800
. Выполнение этого условия можно проверить, построив логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ. При этом достаточно просто определяются также запасы устойчивости DН и , как показано на рисунке 3.

Рисунок 3 Определение запасов устойчивости

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

Найдем произведение звеньев системы.

Найдем числитель дроби:

20Lgk=20Lg80400,5=98,1

Рисунок 2. АФЧХ разомкнутой САУ.

Рисунок 3. ЛЧХ разомкнутой САУ.

Выводы:

1. Из рисунка 2 видно, что АФЧХ проходит левее точки с координатами [-1;0], что по критерию Найквиста указывает на не устойчивость системы.

2. По рисунку 3 можно сказать, что система также является не устойчивой, так как не имеется запаса устойчивости.

ЗАКЛЮЧЕИЕ

При выполнении курсовой работы была построена математическая модель системы автоматического управления и рассчитана с использованием программы MATHLAB. В результате всех построений и вычислений были получены следующие результаты:

- значение коэффициента передачи при фазовом сдвиге меньше значения -1 ();

- значение фазного сдвига при коэффициенте передачи больше ().

Согласно этим полученным значениям можно сделать вывод что система, которую мы исследовали, - неустойчива.

Рекомендации: система будет устойчивой, если хотя бы будет запас по одному критерию.

Достаточно чтобы график ЛАХЧ начинался чуть выше значения . Тогда будет запас по коэффициенту передачи и система будет устойчивой. Желаемая характеристика показана на рисунке 3 штриховой линией. В этом случае при фазовом сдвиге получаем запас устойчивости по коэффициенту передачи.