оптимальність у системах керування
1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування
У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу , тобто закон руху має вигляд:
, (1)
а цільовий функціонал дорівнює
. (2)
Тут функції і – неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних , , .
Також вважатимемо, що момент часу , який відповідає початковому стану , відомий, а момент часу проходження через кінцеву точку не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.
Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної . До закону руху при цьому додається рівняння
,
а до початкових умов – співвідношення .
Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:
(3)
а функціонал дорівнюватиме
, (4)
де (відповідно до доданого у початкову систему рівняння).
Отже, неавтономну -вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку розширеного фазового простору з деякою точкою на прямій, яка проходить через точку паралельно осі . Оскільки кінцеве значення змінної невідоме, то нова задача – це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.
Якщо в задачі оптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу й кінцевий момент часу , то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування , що переводить фазову точку системи (2) зі стану в момент часу у стан в момент часу , причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу попадання в точку можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності попадання в точку може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна
, (5)
де – загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, ()-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов набуває вигляду:
(6)
Має місце така теорема.
Припустимо, , – оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція , що відповідає цьому процесу, така що:
1. Для будь-якого функція змінної набуває максимального значення в точці , тобто:
: .
2. , .
Оскільки, як і раніше, , то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка .
Розглянемо випадок, коли при фіксованому правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану за заданий час пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:
, . (7)
Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція досягала максимального значення для кожного на оптимальному керуванні і мала місце умова (7).
2 Поняття особливого керування
На практиці часто зустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійно залежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачах оптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщо функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можлива ситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора керування обертається на нуль всюди на деякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції за не дозволяє однозначно визначити оптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування. Дослідимо її детальніше.
Розглянемо автономну задачу оптимального керування
,
Де; , , , ,
– довільна множина з ;
– лінійний простір кусково-неперервних на функцій.
Крайові умови задачі мають вигляд:
, .
Потрібно знайти таке припустиме керування , що переводить систему зі стану у стан , причому відповідний припустимий процес доставляє мінімальне значення функціоналу
,
де функції , неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних .
Вважатимемо, що функція Понтрягіна для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора . Виділимо із цих компонент групу з керувань (з тих, за якими функція лінійна) і позначимо їх через , а інші керувань зберемо у вектор (він також може включати компоненти, за якими функція лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:
,
де .
Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:
.
Очевидно, що
, . (8)
Припустимо, що процес разом з розв’язком спряженої системи
, , (9)
задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу має місце рівність
, (10)
або, враховуючи (10),
, , . (11)
Ця ситуація означає, що коефіцієнти при на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань називається особливим керуванням на відрізку , процес – особливим режимом, траєкторія – траєкторією особливого режиму, а відрізок часу – ділянкою особливого керування.
З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від . Дійсно, :
.
Тому в даній ситуації умова максимуму по не дає жодної інформації про конкретні значення керувань .
Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що
,
і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.
3. Лінійна задача оптимальної швидкодії
Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:
, , (12)
де , ,
, – числові матриці розмірності та відповідно.
Область керування задачі – замкнутий обмежений багатогранник в :
, , (13)
Якщо для будь-якого вектора , паралельного будь-якому ребру багатогранника , система векторів, , …, (14)є лінійно незалежною, то багатогранник задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).
Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто
.
Перепишемо формулу (10):
, ,
де , – -і рядки матриць і .
Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:
(15)
Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від , то функція досягає максимуму за змінною одночасно з функцією
.
Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:
, ,
або у векторній формі
. (16)
Позначимо через . З теореми 2 випливає, що якщо – оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок системи (16), для якого в кожний момент часу функція набуватиме максимального значення за змінною :
. (17)
Оскільки система (17) з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій і , то всі її розв’язки можна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачі максимізації функції на множині , знаходимо оптимальні керування .
Для будь-якого нетривіального розв’язання системи (11) співвідношення (14) однозначно визначає керування , причому це керування кусково стале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника .
Точки розриву оптимальної функції керування відповідають зміні значення керування і називаються точками перемикання. Якщо – точка перемикання, то ліворуч від неї керування має одне значення, наприклад, , а праворуч інше – .
Позначимо через підмножину у виду
. (18)
Якщо всі корені характеристичного рівняння матриці з (14) є дійсними, то для будь-якого розв’язання рівняння (18) кожна з функцій є кусково сталою і має не більше ніж перемикань ( – порядок системи (16)).
Керування називається екстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.
Для лінійної задачі оптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником керування є екстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання системи (17), для якого матиме місце співвідношення (18).
Зрозуміло, що будь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальне керування, що переводить фазову точку зі стану у стан , треба відшукати всі екстремальні керування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснює перехід за найменший час.
У загальному випадку можуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зі стану у стан , але якщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника , то екстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодії принцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але й одержати умови єдиності оптимального керування.
Припустимо, що початок координат є внутрішньою точкою багатогранника припустимих керувань. Якщо і – два екстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану у стан за час і відповідно, то і , .
У теоремі має місце умова .
Теорема. Якщо існує хоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану у стан , то існує й оптимальне по швидкодії керування, що також переводить систему з у .
4. Умови оптимальності у задачі з рухомими кінцями
У задачі з рухомими кінцями або початковий стан , або кінцевий стан , або обидва ці стани невідомі. Задані тільки множини і , що містять точки та .
Гіперповерхня – це множина всіх точок , які задовольняють співвідношенню
,
де – скалярна диференційована функція. Якщо – лінійна функція, то гіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням
. (19)
Якщо , то гіперплощина (19) є ()-вимірним лінійним підпростором в .
Будь-який ()-вимірний підпростір може бути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з рівнянь із невідомими, матриця якої має ранг :
.
Такий лінійний підпростір називається -вимірною площиною. Множина розв’язань системи нелінійних рівнянь
де функції , …, диференційовані і ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює , є -вимірним гладким різноманіттям.
Задача оптимального керування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустиме керування для системи із законом руху
, , ,
яке переводить фазову точку з деякого, заздалегідь невідомого, стану на -вимірному різноманітті () у деякий стан на -вимірному різноманітті () і надає найменшого значення функціоналу
.
Задача оптимального керування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при , тобто коли різноманіття і вироджуються в точку.
Відсутність рівнянь, що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що система необхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніх рівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.
Умови трансверсальності. Вектор спряжених змінних із принципу максимуму задовольняє умові трансверсальності на лівому кінці траєкторії , якщо вектор ортогональний дотичній площини до різноманіття в точці , тобто
, (20)
де – довільний вектор, що лежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.
Якщо , – оптимальний процес у задачі з рухомими кінцями , , то ненульова вектор-функція , що існує відповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовам трансверсальності.
Розглянемо окремий випадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторії вільний (тобто ). Тоді умови трансверсальності зводяться до співвідношення . Повний вектор спряжених змінних
визначається з точністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що (відповідно до принципу максимуму , ) і тоді
.
Название реферата: Оптимальність у системах керування
| Слов: | 1807 |
| Символов: | 13169 |
| Размер: | 25.72 Кб. |