МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра КТРС
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ»
ВАРИАНТ № 10
Выполнил:
Проверил:
Студент Иванов И.И.
Преподаватель Синельников А.В.
Группа: РКС10-32
Новосибирск 2009
Общее задание
Разработать систему кодирования/декодирования циклического кода для -элементного первичного кода, который обнаруживает и исправляет ошибок. Оценить вероятность получения необнаруживаемой ошибки на выходе системы, если в канале связи меняется от до .
Исходные данные
Необходимые для решения задачи исходные данные выбираются по таблице 1 в соответствии с полученным вариантом.
Таблица 1
Исходные данные для вариантов расчетно-графической работы.
| Вариант № |
Количество элементов в коде |
Количество исправляемых ошибок |
Вариант № |
Количество элементов в коде |
Количество исправляемых ошибок |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 5 6 |
1 5 3 2 4 1 2 4 6 1 3 2 3 3 5 4 2 3 4 2 |
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 |
7 8 9 5 6 7 8 6 7 5 5 6 7 6 9 8 10 5 5 8 |
4 3 1 5 1 2 5 6 1 3 5 2 4 6 3 4 2 4 5 3 |
Этапы выполнения работы
1. Определение числа проверочных элементов избыточного кода.
2. Выбор образующего многочлена для построения кода, указанного в задании.
3. Расчёт матрицы синдромов для однократной ошибки.
4. Построение функциональной схемы устройств кодирования-декодирования полученного кода.
5. Построение графика появления необнаруживаемой ошибки при заданном изменении вероятности ошибки в канале связи.
ЗАДАНИЕ ВАРИАНТА
Разработать систему кодирования/декодирования для k = 8-элементного первичного кода, когда код обнаруживает и исправляет tИ
= 1-ошибку. Оценить вероятность обнаружения ошибки на выходе системы передачи, если вероятность ошибки в канале связи РОШ
меняется от до .
РЕШЕНИЕ
Определение количества поверочных элементов
r
.
Исходя из того, что k = 8 и tИ
= 1, решаем систему уравнений:
Откуда следует:
Составляем таблицу:
|
|
|
| 1 2 3 4 |
1 2 5 12 |
Откуда определяем: r = 4, n = k + r = 8 + 4 = 12.
Выбор образующего полинома
После определения проверочных разрядов r, выбираем образующий полином G(x) (многочлен) степени, равной r.
Образующий полином G(x) должен обладать некоторыми свойствами:
1) Остатки от деления должны быть все разные, т.е. его нельзя составить из степеней низших порядков, он неприводимый.
2) Число остатков у этого полинома должно быть равно количеству ошибок в коде, т.е. такие полиномы примитивные.
С помощью таблицы образующих полиномов можно найти необходимый полином. В приводимой таблице указаны некоторые свойства этих многочленов и соотношения между ними. Приводятся примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэффициентов. Многочлены даны в восьмеричном представлении.
Двойственный многочлен неприводимого многочлена также неприводим, а двойственный многочлен примитивного многочлена примитивен. Поэтому каждый раз в таблице приводится либо сам многочлен, либо двойственный многочлен. Каждая запись в таблице, оканчивающаяся некоторой буквой, соответствует некоторому неразложимому многочлену указанной степени. Для степеней от 2 до 16 этими многочленами, а также двойственными к ним исчерпываются все неразложимые многочлены этих степеней.
Буквы, которые приведены после восьмеричного представления многочлена, дают о нем следующую информацию:
A
,
B
, С,
D
Не примитивный
Е,
F
,
G
, Н
Примитивный
A
,
B
, Е,
F
Корни линейно зависимы
С,
D
,
G
, Н
Корни линейно независимы
A
,
C
, Е,
G
Корни двойственного многочлена линейно зависимы
B
,
D
,
F
, Н
Корни двойственного многочлена линейно независимы Выписываем часть таблицы не
Из таблицы выбираем полином (1 23F) и затем переводим из восьмеричного в двоичное представление:
Получили образующий полином:
G(x) = x4
+ x + 1.
Проверка образующего полинома
1. Определяем необходимое кодовое расстояние:
2. Вычисляем: f(x) = xk
-1
= x7
= 10000000
3. Находим: f(x)xr
= x11
= 100000000000
4. Поделим f(x)xr
на G(x):
x11
x4
+ x + 1
x11
+ x8
+ x7
x7
+ x4
+ x3
+ x
x8
+ x7
x8
+ x5
+ x4
x7
+ x5
+ x4
x7
+ x4
+ x3
x5
+ x3
x5
+ x2
+ x
x3
+ x2
+ x = r(x) = 1110
Полученный остаток от деления является комбинацией проверочных элементов:
r(x) = 1110
5. Записываем многочлен комбинации:
F(x) = f(z)xr
+ r(x) = 100000001110
Определяем вес многочлена (количество единиц в комбинации): V = 4.
6. Сравниваем V с d0
, поскольку выполняется условие: V ³ d0
, то выбранный полином подходит как образующий.
Построение матрицы синдромов для однократной ошибки
Для определения элементов матрицы синдромов будем вносить ошибку в кодовую комбинацию (F(x) = 100000001110) поочерёдно начиная со старшего разряда, затем делить на образующий полином, полученный остаток и будет одной из строк матрицы синдромов. Пусть ошибка произошла в самом старшем разряде, тогда она имеет вид 000000001110, т.е. деление такого числа на образующий полином и есть это число. Следовательно это синдром для ошибки в разряде а1. Определим синдромы для остальных разрядов.
для а2:
x10
x4
+ x + 1
x10
+ x7
+ x6
x6
+ x3
+ x2
+ 1
x7
+ x6
x7
+ x4
+ x3
x6
+ x4
+ x3
x6
+ x3
+ x2
x4
+ x2
x4
+ x + 1
x2
+ x + 1 = s(x) = 0111
для а3:
x9
x4
+ x + 1
x9
+ x6
+ x5
x5
+ x2
+ x
x6
+ x5
x6
+ x3
+ x2
x5
+ x3
+ x2
x5
+ x2
+ x
x3
+ x = s(x) = 1010
для а4:
x8
x4
+ x + 1
x8
+ x5
+ x4
x4
+ x + 1
x5
+ x4
x5
+ x2
+ x
x4
+ x2
+ x
x4
+ x + 1
x2
+ 1 = s(x) = 0101
для а5:
x7
x4
+ x + 1
x7
+ x4
+ x3
x3
+ 1
x4
+ x3
x4
+ x + 1
x3
+ x + 1 = s(x) = 1011
для а6:
x6
x4
+ x + 1
x6
+ x3
+ x2
x2
x3
+ x2
= s(x) = 1100
для а7:
x5
x4
+ x + 1
x5
+ x2
+ x x
x2
+ x = s(x) = 0110
для а8:
x4
x4
+ x + 1
x4
+ x + 1 1
x + 1 = s(x) = 0011
Таким образом, матрица синдромов имеет вид:
Полученная матрица синдромов используется для алгоритма построения дешифратора ошибок разрабатываемого далее декодера.
Схема кодера циклического кода (12, 8)
Образующий полином G(x) можно представить в виде:
G(x) = g4
x4
+ g3
x3
+ g2
x2
+ g1
x + g0
, где g4
= 1, g3
= 0, g2
= 0, g1
= 1, g0
= 1.
Тогда устройство кодирования имеет вид:
Рис.1. Схема устройства кодирования циклического кода (12, 8).
Принцип работы устройства:
В исходном состоянии ключ находится в положении 1, на вход устройства поступает первичная кодовая комбинация f(x) (начиная со старшего разряда). Через k-тактов вся первичная кодовая комбинация поступит на выход, а в результате деления (благодаря обратной связи) образуется остаток. Ключ переключается в положение 2. Таким образом, через n-тактов на выходе получим F(x).
Схема декодера циклического кода (12, 8).
Рис.2. Схема устройства декодирования циклического кода (12, 8).
Принцип работы устройства:
Исходная комбинация F(x) подается в буферный регистр и одновременно в декодирующий регистр. Если с приходом последнего символа, зафиксирован нулевой остаток (синдром 0000), то ошибок нет, если же не нулевой, то есть. Принятая комбинация подается через выходной сумматор, и искаженный сигнал исправляется.
Оценка вероятности обнаруживаемой ошибки на выходе системы передачи
Определим вероятность ошибочного приема кодовой комбинации в условиях биномиального распределения ошибок. При помехоустойчивом кодировании различают ошибки двух типов:
· Обнаруживаемые или исправляемые кодом.
· Необнаруживаемые ошибки.
Вероятности появления необнаруживаемых ошибок (в режиме исправления):
С помощью программы в среде МАТКАД производим расчеты и получаем графическую зависимость вероятности необнаруживаемых ошибок от вероятности ошибки элемента:
Рис.3. График зависимости вероятности не обнаруживаемой ошибки Рно
на выходе системы передачи от вероятности ошибки в канале связи Рош
.
Из графика видим, что с увеличением вероятности ошибки в канале вероятность обнаружения ошибки на выходе системы передачи также увеличивается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды исправляющие ошибки. – М.: Мир, 1976г.
2. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Радио и связь, 1979г.
3. Основы передачи дискретных сообщений: Учебник для вузов / Ю.П. Куликов, В.М. Пушкин, Г.И. Скворцов и др.: Под ред. В.М. Пушкина. – М.: Радио и связь, 1992.- 288 с., ил.