Сигнали та процеси в радіотехніці

Технічне завдання

Основна мета курсової роботи - закріплення, узагальнення та поглиблення знань, отриманих студентами при вивченні дисциплін „Основи теорії кіл".

Завдання включає в себе п’ять розділів:

Аналогові сигнали та кола

Модульовані сигнали

Дискретні сигнали та кола

Узгоджені фільтри (випадкові сигнали)

Проходження сигналів через лінійні кола

Вихідні дані:

Заданий сигнал: Задане коло:

Таблиця вихідних даних

Скважність	Час існування імпульсу , мкс	Амплітуда сигналу , мкВ	Відношення
2	10	1	1.5

Зміст

Технічне завдання

1. Аналогові сигнали та кола

1.1 Визначення спектру вхідного сигналу

1.2 Синтез вхідного сигналу

1.3 Визначення частотних та часових характеристик кола

1.4 Визначення сигналу на виході кола

2. Модульовані сигнали

2.1 Амплітудна модуляція

2.2 Кутова модуляція

2.3 Амплітудний спектр ЧМК

3. Дискретні сигнали

3.1 Вибірки вхідного сигналу

3.2 Імпульсний відгук

3.3 Сигнал на виході кола. Дискретна згортка

3.4 Cпектри дискретного сигнала на вході кола

3.5 АЧХ і ФЧХ дискретного кола.

3.6. Спектр сигнала на виході кола

3.7 Синтез вихідного сигналу

4. Узгоджена фільтрація

4.1 Автокореляційна функція вхідного сигналу

4.2 Коефіцієнт передачі та імпульсний відгук узгодженого фільтра

4.3 Відгук узгодженого фільтра

5. Проходження сигналів через кола

5.1 Визначити смугу пропускання селективного кола для проходження АМК, ФМК та ЧМК, яка забезпечує проходження сигналів без спотворень

5.2 Зобразити структурну схему приймача, який забезпечує прийом, підсилення, детектування радіосигналу, підсилення та реєстрацію відеосигналу

5.3 Побудувати схему амплітудного детектора, розрахувати його параметри, дати пояснення принципу роботи

5.4 Побудувати схему частотного детектора для детектування ЧМ-сигналу. Визначити сигнал на виході детектора

5.5 Розробити та привести структуру цифрового фільтра, обчисленого у третьому розділі

1. Аналогові сигнали та кола
1.1 Визначення спектру вхідного сигналу

Запишемо спочатку математичний вираз для поодинокого сигналу. Використовуючи одиничну функцію Хевісайда, маємо:

(1.1)

Тобто сигнал запишеться наступним чином:

(1.2)

Або з допомогою кусочно-неперервних функцій:

(1.3)

Тепер легко записати математичний вираз для Т-періодичного сигналу такої ж форми:

(1.4)

Графік сигналу у випадку неперіодичного сигналу наведений на рис.1.1, у випадку періодичного - на рис 1.2

Рисунок 1.1 Графік неперіодичного сигнала

Рисунок 1.2 Графік періодичного сигнала

Представимо поодинокий сигнал в просторі зображень по Лапласу. Для цього скористаємось таблицею зображень, властивістю лінійності, а також теоремою запізнення.

За формулою (1.3) запишемо зображення сигналу F (p):

(1.5)

Запишемо спектральну щільність S (jω), використовуючи отриману формулу (1.5), а також зв’язок між перетвореннями Лапласа і Фур’є.

Спростимо вираз в дужках:

Тоді матимемо:

(1.6)

Спектральна щільність-коплексна величина. Так і повинно бути, адже данний сигнал є сигналом загального виду.

Використовуючи відоме співвідношення , де - комплексні коефіцієнти ряда Фур’є, , і враховуючи, що , знайдемо

(1.7)

Так як -шпаруватість сигналу (задано з умови), а Е=1В (розрахунки ведуться в нормованому вигляді), маємо:

(1.8)

Формула (1.8) - вираз для комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є. Перед тим, як складати таблицю для , знайдемо як середнє значення функції u (t) за період:

.

Складемо таблицю для , причому останню гармоніку в спектрі беремо на рівні 0.1 від гармоніки з максимальною амплітудою.

Таблиця 1.1

k
0	0
1	0.336
2	-0.405j
3	-0.217
4	0
5	-0.078
6	0.045j
7	0.007
8	0
9	-0.04
10	0.016j
11	0.016
12	0

Складемо таблицю для амплітудного і фазового спектрів:

Таблиця 1.2

k	, В	, рад
0	0	0
1	0.336	0
2	0.405	-1.571
3	0.217	-3.142
4	0	1.571
5	0.078	-3.142
6	0.045	1.572
7	0.007	0
8	0	-1.572
9	0.04	-3.142
10	0.016	1.571
11	0.016	-3.142
12	0	1.572

Згідно таблиці 1.2, побудуємо графіки амплітудного (рис.1.3) і фазового (рис.1.4) спектрів.

Рис 1.3 Амплітудний спектр.

Рис.1.4 Фазовий спектр.

Визначимо ширину спектру з розрахунку, що двонадцята гармоніка остання:

. (1.9)

Знаючи, що обвідна спектра періодичного сигналу є спектром неперіодичного сигналу легко зобразити спектральну щільність останнього. Розрахуємо таблицю та побудуємо графік.

Таблиця 1.3

,
0	0

Рисунок 1.5 Спектр неперіодичного сигнала

1.2 Синтез вхідного сигналу

Проведемо синтез вхідного сигналу. Для цього візьмемо 48 точок (інтервалів, в данному випадку). Задамося часом, вираженим у градусах з інтервалом . Підсумуємо всі гармоніки за допомогою ЕОМ і відобразимо розрахунки в таблиці.

Таблиця 1.4

№ точки	n, град	u (n), В
0	0	0.035
1	7.5	0.162
2	15	0.327
3	22.5	0.496
4	30	0.676
5	37.5	0.848
6	45	0.932
7	52.5	0.861
8	60	0.674
9	67.5	0.481
10	75	0.331
11	82.5	0.183
12	90	0
13	97.5	-0.183
14	105	-0.331
15	112.5	-0.481
16	120	-0.674
17	127.5	-0.861
18	135	-0.932
19	142.5	-0.848
20	150	-0.676
21	157.5	-0.496
22	165	-0.327
23	172.5	-0.162
24	180	-0.035
25	187.5	0.015
26	195	0.005
27	202.5	0.010
28	210	-0.002
29	217.5	0.007
30	225	0.001
31	232.5	-0.006
32	240	0
33	247.5	0.005
34	255	0
35	262.5	-0.005
36	270	0
37	277.5	0.005
38	285	0
39	292.5	-0.005
40	300	0
41	307.5	0.006
42	315	-0.001
43	322.5	-0.007
44	330	0.002
45	337.5	0.010
46	345	-0.005
47	352.5	-0.015
48	360	0.035

Для контролю перевіримо одну точку ручним обчисленням. Нехай аргумент дорівнює .

Таблиця 1.5

k	1	2	3	4	5	6
	0.081	0.207	0.156	0	-0.076	-0.045
k	7	8	9	10	11	12
	-0.007	0	0.003	0.008	0.004	0

Тоді , що співпадає з нашими розрахунками. Побудуємо графік синтезованого сигналу.

Рис.1.6 Синтез вхідного сигнала.

1.3 Визначення частотних та часових характеристик кола

Для заданного кола розрахуємо коефіцієнт передачі:

Рисунок 1.7 Схема кола

Як відомо, коефіцієнт передачі:

, (1.10)

де , . Тоді виконавши математичні перетворення отримаємо:

Неважко перевірити, що при R1=R2 загальний вихідний опір буде дорівнювати R/2:

(1.11)

А отже стала часу кола буде дорівнювати:

(1.12)

Вважаючи, що R1=R2=R та поділивши числівник та знаменник дробі 1.19 на 2R, отримаємо:

. (1.13)

Тоді відповідно амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) K (ω) та фазочастотна характеристика (ФЧХ) φ (ω) матимуть вирази:

(1.14)

(1.15)

Розрахуємо і побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ. Врахуємо, що

.

Для таблиці та графіків розрахуємо та на частотах гармонік, тобто:

(1.16)

(1.17)

Таблиця 1.6

k		, рад
0	0.5	0
1	0.885	0.259
2	0.965	0.15
3	0.984	0.103
4	0.991	0.078
5	0.994	0.063
6	0.996	0.053
7	0.997	0.045
8	0.998	0.04
9	0.999	0.035
10	0.999	0.032
11	0.999	0.029
12	0.999	0.026

Рисунок 1.8 АЧХ кола.

Рисунок 1.9 ФЧХ кола.

Знайдемо вирази для перехідної та імпульсної характеристик кола. Для кіл І порядку перехідна характеристика має вигляд:

, (1.18)

де g (0) - початкове значення перехідної функції,

g () - її стаціонарне значення;

, - стала часу кола, - коефіцієнт згасання.

На початку перехідного процесу ємність являє собою коротке замикання, тому . Далі (через час ) струм наближується до значення 0.5 (ємність не пропускає постійний струм), тому . Отже перехідна характеристика набуде вигляду:

(1.19)

Як бачимо, на вихід схеми проходить -функція, тому імпульсна характеристика в загальному матиме вигляд:

(1.20)

Продиференціюємо формулу (1.19) і підставимо в (1.20), отримаємо:

(1.21)

Нормовані графіки g (t) і h (t) зображені на рис.1.10 і рис.1.11

Рисунок 1.10 Перехідна характеристика кола.

Рисунок 1.11 Імпульсна характеристика кола.

Скористаємось перетворенням Фур’є

. Маємо:

Таким чином, між часовими та частотними характеристиками існує однозначний зв’язок.

1.4 Визначення сигналу на виході кола

Нехай і - відповідно модуль і фаза вихідного сигналу. Як відомо:

, , (1.22)

де і - відповідно амплітуди і фази вхідного сигналу,

і - значення модуля і фази коефіцієнта передачі на частотах гармонік.

Відобразимо розрахунки в таблиці 1.7 та в графіках модуля і фази (рис.1.10 і 1.11 відповідно).

Таблиця 1.7

k	, В	, рад
0	0	0
1	0.297	0259
2	0.391	-1.421
3	0.214	-3.038
4	0	1.649
5	0.078	-3.079
6	0.045	1.624
7	0.007	0.045
8	0	0
9	0.004	0.035
10	0.016	-1.539
11	0.016	-3.113
12	0	1.597

Рисунок 1.10 Амплітудний спектр на виході кола.

Рисунок 1.11 Фазовий спектр на виході кола.

Проведемо синтез сигналу на виході кола. Розрахунки відобразимо в таблиці та побудуємо часовий графік.

Таблиця 1.8

№ точки	t, град	u (t), В
0	0	0.048
1	7.5	0.171
2	15	0.325
3	22.5	0.481
4	30	0.636
5	37.5	0.780
6	45	0.834
7	52.5	0.734
8	60	0.527
9	67.5	0.323
10	75	0.169
11	82.5	0.023
12	90	-0.150
13	97.5	-0.317
14	105	-0.445
15	112.5	-0.569
16	120	-0.723
17	127.5	-0.883
18	135	-0.916
19	142.5	-0.797
20	150	-0.599
21	157.5	-0.402
22	165	-0.224
23	172.5	-0.058
24	180	0.065
25	187.5	0.107
26	195	0.089
27	202.5	0.068
28	210	0.070
29	217.5	0.073
30	225	0.061
31	232.5	0.050
32	240	0.051
33	247.5	0.052
34	255	0.043
35	262.5	0.035
36	270	0.037
37	277.5	0.039
38	285	0.031
39	292.5	0.023
40	300	0.027
41	307.5	0.030
42	315	0.021
43	322.5	0.013
44	330	0.021
45	337.5	0.027
46	345	0.011
47	352.5	0
48	360	0.048

Аналогічно для контролю перевіримо одну точку ручним обчисленням. Нехай аргумент дорівнює .

Таблиця 1.9

k	1	2	3	4	5	6
	0.001	0.143	0.135	0	-0.074	-0.045
k	7	8	9	10	11	12
	-0.007	0	0.003	0.009	0.005	0

Тоді , що підтверджує правильність розрахунків.

Побудуємо графік синтезованого сигналу на виході кола.

Рис.1.12. Синтезований сигнал на виході кола.

Визначимо сигнал на виході кола часовим методом. Скористаємось при цьому наступною формулою інтеграла Дюамеля:

(1.23)

Для заданого сигналу маємо розглянути два проміжки часу - до моменту закінчення імпульсу та після закінчення імпульсу:

(1.24)

Відразу зауважимо, що інтеграл дорівнює нулю на проміжку часу , оскільки після закінчення імпульсу сигнал рівний нулю, тобто ніякого впливу на вхідне коло, окрім перехідного процесу, заданий сигнал вже не має. Візьмемо інтеграл 1.23 в загальному вигляді в границях від до :

(1.25)

У виразі 1.25 останній з додатків представляє собою табличний інтеграл:

(1.26)

З урахуванням 1.26 вираз 1.25 перепишеться наступним чином:

(1.27)

Виходячи з виразу 1.25 та використовуючи 1.28 маємо розглянути два проміжки часу, підставляючи замість спочатку , а потім - :

1) , :

(1.28)

2) , :

(1.29)

Побудуємо графік у відносному масштабі. Занесемо дані в таблицю.

Таблиця 1.10

	y (t)		y (t)
0	0	1.409	0.043
0.136	0.511	1.545	0.033
0.25	0.893	1.682	0.025
0.386	0.288	1.818	0.019
0.523	-0.238	1.955	0.015
0.659	-0.703	2,091	0.011
0.75	-0.987	2.227	0.008
0.875	-0.36	2.364	0.006
1	0.098	2.5	0.005
1.136	0.136	2.636	0.004
1.273	0.057	2.773	0.003

Рисунок 1.14. Сигнал на виході кола

2. Модульовані сигнали
2.1 Амплітудна модуляція

Оберемо коефіцієнт модуляції АМК М=1/2.

Тоді амплітуда несучого коливання буде рівною:

Розрахуємо парціальні коефіцієнти модуляції для кожної гармоніки:

Таблиця 2.1

n	An	Mn	, гр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	0.336 0.405 0.217 0 0.078 0.045 0.0068 0 0.004 0.016 0.016	0.168 0.203 0.109 0 0.039 0.023 0.0034 0 0.002 0.008 0.008	0 90 180 90 180 90 0 90 0 90 180

При побудові часової залежності врахуємо, що повинна забезпечуватися умова вузькосмугового модульованого сигналу.

Тому оберемо несучу частоту

ω0
= 10Ωмах
= 10·11Ω = 110Ω,

де Ω - частота керуючого сигналу, Ωмах
- найвища гармоніка. Вираз для часової залежності АМК має вигляд:

(2.1)

У нашому випадку маємо багатотональну модуляцію - отримаємо наступну залежність:

(2.2)

У отриману формулу підставимо парціальні коефіцієнти модуляції та фази гармонік:

, В

4

2

Ωt

Побудуємо графік АМК:

Рис. 2.1 Графік АМК

Для побудови спектру АМК скористаємося теоремою зсуву, згідно з якою при модуляції результуючий спектр за формою співпадає зі спектром керуючого сигналу, але зміщений відносно нього на величину - несучу частоту.

Амплітуда n - ї бічної складової АМ-сигналу обчислюється за формулою:

,

де М - коефіцієнт модуляції, Мn
- парціальні коефіцієнти модуляції, U0
- амплітуда несучого коливання, An
-амплітуди n-ї гармоніки керуючого сигналу. Врахуємо чисельні значення М та U0
:

(2.3)

Побудуємо спектр АМК:

Рис. 2.2 Спектр АМК

Побудуємо векторну діаграму АМК у момент t=0. Кожній гармоніці відповідає пара векторів довжиною А ́n
, які обертаються назустріч один одному з відповідною частотою ω0
±nW та початковою фазою . Так як сама система координат обертається з частотою ω0
, несуче коливання відображується нерухомим вектором U0
. Для оглядності обмежимося зображенням 6 пари бічних складових включно.

Рис. 2.3 Векторна діаграма АМК 2.2 Кутова модуляція

У випадку ЧМК частота несучого коливання змінюється пропорційно миттєвій амплітуді керуючого коливання. Функція частоти тоді буде мати вигляд:

,

де коефіцієнт к визначає девіацію частоти. Так як амплітуда сигналу дорівнює одиниці, то . Для забезпечення вузькосмуговості девіацію частоти обирають значно меншою за несучу. Не обмежуючи загальності для зручності візьмемо k=1:

t

(2.4)

Рис. 2.4 Залежність частоти ЧМК від часу

Поточну фазу знайдемо за формулою:

(2.5)

Якщо процес почався при t=0, то

Так як керуючий сигнал заданий на чотирьох інтервалах часу, то результат також отримаємо для чотирьох інтервалів. Функція фази накопичувальна, тому для кожного наступного інтервалу можна використати повну фазу, накопичену у попередньому інтервалі:

(2.6)

Розрахуємо значення вирази:

(2.7)

Поточна фаза буде визначатися складною функцією:

, рад

t, с

Рис. 2.5 Залежність фази ЧМК від часу

У випадку ФМК фаза несучого коливання змінюється пропорційно миттєвій амплітуді керуючого коливання. Функція фази тоді буде мати вигляд:

Як і у попередньому пункті, для спрощення розрахунків візьмемо k=1.

Для чотирьох інтервалів отримаємо:

(2.7)

Побудуємо графік фази ФМК:

Рисунок 2.6 Залежність фази ФМК від часу

Частота ФМК знаходиться за формулою:

(2.8)

Остаточний вираз буде мати такий вигляд:

(2.9)

Отриманий результат зобразимо на графіку:

Рисунок 2.7 Залежність частоти ФМК від часу

У загальній формі вирази для ФМК та ЧМК мають вигляд:

(2.10)

Виконаємо перетворення виразу:

(2.11)

Таким чином, з точністю до константи у фазі отримали фазово-модульований сигнал з парціальними індексами модуляції

(2.12)

Отже, часова залежність для ФМК та ЧМК має однаковий вигляд, відрізняються лише індекси модуляції.

Несучу частоту візьмемо рівною . Оберемо коефіцієнти фазової та частотної модуляції (вирази (2.1), (2.2)).

Функція часу для ЧМК тоді буде мати вигляд:

2.3 Амплітудний спектр ЧМК

Часовий запис ЧМК для довільного керуючого сигналу у загальній формі має вигляд:

де Jn
(m) - функція Бесселя n
-го порядку від аргументу m
.

Оберемо індекс модуляції по частоті . Тоді розрахуємо парціальні індекси модуляції за формулою (2.3). Отримаємо:

де An
- гармоніки керуючого сигналу

Таблиця 2.2

n	1	2	3	4	5
An	0.336	0.405	0.217	0	0.078
mn	1.679	1.013	0.362	0	0.078

Обмежимося рівнем 0.1 від максимального m - отримаємо кількість множників n=3:

Таблиця 2.3

n	1	2	3
mn	1.679	1.013	0.362

У цьому випадку запис сигналу у часовій області буде апроксимований наступним виразом:

Знайдемо амплітуди бічних складових ЧМК. Для цього згрупуємо коефіцієнти при експонентах . Верхні бічні складові Аn
:

При заходженні амплітуд від’ємних бічних складових врахуємо, що функції Бесселя з непарними індексами будуть від’ємними. Тоді амплітуди гармонік будуть мати вигляд:

Розраховані амплітуди нижньої і верхньої бічних складових та спектр ЧМК приведені далі.

Таблиця 2.4

n	An , B	n	An , B
-9 8 7 6 5 4 3 2 1 0	-0.0058 0.012 0.013 0.014 0.071 0.0058 0.192 0.027 0.424 0.301	1 2 3 4 5 6 7 8 9	0.424 0.379 0.303 0.243 0.135 0.077 0.030 0.012 0.0058

Рисунок 2.8 Спектр ЧМК

3. Дискретні сигнали
3.1 Вибірки вхідного сигналу

Визначимо кількість виборок вхідного сигналу на основі кількості гармонік керуючого коливання:

(3.1)

Рисунок 3.1 Вибірки вхідного сигналу.

Значення числа N узгоджено з двійковим кодом . Визначимо масив вибірок вхідного сигналу . Запишемо сигнал через виборки:

(3.2)

Складемо таблицю:

Таблиця 3.1

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0.25	0.5	0.75	1	0.75	0.5	0.25	0	-0.25	-0.75
k	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
	-0.5	-0.25	0	0	0	0	0	0	0	0	0
k	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

3.2 Імпульсний відгук

Задана схема - фільтр нижніх частот, у якого на вихід проходить

-функція з коефіцієнтом 1. Тому треба це врахувати у нульовій виборці. Також зазначимо, що за рахунок дільника напруги () треба всі виборки взяти з коефіцієнтом ½. Тому запишемо кінцевий вираз для :

, (3.3)

де a і b - коефіцієнти нормування. Розрахуємо їх:

; (3.4)

Відобразимо розрахунки в таблиці, і накреслимо графік.

Таблиця 3.2

k		k		k		k
0	0.969	8	-0.023	16	-0.008	24	-0.003
1	-0.055	9	-0.020	17	-0.007	25	-0.003
2	-0.049	10	-0.018	18	-0.007	26	-0.002
3	-0.043	11	-0.016	19	-0.006	27	-0.002
4	-0.038	12	-0.014	20	-0.005	28	-0.002
5	-0.033	13	-0.012	21	-0.004	29	-0.001
6	-0.029	14	-0.011	22	-0.004	30	-0.001
7	-0.026	15	-0.010	23	-0.003	31	-0.001

Рисунок 3.2 Імпульсний відгук.

Зробимо перевірку правильності результатів, використовуючи співвідношення . Для заданого кола К (0) =0.5.

3.3 Сигнал на виході кола. Дискретна згортка

Математичний вираз дискретної згортки має вигляд:

(3.5)

Для заданого сигналу запишемо кожну виборку окремо:

(3.6)

Використовуючи таблиці 3.1 та 3.2 виконаємо розрахунки та зведемо в таблицю 3.3:

Таблиця 3.3

n		n
0	0	>16	0.098
1	0.242	17	0.086
2	0.471	18	0.076
3	0.687	19	0.067
4	0.892	20	0.059
5	0.604	21	0.052
6	0.335	22	0.046
7	0.083	23	0.041
8	-0.154	24	0.036
9	-0.378	25	0.032
10	-0.591	26	0.028
11	-0.793	27	0.025
12	-0.986	28	0.022
13	-0.687	29	0.019
14	-0.408	30	0.017
15	-0.147	31	0.015

Рисунок 3.3 Сигнал на виході кола

Побудуємо графік сигнала на виході кола:

3.4 Cпектри дискретного сигнала на вході кола

Математичний вираз для амплітудного спектра в комплексній формі записується:

, (3.7)

де N=32 - кількість виборок, .

Запишемо матрицю дискретного перетворення Фур’є:

(3.8)

Матриця (3.8) значною мірою спрощується, якщо врахувати спряженність її елементів. Це значить, що для заданого сигнала (q=2) слід розглядати лише четверту частину цієї матриці

де,, а для решти елементів отримується як спряжені.

Згідно з проведеними викладками розрахуємо та зведемо розрахунки до таблиці 3.4

Таблиця 3.4

n		n		n
0	0	11	-0.012	22	0.001j
1	0.168	12	0	23	0.003
2	-0.205	13	-0.01	24	0
3	-0.112	14	0.008j	25	0.004
4	0	15	0.002	26	-0.025j
5	-0.042	16	0	27	-0.042
6	0.025j	17	0.002	28	0
7	0.004	18	-0.008j	29	-0.112
8	0	19	-0.01	30	-0.205
9	0.003	20	0	31	0.168
10	-0.001j	21	-0.012

Для перевірки рахунків, прорахуємопри n=2

Тобто, що підтверджує правильність отриманих результатів.

Складемо таблицю для амплітудного та фазового спектру, побудуємо відповідні графіки.

Таблиця 3.5

n			n			n
0	0	0	11	0.012	-3.14	22	0.001	1.57
1	0.168	0	12	0	1.57	23	0.003	0
2	0.205	-1.57	13	0.01	-3.14	24	0	-1.57
3	0.112	-3.14	14	0.008	1.57	25	0.004	0
4	0	1.57	15	0.002	0	26	0.025	-1.57
5	0.042	-3.14	16	0	-1.57	27	0.042	-3.14
6	0.025	1.57	17	0.002	0	28	0	1.57
7	0.004	0	18	0.008	-1.57	29	0.112	-3.14
8	0	-1.57	19	-0.01	-3.14	30	0.205	1.57
9	0.003	0	20	0	1.57	31	0.168	0
10	0.001	-1.57	21	0.012	-3.14

Рисунок 3.4 Амплітудний спектр вхідного сигналу.

Рисунок 3.5 Фазовий спектр вхідного сигналу

3.5 АЧХ і ФЧХ дискретного кола.

Математичний вираз для дискретного кола має вигляд:

, (3.9)

де - дискретна частота.

За допомогою ДПФ, скориставшись ЕОМ, розрахуємо . Результати розрахунків відобразимо в таблиці 3.6.

Таблиця 3.6

		n		n
0	0.510	11	0.998+0.016j	22	0.998-0.020j
1	0.859+0.221j	12	0.998+0.013j	23	0.997-0.025j
2	0.995+0.140j	13	0.998+0.009j	24	0.997-0.030j
3	0.979+0.097j	14	0.999+0.006j	25	0.996-0.037j
4	0.988+0.072j	15	0.999+0.003j	26	0.994-0.045j
5	0.992+0.056j	16	0.999	27	0.992-0.056j
6	0.994+0.045j	17	0.999-0.003j	28	0.988-0.072j
7	0.996+0.037j	18	0.999-0.006j	29	0.979-0.097j
8	0.997+0.030j	19	0.998-0.009j	30	0.995-0.140j
9	0.997+0.025j	20	0.998-0.013j	31	0.859-0.221j
10	0.998+0.020j	21	0.998-0.016j

Занесемо до таблиці 3.7 і вібірки АЧХ і ФЧХ.

Таблиця 3.7

n			n			n
0	0.510	0	11	0.998	0.016	22	0.998	-0.020
1	0.887	0.252	12	0.998	0.013	23	0.998	-0.025
2	0.965	0.145	13	0.999	0.009	24	0.997	-0.030
3	0.984	0.098	14	0.999	0.006	25	0.997	-0.037
4	0.990	0.073	15	0.999	0.003	26	0.995	-0.046
5	0.994	0.057	16	0.999	0	27	0.994	-0.057
6	0.995	0.046	17	0.999	-0.003	28	0.990	-0.073
7	0.997	0.037	18	0.999	-0.006	29	0.984	-0.098
8	0.997	0.030	19	0.999	-0.009	30	0.965	-0.145
9	0.998	0.025	20	0.998	-0.013	31	0.987	-0.252
10	0.998	0.020	21	0.998	-0.016

Побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ кола

Рисунок 3.6. АЧХ кола

Рисунок 3.7. ФЧХ кола

3.6. Спектр сигнала на виході кола

Користуючись співвідношенням:

, (3.10)

можна розрахувати спектр вихідного сигналу. Складемо таблицю для .

Таблиця 3.8

n		n		n
0	0	11	-0.012	22	0.011j
1	0.145+0.037j	12	0	23	0.003
2	0.029-0.196j	13	-0.01	24	0
3	-0.110-0.011j	14	0.008j	25	0.004
4	0	15	0.002	26	-0.025j
5	-0.042	16	0	27	-0.042
6	0.025j	17	0.002	28	0
7	0.004	18	-0.008j	29 30	-0.110+0.011j 0.029+0.196j
8	0	19	-0.01
9	0.003	20	0	31	0.145-0.037j
10	-0.011j	21	-0.012

Складемо таблицю для амплітудного та фазового спектру.

Таблиця 3.9

n			n			n
0	0	0	11	0.012	-3.122	22	0.011	1.557
1	0.149	0.252	12	0	1.587	23	0.003	-0.018
2	0.198	-1.425	13	0.01	-3.128	24	0	-1.594
3	0.110	-3.042	14	0.08	1.581	25	0.004	-0.030
4	0	1.645	15	0.002	0.007	26	0.025	-1.609
5	0.042	-3.083	16	0.008	-1.566	27	0.042	3.093
6	0.025	1.618	17	0.002	0	28	0	1.506
7	0.004	0.039	18	0.08	-1.572	29	0.110	3.434
8	0	-1.538	19	0.01	3.138	30	0.198	1.434
9	0.003	0.028	20	0	1.564	31	0.149	-0.243
10	0.011	-1.547	21	0.012	3.131

Побудуємо графіки амплітудного і фазового спектрів

Рисунок 3.8. Амплітудний спектр сигнала на виході кола

Рис.3.9. Фазовий спектр сигнала на виході кола

3.7 Синтез вихідного сигналу

Аналогічно пунктам, використовуючи ЕОМ, 1.6 і 1.11 проведемо синтез сигналу на виході кола. Розрахунки відобразимо в таблиці та побудуємо часовий графік.

Таблиця 3.10.

№ точки	t, град	y (t), В
0	0	0.013
1	7.5	0.150
2	15	0.352
3	22.5	0.482
4	30	0.602
5	37.5	0.804
6	45	0.903
7	52.5	0.742
8	60	0.5
9	67.5	0.344
10	75	0.168
11	82.5	-0.003
12	90	-0.147
13	97.5	-0.286
14	105	-0.459
15	112.5	-0.586
16	120	-0.701
17	127.5	-0.889
18	135	-0.984
19	142.5	-0.819
20	150	-0.565
21	157.5	-0.407
22	165	-0.252
23	172.5	-0.038
24	180	0.098
25	187.5	0.101
26	195	0.076
27	202.5	0.076
28	210	0.072
29	217.5	0.063
30	225	0.059
31	232.5	0.055
32	240	0.049
33	247.5	0.046
34	255	0.043
35	262.5	0.038
36	270	0.036
37	277.5	0.034
38	285	0.030
39	292.5	0.028
40	300	0.027
41	307.5	0.023
42	315	0.022
43	322.5	0.022
44	330	0.016
45	337.5	0.017
46	345	0.022
47	352.5	0.003
48	360	0.013

Для контролю перевіримо одну точку ручним обчисленням. Нехай аргумент дорівнює .

Таблиця 3.11

K	0	1	2	3
	0	0.003	0.146	0.140
k	4	5	6	7
	0	-0.080	-0.050	-0.008
k	8	9	10	11
	0	0.004	0.012	0.007
k	12	13	14	15
	0	0.005	0.008	0.002

Тоді , що підтверджує правильність розрахунків.

Побудуємо графік синтезованого сигналу на виході кола.

Рис.3.10. Синтезований сигнал на виході кола.

4. Узгоджена фільтрація
4.1 Автокореляційна функція вхідного сигналу

У загальному випадку автокореляційна функція сигналу x (t) розраховується за формулою:

(4.1)

Але заданий вхідний сигнал визначається, як складна функція. Він поводить себе монотонно у чотирьох окремих інтервалах:

Тому математичний вираз для кореляційної функції буде різним в залежності від того, на яку величину буде зміщено сигнал при знаходженні автокореляції, - відповідно, будуть різними і межі інтегрування.

Проведемо зсув вхідного сигналу для цих 4-х випадків:

1).

x(t), x(t+t)

t, с

Рисунок 4.1 Знаходження автокореляції

2).

x(t), x(t+t)

t, с

Рисунок 4.2 Знаходження автокореляції

x(t), x(t+t)

3).

t, с

Рисунок 4.3 Знаходження автокореляції

4).

x(t), x(t+t)

t, с

Рисунок 4.4 Знаходження автокореляції

Для чотирьох інтервалів t визначимо чотири кореляційні функції, проводячи інтегрування у відповідних межах. Врахуємо, що на певних інтервалах значення інтегралів будуть рівними (рівні площі перекриття), тому їх можливо подвоїти, не проводячи зайвих розрахунків:

За допомогою програми “MathCAD” проведемо інтегрування, підстановку відповідних меж та спрощення отриманих кореляційних функцій. Отримаємо:

Результуюча кореляційна функція є об’єднанням 4-х визначених. При цьому значення поруч розташованих функцій у точках стиковки повинні співпадати.

Так як автокореляційна функція завжди парна, продовжимо її на від’ємні t, не проводячи розрахунки:

Звичайно, при значенні аргументу більшому, ніж τі
, функція кореляції дорівнює нулю. Розрахуємо та побудуємо її.

Таблиця 4.1

τ, мкс	K (τ)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3.33e-6 2.67e-6 1.2e-6 2.8e-7 1.29e-6 1.67e-6 1.35e-6 7.07e-7 2.13e-7 2.67e-8 0

t, с

Рисунок 4.5. Автокореляційна функція вхідного сигналу 4.2 Коефіцієнт передачі та імпульсний відгук узгодженого фільтра

Коефіцієнт передачі узгодженого фільтру розрахуємо за формулою:

,

де - сполучена спектральна щільність вхідного сигналу,

А - коефіцієнт пропорційності - візьмемо рівним 1.

Підставимо вираз для спектральної щільності вхідного сигналу у первинній формі:

Отримаємо:

(4.2)

,

де .

Множник відповідає операції інтегрування, - лінії затримки, знак “-” забезпечується поворотом фази на π. Беручи це до уваги, зобразимо структурну схему фільтра:

Рисунок 4.6 Структурна схема узгодженого фільтра

4.3 Відгук узгодженого фільтра

Імпульсний відгук узгодженого фільтра розрахуємо за формулою:

, (4.3)

де А - коефіцієнт пропорційності. Для простоти оберемо А=1.

По виразу (4.1) видно, що імпульсний відгук представляє собою масштабну копію вхідного сигналу, відображену дзеркально відносно осі ординат та зміщену на величину t0.
Вона повинна бути не меншою за тривалість імпульсу tі
. Тому оберемо t0
= tі
. Тепер можна побудувати імпульсний відгук (з точністю до константи А). При подачі сигналу на узгоджений фільтр відгук визначається за формулою:

відгук представляє собою масштабну копію автокореляційної функції, затриману на величину t0
. Затримка повинна бути не меншою за тривалість імпульсу tі
. Це пояснюється тим, що фільтр спроможний дати максимальний відгук, лише обробивши увесь імпульс сигналу. Побудуємо відгук з точністю до константи А.

Рисунок 4.8 Відгук узгодженого фільтра на дельта-функцію

При подачі дельта-функції на виході отримаємо імпульсний відгук:

Рисунок 4.9 Відгук узгодженого фільтра на заданий сигнал

5. Проходження сигналів через кола
5.1 Визначити смугу пропускання селективного кола для проходження АМК, ФМК та ЧМК, яка забезпечує проходження сигналів без спотворень

Для забезпечення проходження сигналу через коло його смуга пропускання повинна бути не меншою за ширину спектру сигналу. Розрахуємо ширину спектру для АМК, ФМК та ЧМК.

Для АМК ширина спектра сигналу визначається максимальною гармонікою керуючого коливання - для досліджуваного сигналу це 11 гармоніка:

Розрахуємо частоту Ω для заданого сигналу:

Тоді смуга пропускання кола для проходження АМК:

При фазово-модульованому коливанні смуга пропускання визначається парціальними індексами модуляції m. Як і у розділі 2, обмежимося розгляданням 3-х гармонік керуючого сигналу (до рівня 0.1m):

Таблиця 5.1.

n	1	2	3
mn	1.679	1.013	0.362

Кількість гармонік від кожної гармоніки керуючого сигналу буде визначатися формулою:

Найвищу гармоніку знайдемо так:

ωmax
= (2+2·2+3) Ω = 9Ω

ширина спектру залишається постійною у часі.

Знайдемо смугу пропускання:

Для ЧМК ширина спектра визначається як:

,

де ωд
- девіація частоти:

- девіація частоти, зумовлена n-ю гармонікою керуючого сигналу. Знайдемо її з виразу:

Тоді:

Отримали ширину спектру таку ж, як і для ФМ-коливання. Різниця лише у тому, що девіація частоти є функцією часу.

Висновок:

У результаті розрахунків отримали, що ширина спектрів для ЧМК та ЧМК співпадає і у даному випадку не перевищує ширини спектру АМК. Але ми знехтували гармоніками, парціальні індекси модуляції яких менше за 0.1 від максимального (сигнал ЧМК формувався на базі 3-х гармонік керуючого сигналу порівняно з 11 для АМК). Насправді, для забезпечення високоякісної передачі сигналу, тобто необхідної кількості гармонік та без лінійних спотворень, смуга пропускання для ЧМК повинна бути значно ширшою та охоплювати складові з малими амплітудами.

Знайдемо лінійні спотворення при проходженні АМК через коло, зі смугою пропускання, рівною ширині спектру, при настройці у резонанс.

Коефіцієнт модуляції по кожній гармоніці на виході кола визначається як:

де - розстройка гармоніки відносно резонансної частоти контуру.

Звідси знайдемо коефіцієнт демодуляції:

Остання, 11 гармоніка буде знаходитися на границі смуги пропускання, тобто . Тоді для n-ї гармоніки:

Крім того, контур здійснює фазовий зсув: виникає випередження нижніх бічних складових та затримка верхніх на величину

Додаткова фаза для від’ємних гармонік буде зі знаком “-".

Зведемо результати розрахунків у таблицю:

Таблиця 5.2

n	Mn	Dn	Mn вих	yn вх , град	φn , град	yn вих , град
1	0.168	0.996	0.167	0	5.194	5.194
2	0.203	0.984	0.199	-90	10.305	-79.695
3	0.109	0.965	0.105	-180	15.255	-164.745
4	0	0.940	0	90	19.983	109.983
5	0.039	0.910	0.036	-180	24.444	-155.556
6	0.023	0.878	0.020	90	28.610	118.610
7	0.0034	0.844	0.0029	0	32.471	32.471
8	0	0.809	0	90	36.027	126.027
9	0.00207	0.774	0.0016	0	39.289	39.289
10	0.0081	0.740	0.0059	-90	42.274	-47.726
11	0.0081	0.707	0.0057	-180	45	-135

5.2 Зобразити структурну схему приймача, який забезпечує прийом, підсилення, детектування радіосигналу, підсилення та реєстрацію відеосигналу

СФ - смуговий фільтр - забезпечує селекцію коливань необхідних частот, отриманих з антени.

ПВЧ - підсилювач високої частоти - попередньо підсилює високочастотний сигнал до необхідного рівня.

Гетеродин - представляє собою генератор ВЧ, частота якого перестроюється разом з частотою вхідного контуру так, що їх різниця завжди дорівнює проміжній частоті.

ЗМ - змішувач - на його виході формується різнична частота (проміжна частота)

ФЗС - фільтр зосередженої селекції - коливальна система з декількох фільтрів, за допомогою яких досягається задана смуга пропускання, необхідна форма АЧХ. Фільтр значно підвищує селективність усього приймача.

ППЧ - підсилювач проміжної частоти - проводить підсилення відфільтрованого сигналу ПЧ. За рахунок зниження робочої частоти отримують значний виграш в коефіцієнті підсилення.

Д - детектор - детектує сигнал, виділяючи низькочастотну складову.

ПНЧ - підсилювач низької частоти - безпосередньо підсилює корисний сигнал (відеосигнал).

Індикатор - виконує реєстрацію відеосигналу.

5.3 Побудувати схему амплітудного детектора, розрахувати його параметри, дати пояснення принципу роботи

Приведемо типову схему амплітудного детектора:

R

Рис. 5.3.1 Схема амплітудного детектора

wt

Рисунок 5.3.2 АМК на вході детектора

Припустимо, що детектор працює у режимі великого сигналу. Тоді його вольт-амперну характеристику можна апроксимувати лінійною залежністю - маємо лінійний детектор. При подачі на вхід детектора АМ - коливання струм через діод буде протікати лише при позитивних півхвилях. Струм діода буде розділятися у кола резистора та конденсатора. Ємність С не дозволяє напрузі на виході швидко змінюватися у великих межах.

Параметри RC - кола підібрані так, що амплітуда на виході, змінюючись повільно порівняно з несучою, повторює амплітуду ВЧ - коливань на вході. Таким чином, на конденсаторі гаситься високочастотна складова, а на вихід проходить лише огинаюча вхідного сигналу. На рис.5.3 представлений ВЧ - сигнал на вході: АМ - коливання та пунктиром його огинаюча, на рис.5.4 - сигнал на виході детектора при ідеальному детектуванні.

Рисунок 5.3.3 НЧ - складова на виході детектора

При детектуванні повинна виконуватись ще така умова: постійна часу кола навантаження повинна бути малою порівняно з періодом модуляції. Інакше сигнал на виході буде відставати від огинаючої вхідного сигналу. Отже, для детектування без спотворень повинна виконуватися подвійна нерівність:

де ω0
- частота несучого коливання, Ω - найменша гармоніка корисного сигналу.

Розрахуємо параметри кола для заданого керуючого сигналу.

Візьмемо середнє геометричне постійних часу та отримаємо:

Щоб на діоді витрачалося якомога менше потужності, необхідно, щоб опір навантаження перевищував опір діода:

У малопотужних діодів Rд
=100...1000 Ом. Тоді оберемо опір навантаження R=5 кОм. Розрахуємо номінал ємності:

Отримані результати добре співпадають з номіналами практичних схем. Для радіоприймача у діапазоні “ДВ" порядок номіналів такий: R ≈ 5 кОм, C ≈ 6800 пФ. Ємність отримали меншу на 1 порядок через те, що найвища частота заданого сигналу теж на порядок вища діапазону звукових частот - таким чином не допускається її суттєвого послаблення конденсатором.

5.4 Побудувати схему частотного детектора для детектування ЧМ-сигналу. Визначити сигнал на виході детектора

При детектуванні ЧМ-сигналу необхідно виконати дві операції над сигналом: перетворити частотно-модульований сигнал у амплітудно-модульований, потім продетектувати отриманий сигнал. Відповідно, ці дві операції у схемі виконують два вузла: схема для перетворення частотної модуляції в амплітудну (найчастіше використовують коливальний контур), та амплітудний детектор.

Рис.5.4.1 Структурна схема частотного детектора

Контур (чи систему контурів) настроюють таким чином, щоб частотно-модульований сигнал приходився на пологу частину коливальної характеристики, на відрізок, де вона максимально лінійна. У результаті на виході отримаємо амплітудно-модульований сигнал [3]. Покажемо це графічно.

Рисунок 5.4.2 Пояснення принципу роботи частотного детектора

Зобразимо принципіальну електричну схему частотного детектора:

Рисунок 5.4.2 Схема частотного детектора

5.5 Розробити та привести структуру цифрового фільтра, обчисленого у третьому розділі

Загальна структура цифрового фільтру приведена на рис.5.5.1.

Рис. 5.5.1 Структура цифрового фільтра

АЦП проводить двоїчне квантування отриманих вибірок згідно з рівнями квантування.

Обчислювальний пристрій забезпечує цифрову обробку квантованого сигналу згідно з коефіцієнтом передачі фільтру.

ЦАП відновлює неперервний аналоговий сигнал з цифрового.

Згідно з записом коефіцієнта передачі фільтра визначимо його структурну схему:

де hk
- вибірки імпульсного відгуку, Т - інтервал затримки.

Зобразимо структурну схему обчислювального пристрою:

коло затримки на час Т

підсилювач з коефіцієнтом підсилення hi

суматор

Рисунок 5.5.2 Структура обчислювального пристрою