Границя функції

Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

1. Границя числової послідовності.

2. Нескінченно малі числові послідовності.

3. Нескінченно великі числові послідовності.

4. Основні теореми про границі.

5. Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У кур­сі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарни­ми способами. В основі методів, за допомогою яких уда­ється дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функ­ціональної залежності, коли областю визначення функції у
= f
(х)
є множина натурального ряду чисел N.
Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn
=
f
(
n
), п
= 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1
, 2
,
..., ул
,…,
вякому y
1
називають першим чле­ном послідовності, y
2
— другим іт. д., yn
— n
-м, або за­гальним членом послідовності. Числову послідовність вва­жають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп
) або (ап
),
де уп
, ап
— n
-ні члени послідов­ностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп
=
y
1
+
d
(п -
1), уп
= у
1
qn
-1
,
п
= 1, 2, ..., де d
—
різниця арифметичної прогресії; q
—
зна­менник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою уп
=, п
= 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п
спа­дають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n
, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп
—
0| при зростанні n
стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) зна­йдеться член yN
такий, що для всіх п > N
буде справ­джуватися нерівність

(3)

де — довільне додатне число. Надаючи є довільних додат­них значень, щоразу матимемо шукане число N.

Щоб знайти N
для будь-якого наперед заданого додат­ного числа , підставимо в нерівність (3) значення уп
і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п.
Дістанемо:

(4)

Звідси п
> .
Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п
, які задовольняють нерівність (4).

Тому за число N
можна взяти число , якщо воно ціле, абонайбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таб­лиці.

Таблиця

Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у1
,
y
2
, y
3
,
…,
уп
,
..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N
= N
(), що для всіх п > N виконується нерівність

.
(8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim— від латинського слова «
limes
»,
що означає «границя»).

2. Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовнос­тям.

Послідовність уп
=
f
(п), п —
1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо
уп
= 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а
= 0, то дістанемо не­рівність | уп
| < , п
> N.
Тому нескінченно малу число­ву послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (уп
) називається нескінченно ма­лою, якщо для будь-якого додатного числа
існує натуральне число N таке, що для всіх п
> N виконується нерівність
| уп
| < .

Нескінченно малі послідовності позначають через (ап
),
(β
п
), (n
) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (уп
), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо
уп

=
a

, то послідовність (а

n

) =

(
yn

–

a

)
є нескінченно малою.

Доведення. Яке б не було число > 0, знайдеться таке N
, що для всіх п > N
виконуватиметься нерівність | уп
— а
| < , або ,
тобто — нескін­ченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між уп
і числом а
є нескінченно малою послідовністю, то а
є границею послідовності (уп
).

Доведення. Позначимо ап
= уп
— а.
Тоді уп
— а є
нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якогочисла > 0 знайдеться таке N
,
що для всіх п
> N
виконується нерівність | ап
|< , або, що те саме, |уп
— а
|< . Отже, згідно з означенням границі, yn
= а
. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означенняграниці послідовності.

Число а називається границею числової послідовності (уп
), якщо різниця між уп
і числом а є нескінченно малою по­слідовністю, тобто (уп
— а)
= (п
), де () — нескінчен­но мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числанескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовніст

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наве­демо таке означення.

Послідовність (уп
) називається обмеженою, якщо існує число М
> 0, що для всіх значень п
= 1,2, ... виконуєть­ся нерівність

| уп
|< М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої чис­лової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (уп
) називається нес­кінченно великою, якщо, яке б не було число М
> 0, існує таке число N
= N (М), що для всіх п > N виконується нерівність
| уп
| > М.
Це записують так:

уп
при цьому називають нескінченно великою послі­довністю. Наприклад, послідовності ((—1)п
п
), (п
2
), (п
) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)п
п
) є нескінченно ве­лика послідовність. Справді, для довільного числа М
> 0, починаючи з деякого номера п,
маємо |уп
|=
(—
1)п
п
= п
> М.
Члени заданої послідовності необмежене зро­стають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1
= 100, то |у
|=п
>100, якщо п
= 101, 102, ... .

Отже, .

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послі­довність (уп
),
де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

Теорема. Якщо (уп
)
є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність () = є нескінчен
но малою.

Доведення. Оскільки (уп
) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М
> 0, існує таке число N
,
що для всіх п
> N
виконується нерівність | уп
|> M
.
Нехай М
= , де — довільне додатне число.

Тоді | уп
| >
(n
> N
), або | аn
| < (n
> N
). Теоре­му доведено.

Обернена теорема. Якщо послідовність () є нескін­ченно мала числова послідовність і
для всіх
n

= 1, 2, ..., то послідовність (уп
)

=

=



є нескінченно велика
.

Доведення. Оскільки за умовою теореми (
) — не­скінченно мала послідовність, то для будь-якого числа > 0, наприклад, для =,де М>0 — будь-яке дійсне число, існує натуральне число N
= N
(М)
таке, що длявсіх значень п
> N
виконується нерівність |
| < .

Позначимо уп
= . Тоді

Теорема доведена.

4.
Основні теореми про границі

Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати «підозріле» на границю число; не кожного разу за заданим можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема
1
. Нехай послідовності (хп
)
і (уп
)
мають від­повідно границі а
і
b

.

Тоді послідовність (
xn

+
yn

) має границю а +

b

.

Теорема 2. Нехай послідовності (хп
) і (уп
)
мають від­повідно границі а
,
b

.

Тоді послідовність (хп
• уп
)
має границю, яка дорівнює а •

b

,

тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (хп
)
і (уп
)
мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому .
Тоді послідовність
має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема
4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна об­межена послідовність має границю
.

Теорема 5. Якщо послідовність (хп
)
має границю а,
то ця границя єдина.

Приклад 1. Знайти (За означенням п! = ,
читають «ен факто­ріал».)

Розв'язання. Використаємо теорему про гра­ницю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності , є нескінченно малими , тобто Послідовність (sinn
2
) є обмеженою: | sinn
2
| 1. Отже,

Границі доданків існують. Тому

5. Границя функції неперервного аргументу

Розглянемо функцію у =
f
(х),
де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку ,
крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного про­міжку).

Наведемо два приклади.

Приклад 1. Простежимо, як поводить себефункція f
(х)
= + 2, коли значення аргументу х
як завгодно близько наближається до числа 2. Символічно це позначають так: х
-
2
. З малюнка 105 випливає, що коли х
-
2 зліва або справа, то відповідні значення функції f
(х)
як завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало відрізнятимуться від числа 4.

У такому разі кажуть, що функція f
(х)
= + 2 має границею число 4, якщо х
-
2, або в точці х0
= 2, Символічно це записують так: .

Число
А називається
границею
функції
у
=
f
(х) у точ
ці х0
, якщо для будь-якого
числа
> 0 існує таке
числе
> 0, що
для
всіх
і таких,
що , якщо
виконується нерівність

Символічно це записують так:

Приклад. Довести, що

Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y
=
kx
+
b
(
k
=2,
b
=1).
Зпопереднього при­кладу випливає, що лінійна функція у =
kx
+
b
у будь-якій точці х
-
a
має границю А.
Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а,
тобто А
= ka
+ b
.
Отже, у даному прикладі А =
2 • 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.