Тема : Математичне забезпечення САПР.
1. Загальні поняття та вимоги до МЗ.
2. Способи отримання математичних моделей.
3. Постановка задач оптимізації.
4. Класифікація і характеристика методів оптимізації.
1.
МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми.
Мат. моделі описують взаємозв’язки параметрів об’єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об’єкт проектування без проведення натуральних експериментів.
Основні вимоги до мат. моделей:
1) універсальність;
2) точність;
3) адекватність;
4) економічність.
1) Універсальність – мат. моделі
– означає можливість її застосування для аналізу певної групи об’єктів.
2) Точність м.м.
– оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними.
3) Адекватність м.м.
– здатність відображати властивості об’єкту із похибкою не вище заданої.
4) Економічність м.м.
– характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію.
До обч. ресурсів відносять:
1) час
, який необхідний для реалізації мат. моделей.
2) об’єм
машинної пам’яті.
2. Способи отримання мат.моделей.
Існує три отримання м.м.:
1) Аналітичний;
2) Експериментально-аналітичний;
3) Експериментальний.
Суть аналітичного способу
отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук.
Суть експериментально-аналітичного
методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі.
Для отримання мат. моделей експериментальний метод – 9.3. док.
необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо.
Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів.
Недолік класичного методу
– це велика кількість дослідів.
Перевага
– вища точність опису.
Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів.
Найширше для опису процесів та об’єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП); плани Бокса
(В); а також центральні композиційні уніфориронтотабельні
плани (УКУРП).
Класичн. 52
= 25
ПФП N = 2R
= 4
| X1
|
X2
|
Y |
| X1min
|
X2min
|
Y1
|
| X1max
|
X2min
|
Y2
|
| X1min
|
X2min
|
<
Y3
|
| X1min
|
X2min
|
Y4
|
Y = b0
+b1
x1
+b2
x2
+b12
* x1
x2
Перевага
– менша кількість дослідів.
Недолік
– точність опису гірша.
Якщо модель 1-го порядку неадекватна, то переход. до планів Бокса
, та до УКУРП.
Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку.
де:
y
– значення вихідного параметра (критерія оптимізації);
b
0
–
значення вільного члена;
bi
–
значення лінійних коефіцієнтів;
bii
– значення квадратних коефіцієнтів;
bij
–
значення коефіцієнтів парної взаємодії;
xi
– значення вхідних факторів.
3. Загальна постановка задач оптимізації.
2 види м.м.
1) описового характеру;
2) оптимізаційні.
Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації:
1) вибір оптичного типу об’єкта;
2) вибір оптимальної конструктивної схеми;
3) оптимізацію параметрів об’єкту;
4) пошук оптимального управління об’єктом;
5) оптимізацію допусків та параметрів.
Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації).
Функція мети
– кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень.
Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи:
1) технічні;
2) техніко-економічні;
3) екологічні.
1 – надійність, енерго- та металомісткість, тривалість служби.
2 – продуктивність, собівартість, рентабельність і ін.
3 – оцінюють вплив проектованого об’єкту на довкілля.
Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад.; габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.).
Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації.
Для оптимізації використовуються:
1) Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа).
2) Методи мат. програмування:
а) лінійне;
б) нелінійне;
в) динамічне;
г) стохастичне програмування.
(стохастична
– випадковість в часі).
Лінійне програмування
– використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex - метод).
Нелінійне програмування
– застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні).
Стохастичне програмування
- …, коли маємо справу із випадковими факторами.
Динамічне програмування
– використовується для оптимізації дискретних об’єктів, які можна природно або умовно поділити на окремі стадії в часі або просторі.