Министерство образования
Республики Беларусь
Учреждение образования
Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники
РЕФЕРАТ
на тему: «Оптимизация выбора потребителя»
Выполнили
студенты
Куропатенкова Ю.В.
Кульша М.О.
Ходатович Е.Д.
Минск 2007
Оглавление
Введение
1. Задача оптимизации выбора потребителя
Заключение
Список литературы
Введение
Потребитель, имея доход, желает его потратить и, естественно, с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. В нашей работе мы рассмотрели, как можно оптимизировать выбор потребителя.
1. Задача оптимизации выбора потребителя
Суть оптимизации выбора потребителя.
Выбор ( X1*
, X2*
) является оптимальным выбором для потребителя. Множество наборов, которые он предпочитает (X1*
, X2*
), а именно множество наборов, располагающееся над его кривой безразличия, не пересекает наборы, которые он может себе позволить приобрести, а именно наборы под бюджетной линией. Таким образом, набор (X1*
,X2*
) – это наилучший набор, который потребителю по карману.
Для того чтобы рассмотреть эту задачу следует использовать в качестве приложения нахождения условного экстремума с помощью множителей Лагранжа.
Как отдельные потребители выбирают, какое количество каждого товара им купить, с учетом предпочтений и бюджетных ограничений? Мы предполагаем, что потребители делают этот выбор по рациональным соображениям – они выбирают товары так, чтобы максимизировать получаемое удовлетворение с учетом доступного им ограниченного бюджета.
Отвечающая требованиям рыночная корзина должна удовлетворять двум условиям:
1. Она должна находится на бюджетной линии. Почему? Заметим, что любая рыночная корзина левее и ниже бюджетной линии оставляет неизрасходованной некоторую часть дохода, который, будучи потраченным, мог бы увеличить удовлетворение потребителя. Разумеется, потребители могут – и иногда действительно делают это – сберечь некоторую часть доходов для будущего потребления. Однако пока мы упростим ситуацию, предположив, что весь доход тратится сразу. Также заметим, что любая рыночная корзина правее и выше бюджетной линии не может быть приобретена при имеющемся уровне дохода. Вот почему единственный рациональный и осуществимый выбор – это корзина, лежащая на бюджетной линии.
2. Она должна обеспечивать потребителю наиболее предпочтительную комбинацию товаров и услуг.
Эти два условия сводят проблему максимального удовлетворения потребителя к вопросу выбора подходящей точки на бюджетной линии.
Если проанализировать графически проблему выбора потребителя между продовольствием и одеждой, то можно сделать вывод, что корзина, которая приносит максимальное удовлетворение, должна лежать на самой верхней кривой безразличия, касающейся бюджетной линии. В точке касания бюджетной линии и кривой безразличия, наклон бюджетной линии точно равен наклону кривой безразличия. Поскольку предельная норма замещения (MRS) является отрицательной величиной, обратной углу наклона кривой безразличия, то можно сказать, что удовлетворение достигает максимума (при данном бюджетном ограничении) в точке, где
Задачу оптимизации выбора потребителя можно рассмотреть в качестве приложения метода нахождения условного экстремума множителей Лагранжа.
Будем считать, что каждый товар имеет цену pi
,
а индивид имеет доход Q – какое-то количество денег, в рамках которого он и действует, покупая нужный ему набор товаров. На покупку набора товаров X=(xi
,…, xn
) надо затратить денег в количестве c(X)=pi
xi
+…+pn
xn
=
Таким образом, индивид может купить только такой набор X, при котором PX≤Q. Следовате
Доказательство. Пусть r=min pi
, тогда, как легко видеть, если XB, то x≤Q/r для i=1,…,n, т.е. множество B ограниченно. Докажем замкнутость. Пусть Хк
В для всякого k N и Xk
Z. Тогда в силу непрерывности линейной функции
PXk
PZ и, поскольку, PXk
≤Q, то и PZ≤Q. Следовательно, ZB.
Граница бюджетного множества называется множество G = {XB: PX = Q}. Граница G – это отрезок в случае двух товаров, часть плоскости, ограниченная треугольником, в случае трёх товаров, и в общем случае, есть часть гиперплоскости в пространстве товаров.
Бюджетное множество B (P, Q) зависит от дохода Q и системы цен P, но от каких либо характеристик индивида, например системы его предпочтений, не зависит.
Потребитель, имея доход, желает его потратить и, естественно, с максимальной пользой. Польза понимается в смысле системы его предпочтений или его функции полезности. Это приводит к следующей задаче математического программирования.
Найти набор товаров X=(xi
,…, xn
), максимизирующий функцию полезности u(xi
,…, xn
), при выполнении бюджетного ограничения PX =pi
xi
+…+pn
xn
≤Q; по смыслу задачи все переменные принимают неотрицательное значение, т.е. xi
≥0, i=1,…, n.
Рассматриваемую задачу можно сформулировать более кратко:
Или даже так:
(1)
Поскольку u(X) – непрерывная функция своих аргументов, а бюджетное множество В ограниченно и компактно, то u(X) достигает на множестве В своего максимума, т.е. решение задачи 1 существует. Очевидно, что любая точка Х* максимума функции c(X) лежит на границе G бюджетного множества. Действительно, если предположим противное, то есть что Z – точка максимума, но Z G, тогда PZ <Q. Однако тогда потребитель имеет неиспользованное количество денег Q – PZ, и на эти деньги он может купить какое-то количество товаров Y, причём можно считать, что Y>0. Но тогда YВ, однако u(Z+Y)>u(Z). В силу того, что каждый товар желателен. Получили противоречие с тем, что Z – точка максимума функции c(X) на бюджетном множестве.
Предположение: Если u(X) – строго вогнут, то решение задачи (1) единственно, т.е. существует только одна точка максимума функции полезности на бюджетном множестве.
Напомним, что функция u(X) называется строго вогнутой, если для любых X, Y из того, что 0 <λ<1 следует, что u(λx+(1-λ)Y)> λ u u(X)+(1-λ) u(Y).
Доказательство. Предположим, что А и С – две точки максимума, т.е. u(X)u(A)=u(C) для любой точки X множества В. Мы уже знаем, что точки А и С лежат на границе бюджетного множества, т.е. РА=РС=Q. Рассмотрим точку Е=А/2 + С/2. Видим, что РЕ = Р(А/2 + С/2)= Q, т.е. ЕВ. В силу строгой вогнутости функции u(X) имеем: u(Е) > u(А)= u(С). Получили противоречие с тем, что А и С – есть точки максимума функции на бюджетном множестве.
Итак, при строгой вогнутости функции полезности существует в бюджетном множестве единственная точка максимума функции полезности. Таким образом, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей потратить свои деньги, т.к. существует единственный набор товаров, максимизирующий полезность. Это единственная точка максимума называется точкой спроса, или просто спросом потребителя. Эта точка обозначается Х*.
Изучим точку спроса. Пока установлено только, что она должна лежать на границе бюджетного множества. Таким образом, задача (1) сводиться к следующей:
Или
Эту задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа L(X, λ)=u(X) + λ(Q-PX), найдём частные производные и приравняем их к нулю:
Заключение
Таким образом, существует только одна точка максимума функции полезности на бюджетном множестве.
Следовательно, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей выгодой потратить свои деньги, т.к. существует единственный набор товаров, максимизирующий полезность. Это единственная точка максимума называется точкой спроса, или просто спросом потребителя.