задача № 1
Произведите группировку магазинов 1…22 по признаку численность продавцов, образовав при этом 5 групп с равными интервалами.
Сказуемое групповой таблицы должно содержать следующие показатели:
1. число магазинов
2. численность продавцов
3. размер товарооборота
4. размер торговой площади
5. размер торговой площади, приходящийся на одного продавца
6. уровень производительности труда ()
Примечание: в п.п. 2-4 показатели необходимо рассчитать в сумме и в среднем на один магазин
Решение:
Определяем длину интервала:
Строим групповую таблицу распределение магазинов по численности продавцов:
Таблица 1.1.
| № группы
|
Группировка магазинов по численности продавцов
|
Число магазинов
|
Чиленность продавцов, чел
|
товарооборота (млн.руб.)
|
Торговая площадь, кв.м
|
Размер торговой площади, приходяшийся на одного продавца
|
уровень производительности труда
|
| 34-64 | 10 | 41 | 80 | 946 | 23,073 | 1,951 | |
| 40 | 113 | 1435 | 35,875 | 2,825 | |||
| 50 | 142 | 1256 | 25,120 | 2,840 | |||
| 57 | 156 | 1138 | 19,965 | 2,737 | |||
| 62 | 130 | 1246 | 20,097 | 2,097 | |||
| 60 | 184 | 1332 | 22,200 | 3,067 | |||
| 34 | 96 | 680 | 20,000 | 2,824 | |||
| 38 | 95 | 582 | 15,316 | 2,500 | |||
| 40 | 101 | 990 | 24,750 | 2,525 | |||
| 50 | 148 | 1354 | 27,080 | 2,960 | |||
| ИТОГО
|
10
|
472
|
1245
|
10959
|
|||
| В среднем на один магазин
|
47,2
|
124,5
|
1095,9
|
||||
| 64 - 94 | 3 | 64 | 148 | 1070 | 16,719 | 2,313 | |
| 85 | 180 | 1360 | 16,000 | 2,118 | |||
| 92 | 132 | 1140 | 12,391 | 1,435 | |||
| ИТОГО
|
3
|
241
|
460
|
3570
|
|||
| В среднем на один магазин
|
80,333
|
153,333
|
1190
|
||||
| 94 - 124 | 6 | 105 | 280 | 1353 | 12,886 | 2,667 | |
| 100 | 213 | 1216 | 12,160 | 2,130 | |||
| 112 | 298 | 1352 | 12,071 | 2,661 | |||
| 106 | 242 | 1445 | 13,632 | 2,283 | |||
| 109 | 304 | 1435 | 13,165 | 2,789 | |||
| 115 | 252 | 1677 | 14,583 | 2,191 | |||
| ИТОГО
|
6
|
647
|
1589
|
8478
|
|||
| В среднем на один магазин
|
107,833
|
264,833
|
1413
|
||||
| 124-154 | 2 | 130 | 314 | 1848 | 14,215 | 2,415 | |
| 132 | 235 | 1335 | 10,114 | 1,780 | |||
| ИТОГО
|
2
|
262
|
549
|
3183
|
|||
| В среднем на один магазин
|
131
|
274,5
|
1591,5
|
||||
| 154 - 184 | 1 | 184 | 300 | 1820 | 9,891 | 1,630 | |
| ИТОГО
|
1
|
184
|
300
|
1820
|
|||
| В среднем на один магазин
|
184
|
300
|
1820
|
||||
| ВСЕГО
|
22
|
1806
|
4143
|
28010
|
|||
Задача №2
Используя построенный в задаче №1 интервальный ряд распределения магазинов по численности продавцов, определите:
1. среднее квадратическое отклонение
2. коэффициент вариации
3. модальную величину
Постройте гистограмму распределения и сделайте выводы.
Решение:
1. Среднеквадратическое отклонение представляет вычисляется по формуле:
Для нахождения характеристики ряда распределения строим таблицу 2.1.
Таблица 2.1.
| Группировка магазинов по численности продавцов
|
Число магазинов,
|
Середина интервала,
|
|
|
|
| 34-64 | 10 | 49 | 490 | 1162,19 | 11621,901 |
| 64-94 | 3 | 79 | 237 | 16,73554 | 50,207 |
| 94-124 | 6 | 109 | 654 | 671,281 | 4027,686 |
| 124-154 | 2 | 139 | 278 | 3125,826 | 6251,653 |
| 154-184 | 1 | 169 | 169 | 7380,372 | 7380,372 |
|
|
2
2 |
1828
|
29331,818
|
Вычисляем среднюю величину:
Среднеквадратическое отклонение:
2. Коэффициент вариации:
3. Модальная величина:
мода – варианта с наибольшей частотой.
Рис.2.1. Гистограмма распределения.
Вывод:
Средняя величина количества продавцов составляет человек. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем человек.
По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признака, а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу. В нашем случае коэффициент вариации равен 44%, это говорит о том что разброс значений признака вокруг средней составляет 44%.
Задача №3
Проведено 6-процентное обследование качества поступившей партии товара. На основе механического способа отбора в выборочную совокупность взято 900 едениц, из которых 48 оказались бракованными. Средний вес одного изделия в выборке составил 10.8 кг, а среднее квадратическое отклонение – 0.35
Определите:
1. с вероятностью 0.954 пределы, в которых находится генеральная доля бракованной продукции
2. с вероятностью 0.997 пределы, в которых находится средний вес одного изделия во всей партии товара.
Решение:
1. Определим с вероятностью 95.4% возможные границы доли бракованной продукции.
Доверительный интервал для доли бракованной продукции:
, где
значение определяем по таблице распределения Лапласа: ;
Таким образом, с вероятностью 95.4% мы можем утверждать, что доля бракованной продукции будет составлять от 3.8% до 6.8%
2. Определяем ошибку выборки:
где значение определяем по таблице распределения Лапласа: ;
тогда:
Таким образом, с вероятностью 99.7% мы можем утверждать, что средний вес одного изделия во всей партии товара будет, находится в пределах от 10.765 кг. до 10.835 кг.
Задача №4
Имеются следующие данные о продаже тканей торговой организацией ( в сопоставимых ценах) в 1994 – 1998 г.:
| Годы | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
| Продажа тканей , млн.руб. | 1.46 | 2.32 | 2.18 | 2.45 | 2.81 |
На основе приведенных данных:
1. Для анализа ряда динамики определите:
Для характеристики интенсивности динамики постройте соответствующий график.
2. Для анализа общей тенденции продажи тканей методом аналитического выравнивания:
Полученные результаты оформите в виде статистической таблицы. Сделайте выводы.
Решение:
1.1. Анализ ряда динамики
1. Абсолютный прирост :
· цепные:
· базисные:
где поточный (отчетный) уровень; базисный уровень; предыдущий уровень
2. Темпы (коэффициент) роста :
· цепные:
· базисные:
3. Темпы прироста :
· цепные:
· базисные:
4. Абсолютное значение одного процента прироста
· цепные:
· базисные:
Все результаты расчетов по данным формулам представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
| годы
|
Продажа тканей, млн.руб
|
Показатели динамики
|
|||||||
| Абсолютный прирост
|
Темпы (коэффициент) роста
|
Темпы прироста
|
Абсолютное значение одного процента прироста
|
||||||
| Базисные
|
Цепные
|
Базисные
|
Цепные
|
Базисные
|
Цепные
|
Базисные
|
Цепные
|
||
| 1994 | 1,46 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1995 | 2,32 | 0,86 | 0,86 | 1,589 | 1,589 | 58,904 | 58,904 | 0,0146 | 0,0146 |
| 1996 | 2,18 | 0,72 | -0,14 | 1,4932 | 0,9397 | 49,315 | -6,034 | 0,0146 | 0,0232 |
| 1997 | 2,45 | 0,99 | 0,27 | 1,6781 | 1,1239 | 67,808 | 12,385 | 0,0146 | 0,0218 |
| 1998 | 2,81 | 1,35 | 0,36 | 1,9247 | 1,1469 | 92,466 | 14,694 | 0,0146 | 0,0245 |
1.2. Средние показатели динамики:
1. Средний уровень ряда динамики
- интервального ряда:
- моментного ряда:
2. Средний абсолютный прирост
или
3. Средний коэффициент роста:
или
где, цепной коэффициент роста; количество цепных коэффициентов
4. Среднегодовой темп прироста (в процентах)
Рис.4.1. График интенсивности динамики.
Вывод:
Анализируя полученные показатели и график интенсивности мы можем сказать, что в 2003 году продажа тканей снизилась на 33% по сравнению с предыдущими годами, но начиная с 2004 года продажа тканей начала увеличиваться, т.е. в среднем ежегодно продажа тканей поднялась на 10.05%
2. Выявим основную тенденцию продажи тканей методом аналитического выравнивания по уравнению линейного тренда.
Нормальное уравнения служат для отыскания параметров при выравнивании по прямой. Для выравнивания по прямой , система нормальных уравнений принимает вид:
При ,
число членов ряда.
Составим расчетную таблицу.
Таблица 3.2.
| годы
|
Продажа тканей,
, млн.руб
|
||||
| 1994 | 1,46 | -2 | 4 | -2,92 | 1,674 |
| 1995 | 2,32 | -1 | 1 | -2,32 | 1,957 |
| 1996 | 2,18 | 0 | 0 | 0 | 2,24 |
| 1997 | 2,45 | 1 | 1 | 2,45 | 2,523 |
| 1998 | 2,81 | 2 | 4 | 5,62 | 2,806 |
|
|
11,22
|
0
|
10 | 2,83 | 11,2 |
По приведенным выше формулам найдем:
Уравнение прямой будет , расчетные значения заносим в таблицу 3.2.
Рис.4.1. Фактические и теоретические значения продажи тканей
Продажу тканей в 1999 году по формуле будет млн.руб.
Вывод:
Естественно, эта величина условная, рассчитанная при предположении, что линейная закономерность продажи тканей , принятая для 1994-1998 гг., сохранится на последующий период до 1999 г.
Задача №
5
Имеются следующие данные о продаже товаров торговыми предприятием за три периода:
| Товары | Количество, шт. | Цена, руб.за 1 шт. | ||||
| 1-й период | 2-й период | 3-й период | 1-й период | 2-й период | 3-й период | |
| А | 115 | 102 | 120 | 75,2 | 78,4 | 82,2 |
| Б | 286 | 385 | 440 | 140,4 | 160,6 | 156,4 |
| В | 184 | 242 | 206 | 39,3 | 42,4 | |
Определите индивидуальные и общие индексы: цен, физического объема товарооборота и товарооборота в фактических ценах на цепной и базисной основе. Покажите их взаимосвязь. Проведите сравнительный анализ.
Решение:
Для исчисления индивидуальных индексов применяются следующие формулы:
Индивидуальный индекс цен:
Где цена за единицу количества продукта в текущем или отчетном периоде; цена за единицу количества продукта в базисном периоде.
Индивидуальный индекс физического объема:
Где количество реализованного товара в текущем периоде; количество реализованного товара в базисном периоде.
Все расчеты занесем в таблицу
| Товар А
|
Индивидуальный индекс
|
pq
|
||||
| Базисный
|
Цепной
|
|||||
| Количество, шт
|
1- й период
|
115 | 1 | - | 8648 | |
| 2-й период
|
102 | 0,887 | 0,887 | 7996,8 | ||
| 3-й период
|
120 | 1,043 | 1,176 | 9864 | ||
| Цена
, руб.за 1 шт |
1- й период
|
75,2 | 1 | - | ||
| 2-й период
|
78,4 | 1,043 | 1,043 | |||
| 3-й период
|
82,2 | 1,093 | 1,048 | |||
| Товар Б
|
Индивидуальный индекс
|
pq
|
||||
| Базисный
|
Цепной
|
|||||
| Количество, шт
|
1- й период
|
286 | 1 | 40154,4 | ||
| 2-й период
|
385 | 1,346 | 1,346 | 61831 | ||
| 3-й период
|
440 | 1,538 | 1,538 | 68816 | ||
| Цена
, руб.за 1 шт |
1- й период
|
140,4 | 1 | |||
| 2-й период
|
160,6 | 1,144 | 1,144 | |||
| 3-й период
|
156,4 | 1,114 | 1,114 | |||
| Товар В
|
Индивидуальный индекс
|
|
||||
| Базисный
|
Цепной
|
|||||
| Количество, шт
|
1- й период
|
184 | 1 | 7231,2 | ||
| 2-й период
|
242 | 1,315 | 1,315 | 9680 | ||
| 3-й период
|
206 | 1,120 | 1,120 | 8734,4 | ||
| Цена
, руб.за 1 шт |
1- й период
|
39,3 | 1 | |||
| 2-й период
|
40 | 1,018 | 1,018 | |||
| 3-й период
|
42,4 | 1,079 | 1,079 | |||
Формулы агрегатных цепных индексов стоимостного товарооборота, выражаются следующими отношениями:
;
Формулы агрегатных базисных индексов стоимостного товарооборота за тот же период следующие:
;
Пересчет цепных индексов стоимостного товарооборота в базисные, и наоборот, производится так же, как и индивидуальных индексов.
Произведение цепных агрегатных индексов стоимостного товарооборота образует базисный индекс стоимостного товарооборота.
Вывод:
Базисные индексы показывают снижение продажи товаров торговым предприятием во 2-м периоде, а 3-м периоде повышение продажи товаров по сравнению с постоянной базой ( с уровнем 1-го периода).
Индексы с переменной базой (цепные) показывают, как увеличивалось продажа товаров торговыми предприятиями от одного периода к другому. При расчете базисных индексов принималась постоянная база сравнения (1-й период). При расчете цепных индексов принималась переменная база сравнения.
Задача №6
Деятельность торговой фирмы за два периода характеризуется следующими данными:
| Товары
|
Объем продажи товаров в фактических ценах, (тыс.руб.)
|
Среднее изменение цен, (%)
|
|
| 1-й период
|
2-й период
|
||
| А | 685 | 2540 | +210 |
| Б | 434 | 735 | +170 |
| В | 610 | 1816 | +180 |
Определите:
1. Индивидуальные и общие индексы цен
2. Индивидуальные и общий индекс физического объема
3. Общий индекс товарооборота в фактических ценах
4. Прирост товарооборота во втором периоде по сравнению с первым периодом (общий и за счет действий отдельных факторов)
Решение:
1. Для исчисления индивидуального индекса цен применяются следующая формула:
Где цена за единицу количества продукта в текущем или отчетном периоде; цена за единицу количества продукта в базисном периоде.
Расчеты представлены в таблице 6.1:
Таблица 6.1.
| товары
|
Объем продажи товаров в фактических ценах, (тыс.руб.)
|
Среднее изменение цен, (%)
|
Индивидуальный индекс цен
|
Цена, тыс.руб.
|
Количество
|
|||
| 1-й период
|
2-й период
|
1-й период
|
2-й период
|
1-й период
|
2-й период
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| А | 685 | 2540 | +210 | 3.1 | 100 | 310 | 6.85 | 3.19 |
| Б | 434 | 735 | +170 | 2.7 | 100 | 270 | 4.34 | 2.72 |
| В | 610 | 1816 | +180 | 2.8 | 100 | 280 | 6.1 | 5.486 |
Общий индекс цен:
или 446.7%
Все расчеты представлены в таблице 6.1.
2. Индивидуальный индекс объема определяем по формуле:
Продукт А:
Продукт Б:
Продукт В:
Общий индекс физического объема определяется по формуле:
или 65.9%
3. Определяем общий индекс товарооборота:
или 294%
4.
1. Разница между числителем и знаменателем характеризует абсолютный прирост стоимости продукции за сентябрь и август.
тыс.руб.
тыс.руб.
тыс.руб.
Вывод:
По полученным результатам, мы можем сказать, что во 2-м периоде стоимостной объем продажи товаров по сравнению с 1-м периодом составил 294%, или увеличился на 194%.
Так же полученный индекс физического объема показывает, что физический объем товарооборота в отчетном периоде (2-й период) уменьшился по сравнению с базисным периодом (1-й период) на 34.1%.
Задача №7
Темпы роста товарооборота торгового предприятия в 1994 – 1998 г.г. составили (в % к предыдущему году)
| Годы | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 |
| Темп роста, (%) | 103.6 | 105.6 | 108.8 | 110.6 | 112.4 |
Известно, что в 1998 году товарооборот составил 26.6 млн.руб.
Определите:
1. Общий прирост товарооборота за 1994 – 1998 г.г. (в %).
2. Среднегодовой темп роста и прироста товарооборота.
3. Методом экстраполяции возможный размер товарооборота в 1999 г.
Решение:
1. Средний абсолютный прирост вычисляется по формуле:
Для определения товарооборота составляем таблицу:
Таблица 7.1.
| Год
|
Темп роста, %
|
Товарооборот, млн.руб
|
|
|
|
|
| 1994 | 103,6 | 18,63 | - | -2 | 4 | -37,26 |
| 1995 | 105,6 | 19,67 | 1,04 | -1 | 1 | -19,67 |
| 1996 | 108,8 | 21,4 | 1,73 | 0 | 0 | 0 |
| 1997 | 110,6 | 23,67 | 2,27 | 1 | 1 | 23,67 |
| 1998 | 112,4 | 26,6 | 2,93 | 2 | 4 | 53,2 |
| Итого | 109,97 | 10 | 19,94 |
Общий прирост товарооборота составляет 7.97 млн.руб.
2. Среднегодовой темп роста можна рассчитать как среднюю геометрическую из годовых темпов роста:
Среднегодовой прирост определяется по формуле:
3. Выявим основную тенденцию продажи тканей методом аналитического выравнивания по уравнению линейного тренда.
Нормальное уравнения служат для отыскания параметров при выравнивании по прямой. Для выравнивания по прямой , система нормальных уравнений принимает вид:
При ,
число членов ряда.
Составим расчетную таблицу (таб.6.1)
По приведенным выше формулам найдем:
Товарооборот в 1999 году по формуле будет млн.руб.
Естественно, эта величина условная, рассчитанная при предположении, что линейная закономерность товарооборота , принятая для 1994-1998 гг., сохранится на последующий период до 1999 г.
3.
Задача №8
Используя исходные данные к задаче №1, рассчитайте парный коэффициент корреляции между объемом товарооборота и стоимостью основных фондов для магазинов №№1…22
Решение:
Для характеристики силы линейной корреляционной связи между величинами и находим коэффициент корреляции:
где ;
выборочные средние квадратического отклонения:
;
Для вычисления всех показателей составляем таблицу:
Таблица 8.1
| № п/п | Товарооборот
, , млн.руб. |
Стоимость основных фондов
, , млн.руб |
|||||
| 1 | 148 | 5,3 | -0,023 | 0,001 | -44,864 | 2012,746 | 1,020 |
| 2 | 180 | 4,2 | -1,123 | 1,261 | -12,864 | 165,473 | 14,442 |
| 3 | 132 | 4,7 | -0,623 | 0,388 | -60,864 | 3704,382 | 37,901 |
| 4 | 314 | 7,3 | 1,977 | 3,910 | 121,136 | 14674,019 | 239,520 |
| 5 | 235 | 7,8 | 2,477 | 6,137 | 42,136 | 1775,473 | 104,383 |
| 6 | 80 | 2,2 | -3,123 | 9,751 | -112,864 | 12738,200 | 352,442 |
| 7 | 113 | 3,2 | -2,123 | 4,506 | -79,864 | 6378,200 | 169,529 |
| 8 | 300 | 6,8 | 1,477 | 2,182 | 107,136 | 11478,200 | 158,270 |
| 9 | 142 | 5,7 | 0,377 | 0,142 | -50,864 | 2587,110 | -19,189 |
| 10 | 280 | 6,3 | 0,977 | 0,955 | 87,136 | 7592,746 | 85,156 |
| 11 | 156 | 5,7 | 0,377 | 0,142 | -36,864 | 1358,928 | -13,908 |
| 12 | 213 | 5 | -0,323 | 0,104 | 20,136 | 405,473 | -6,499 |
| 13 | 298 | 6,7 | 1,377 | 1,897 | 105,136 | 11053,655 | 144,801 |
| 14 | 242 | 6,5 | 1,177 | 1,386 | 49,136 | 2414,382 | 57,847 |
| 15 | 130 | 4,8 | -0,523 | 0,273 | -62,864 | 3951,837 | 32,861 |
| 16 | 184 | 6,8 | 1,477 | 2,182 | -8,864 | 78,564 | -13,094 |
| 17 | 96 | 3 | -2,323 | 5,395 | -96,864 | 9382,564 | 224,988 |
| 18 | 304 | 6,9 | 1,577 | 2,488 | 111,136 | 12351,291 | 175,292 |
| 19 | 95 | 2,8 | -2,523 | 6,364 | -97,864 | 9577,291 | 246,883 |
| 20 | 352 | 8,3 | 2,977 | 8,864 | 159,136 | 25324,382 | 473,792 |
| 21 | 101 | 3 | -2,323 | 5,395 | -91,864 | 8438,928 | 213,374 |
| 22 | 148 | 4,1 | -1,223 | 1,495 | -44,864 | 2012,746 | 54,856 |
| cумма
|
4243
|
117,1
|
65,219
|
149456,591
|
2734,668
|
||
| среднее значение
|
192,864
|
5,323
|
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
;
Тогда коэффициент корреляции будет равен:
Таким образом, по значению можно судить о том, что между объемом товарооборота и стоимостью основных фондов существует достаточно тесная корреляция.