Задача статистического исследования –
освоить методику анализа структуры статистической совокупности с использованием компьютерных средств экономико-статистических расчетов, научится использовать аналитические группировки в выявлении взаимосвязей между явлениями.
В проводимом статистическом исследовании обследованные предприятия выступают как единицы выборочной совокупности, а показатели Среднегодовая стоимость основных производственных фондов и Выпуск продукции – как изучаемые признаки единиц.
Таблица П1
Исходные данные
| Порядковый номер единицы наблюдения | Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. | Выручка от продаж продукции, млн руб. |
| 1 | 94 | 110 |
| 2 | 107 | 101 |
| 3 | 134 | 120 |
| 4 | 158 | 84 |
| 5 | 163 | 80 |
| 6 | 167 | 114 |
| 7 | 173 | 161 |
| 8 | 173 | 90 |
| 9 | 177 | 178 |
| 10 | 179 | 107 |
| 11 | 200 | 125 |
| 12 | 201 | 108 |
| 13 | 205 | 133 |
| 14 | 237 | 180 |
| 15 | 212 | 201 |
| 16 | 213 | 161 |
| 17 | 214 | 151 |
| 18 | 216 | 169 |
| 19 | 218 | 149 |
| 20 | 230 | 180 |
| 21 | 234 | 148 |
| 22 | 237 | 162 |
| 23 | 241 | 166 |
| 24 | 169 | 121 |
| 25 | 45 | 224 |
| 26 | 276 | 171 |
| 27 | 290 | 191 |
| 28 | 298 | 220 |
| 29 | 167 | 114 |
| 30 | 205 | 133 |
| 31 | 330 | 53 |
| 32 | 260 | 224 |
РЕЗУЛЬТАТИВНЫЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
Диаграмма 1
Аномальные значения признаков на диаграмме рассеяния
Таблица 2
Аномальные единицы наблюдения
| Номер предприятия | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн руб. | Выпуск продукции, млн руб. |
| 25 | 45 | 224 |
| 31 | 330 | 53 |
Таблица 3
Описательные статистики
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. | Выручка от продаж продукции, млн руб. | ||
| Столбец 1
|
Столбец 2
|
||
| Среднее | 205,3103448 | Среднее | 146,2758621 |
| Стандартная ошибка | 8,273511571 | Стандартная ошибка | 7,251277542 |
| Медиана | 205 | Медиана | 149 |
| Мода | 167 | Мода | 114 |
| Стандартное отклонение | 44,55422334 | Стандартное отклонение | 39,04932463 |
| Дисперсия выборки | 1985,078818 | Дисперсия выборки | 1524,849754 |
| Эксцесс | 0,027595777 | Эксцесс | -0,686034479 |
| Асимметричность | 0,134309755 | Асимметричность | 0,15523623 |
| Интервал | 191 | Интервал | 144 |
| Минимум | 107 | Минимум | 80 |
| Максимум | 298 | Максимум | 224 |
| Сумма | 5954 | Сумма | 4242 |
| Счет | 29 | Счет | 29 |
| Уровень надежности(95,4%) | 17,2763084 | Уровень надежности(95,4%) | 15,14173347 |
Таблица 4,а
Предельные ошибки выборки
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. | Выручка от продаж продукции, млн руб. | ||
| Столбец 2
|
Столбец 2
|
||
| Уровень надежности(68,3%) | 8,429419969 | Уровень надежности(68,3%) | 7,387922672 |
Таблица 4,б
Предельные ошибки выборки
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. | Выручка от продаж продукции, млн руб. | ||
| Столбец 1
|
Столбец 2
|
||
| Уровень надежности(99,7%) | 26,88832532 | Уровень надежности(99,7%) | 23,56613728 |
Таблица 5
Выборочные показатели вариации и асимметрии
| Среднегодовая стоимость основных средств, млн руб. | Выручка от продаж продукции, млн руб. | ||
| Стандартное отклонение | 47,4549611 | Стандартное отклонение | 38,28309752 |
| Дисперсия | 2251,973333 | Дисперсия | 1465,595556 |
| Среднее линейное отклонение | 37,36 | Среднее линейное отклонение | 32,72888889 |
| Коэффициент вариации, % | 23,1137701 | Коэффициент вариации, % | 26,17184885 |
| Коэффициент асимметрии | 0,807299046 | Коэффициент асимметрии | 0,843083872 |
Таблица 6
Выходная таблица инструмента ГИСТОГРАММА
| Карман
|
Частота
|
| 1 | |
| 134,8 | 2 |
| 175,6 | 7 |
| 216,4 | 10 |
| 257,2 | 6 |
| 298 | 4 |
Таблица 7
Интервальный ряд распределения предприятий по стоимости основных производственных фондов
| Группы предприятий по среднесписочной численности работников, чел.
|
Число предприятий в группе
|
Накопительная частотность группы
|
| 94 - 134,8 | 3 | 10,00% |
| 134,8 - 175,6 | 7 | 33,33% |
| 175,6 - 216,4 | 10 | 66,67% |
| 216,4 - 257,2 | 6 | 86,67% |
| 257,2 - 298 | 4 | 100,00% |
| Итого | 0 | 100,00% |
Диаграмма 2
Анализ выборочной совокупности.
Задача 1.
На построенной диаграмме рассеяния (см. Диаграмма 1) визуально видно наличие аномальных точек. Это предприятие №25 (среднегодовая стоимость основных производственных фондов – 45 млн руб.; выпуск продукции – 224 млн руб.) и предприятие №31 (среднегодовая стоимость основных производственных фондов – 330 млн руб.; выпуск продукции – 53 млн руб.). Исключим аномальные единицы наблюдения из первичных данных. Внесем аномальные единицы наблюдения в таблицу 2.
Задача 2.
На основе имеющихся данных составим таблицу
Таблица 8
Описательные статистики выборочной совокупности
| Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн руб. | Выпуск продукции, млн руб. | ||
| Столбец1
|
Столбец2
|
||
| Среднее, Ч̃
|
199,6333333 | Среднее, Ч̃
|
143,1666667 |
| Медиана, Me
|
205 | Медиана, Me
|
148,5 |
| Мода,Mo
|
167 | Мода,Mo
|
114 |
| Интервал, R
|
204 | Интервал, R
|
140 |
| Стандартное отклонение, σn
|
46,04815113 | Стандартное отклонение, σn
|
34,06179026 |
| Дисперсия, σn
2 |
2120,432222 | Дисперсия, σn
2 |
1160,205556 |
| Среднее линейное отклонение, d | 35,44 | Среднее линейное отклонение, d | 28,42222222 |
| Коэффициент вариации, %, Vσ
;
|
23,0663639 | Коэффициент вариации, %, Vσ
|
23,79170449 |
| Коэффициент асимметрии, AsП
|
0,708678471 | Коэффициент асимметрии, AsП
|
0,856286955 |
В таблицу внесены обобщающие статистические показатели совокупности, исчисляемые на основе анализа вариационных рядов распределения
Задача 3.
3,а.
Если величина Vσ
удовлетворяет условию0%<Vσ
≤40%, то степень колеблемости незначительна. В данной совокупности выполняется это условие.
0%<23,0663639≤40%
0%<23,79170449≤40%
3,б.
Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство Vσ
≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.
3,в.
Если , то значения признака неустойчивы. В них имеются «аномальные» выбросы.
Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться.
Аномалии следует выявить и удалить из выборки.
3,г.
Обобщим данные и составим таблицу
Таблица 9
Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно
| Границы диапазонов | Количество значений xi
, находящихся в диапазоне |
|||
| Первый признак | Второй признак | Первый признак | Второй признак | |
| 153,5851822≤xi
≤ 245,6814844 |
109,1048764≤xi
≤177,228457 |
23/76,7% | 21/65,6% | |
| 107,537031≤xi
≤ 291,7296356 |
75,04308618≤xi
≤211,2902472 |
28/87,5% | 29/90,6% | |
| 61,48887991≤xi
≤ 337,7777867 |
40,98129592≤xi
≤245,3520375 |
31/96,9% | 32/100% | |
Согласно вероятностной теореме П.Л. Чебышева, следует ожидать, что независимо от формы распределения 75% значений признака будут находиться в диапазоне (), а 89% значений – в диапазоне ()
В нормально распределенных и близких к ним рядах вероятные оценки диапазонов рассеяния значений признака таковы:
- 68,3% войдет в диапазон ()
- 95,4% попадет в диапазон () (1)
- 99,7% появится в диапазоне ()
Соотношение (1) известно как правило «трех сигм».
В нашем случае значения каждого из признаков отлично от правила «трех сигм». Значения второго признака ближе к правилу.
Задача 4.
4,а.
Размах вариации R= Х
max
-Х
min
.
R для первого признака – 204 млн руб., для второго – 140 млн руб.. Размах вариации устанавливает предельное значение амплитуды колебаний признака.
Среднее линейное отклонение по первому признаку равно 35,44, по второму - 28,42222222. В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределениям между показателями σ
и d имеет место равенство: d ≈ 0,8 σ.
Первый признак: d ≈ 0,8*46,04815113 ≈ 36,838520904.
Второй признак: d ≈ 0,8*34,06179026 ≈ 27,249432208
Рассчитанные по формуле значения приблизительно равны значениям, рассчитанным с помощью программы MSExcel.
Дисперсия σ
n
2
оценивает средний квадрат отклонений (). Величина σ
очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). Дисперсия первого признака (2120,432222) более, чем в 1,5 раза превосходит значение дисперсии второго признака (1160,205556).
Среднее квадратическое отклонение σ
показывает, насколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака хi
от их средней величины . Так, индивидуальные значения первого признака отличаются от на 46,04815113 млн руб., а второго – на 34,06179026 млн руб..
4,б.
Совокупность является количественно однородной по тому или иному признаку, когда выполняется неравенство Vσ≤33%. Коэффициенты вариации по каждому признаку удовлетворяют данному условию. Следовательно, совокупности являются количественно однородными.
4,в.
Для оценки надежности (типичности) средней величины х можно воспользоваться значением показателя вариации Vσ
. Если его значение невелико, т.е. <40% (как в нашем случае), то индивидуальные значения признака хi
мало отличаются друг от друга, единицы наблюдения количественно однородны и, следовательно, средняя арифметическая величина является надежной характеристикой данной совокупности.
4,г.
Если As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. И для первого (0,708678471), и для второго (0,856286955) признака асимметрия левосторонняя.
│As│>0,5. Следовательно, асимметрия существенная.
Задача 5.
Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку представлен в таблице 7. Гистограмма и кумулята интервального ряда распределения предприятий изображены на Диаграмме 2.
Для полученного интервального ряда значение моды рассчитывается по формуле:
млн руб.
Значение моды в таблице 3 – Мо=167 млн руб..
Для несгруппированных данных мода - это значение признака с наибольшей частотой появления. В интервальном ряду вычисление моды весьма условно. Поэтому между ними могут быть различия.
Анализ генеральной совокупности.
Задача 1.
На основе имеющихся данных составим таблицу
Таблица 10
Описательные статистики генеральной совокупности
| Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн руб. | Выпуск продукции, млн руб. | ||
| Столбец1
|
Столбец2
|
||
| Стандартное отклонение, σN
|
46,83535603 | Стандартное отклонение, σN
|
34,64408526 |
| Дисперсия выборки, σN
2 |
2193,550575 | Дисперсия выборки, σN
2 |
1200,212644 |
| Эксцесс, Ek | 0,438466983 | Эксцесс, Ek | -0,36007995 |
| Асимметричность, As | -0,03462322 | Асимметричность, As | 0,085504193 |
В нашем случае обе дисперсии совпадают.
Rn
=204 млн руб.
RN
=6σN
RN
=281 млн руб.
Значение размаха вариации различно, поскольку из генеральной совокупности были удалены аномальные значения признаков.
Задача 2.
2,
a
.
Средняя ошибка выборки (µЧ̃
) первого признака - 8,550926996 млн руб., второго - 6,325115661млн руб..
2,б.
Предельная ошибка выборки Δ
Ч̃
определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью Р, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности. Наиболее часто используются уровни надежности Р=0,954; Р=0,997; Р=0,683.
В математической статистике доказано, что: Δ
Ч̃
=
t
* µЧ̃
.
Составим таблицу
Таблица 8
Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних
| Доверительная вероятность | Коэффициент доверия t | Предельные ошибки выборки | Ожидаемые границы для средних | ||
| для первого признака | для второго признака | для первого признака | для второго признака | ||
| 0,683 | 1 | 8,70660336 |
6,440269376 |
190,92672994≤≤208,33993666 | 136,726397324≤≤149,606936076 |
| 0,954 | 2 | 17,82706705 |
13,18667099 |
181,80626625≤≤217,46040035 | 129,97999571≤≤156,35333769 |
| 0,997 | 3 | 27,69995902 |
20,48964337 |
171,93337428≤≤227,33329232 | 122,67702333≤≤163,65631007 |
Таким образом, предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения показателей генеральной совокупности и их доверительные интервалы.
Задача 3.
Если As<0, то асимметрия левосторонняя, если As>0, то асимметрия правосторонняя. Для первого признака асимметрия левосторонняя (-0,03462322), для второго – правосторонняя (0,085504193).
│As│≤0,25. Следовательно, асимметрия незначительная.
Для первого признака Ek>0. Следовательно, вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средним.
Для второго признака Ek<0. Следовательно, вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от Хmax
до Хmin
.
│Ek│ не значителен. Следовательно, кривая распределения незначительно отличается от нормальной.